一道數學試題的教學與思考

蘇利

摘要：解題教學作為一種教學形式，在數學教學中居于重要地位。解題教學不只在于解題，還在于培養學生的思維、挖掘數學思想方法、關注和培養學生的問題意識以及數學核心素養。

關鍵詞：數學解題教學? 教學思考

解題教學作為一種教學形式，在數學教學中居于重要地位。解題教學不只在于解題，還在于挖掘題目背后的教育價值。下面，筆者結合一道試題，就教學與思考加以闡述，與大家交流。

一、教學再現

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為22，點2，2在C上。

（1）求C的方程;

（2）直線l不經過原點O，且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M。證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值。

這是2015年普通高等學校招生全國統一考試Ⅱ卷文科數學第20題。問題提出后，學生獨立思考，自主探究。十分鐘后，生1給出了如下的解答（解法1）。

解法1：（1）由題意有a2-b2a2=12，又4a2+2b2=1，解得a2=8，b2=4。所以橢圓的方程為x28+y24=1。

（2）設直線l：y=kx+mk≠0，m≠0，Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0。將y=kx+m代入x28+y24=1，得2k2+1x2+4kmx+2m2-8=0。

x1+x2=-4km2k2+1，故x0=x1+x22=-2km2k2+1，y0=kx0+m=m2k2+1。

于是直線OM的斜率k′=y0x0=-12k，即k′k=-12。

所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值-12。

師：你是如何想到這種解法的？

生1：由直線與橢圓的方程，利用消元法可得到線段AB的中點M的坐標，從而證明出結論。

師：其他同學有不同的想法嗎？

生2給出了另一種解答（解法2）。

解法2：（1）同上;

（2）設Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0，則x0=x1+x22，y0=y1+y22。因為A，B在橢圓上，所以x128+y124=1x228+y224=1，兩式相減得，x1-x2x1+x28+y1-y2y1+y24=0，即y1-y2x1-x2·y0x0=-12。

所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值-12。

師：你如何想到的呢？

生2：由點差法可以得到直線的斜率以及所截弦的中點坐標之間的關系，進而可以證明結論。

師：以上兩位同學分別用消元法、點差法給出了不同的解答。

師：若把“橢圓C：x28+y24=1”改為“橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0”，其他條件不變，（2）的結果如何？

生3：仍是定值，其過程如下：

設直線l：y=kx+mk≠0，m≠0，Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0。將y=kx+m代入x2a2+y2b2=1，得a2k2+b2x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0。

x1+x2=-2kma2a2k2+b2，故x0=x1+x22=-kma2a2k2+b2，y0=kx0+m=mb2a2k2+b2。

于是直線OM的斜率k′=y0x0=-b2ka2，即k′k=-b2a2。

所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值-b2a2。

師：有什么規律嗎？

生3：其定值是y2與x2的分母比值的相反數。

師：其他同學同意生3嗎？

生4：我用點差法得到的結果和生3相同。

師：若把“橢圓C：x28+y24=1”改為“圓C：x2+y2=r2r>0”，其他條件不變，（2）的結果如何？

生5：是定值-1，結果符合生3得到的規律，其過程如下：

設直線l：y=kx+mk≠0，m≠0，Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0。將y=kx+m代入x2+y2=r2，得k2+1x2+2kmx+m2-r2=0。

x1+x2=-2kmk2+1，故x0=x1+x22=-kmk2+1，y0=kx0+m=mk2+1。

于是直線OM的斜率k′=y0x0=-1k，即k′k=-1。

所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值-1。

師：若把“橢圓C：x28+y24=1”改為“雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0”，其他條件不變，（2）的結果還符合生3得到的規律嗎？

生6：不符合。

師：為什么？

生6：橢圓和圓都是封閉曲線，而雙曲線不是，它們的方程也有差別。

師：生6觀察得很仔細。其他同學同意他的觀點嗎？

生7：我認為符合生3的規律，當把雙曲線的方程中間的符號移到分母，得到x2a2+y2-b2=1，其過程如下：

設直線l：y=kx+mk≠0，m≠0，Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0。將y=kx+m代入x2a2-y2b2=1，得a2k2-b2x2+2kma2x+a2m2+a2b2=0。

x1+x2=-2kma2a2k2-b2，故x0=x1+x22=-kma2a2k2-b2，y0=kx0+m=-mb2a2k2-b2。

于是直線OM的斜率k′=y0x0=b2ka2，即k′k=b2a2。

所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值b2a2。

師：雖然雙曲線的方程形式與橢圓不同，但是通過變形，就可以統一到一種形式下。

師：若把“橢圓C：x28+y24=1”改為“拋物線C：y2=2px（p>0）”，其他條件不變，（2）的結果如何？

生8：不為定值，其過程如下：

設直線l：y=kx+mk≠0，m≠0，Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0。將y=kx+m代入y2=2px，得k2x2+2km-px+m2=0。

x1+x2=-2（km-p）k2，故x0=x1+x22=-km-pk2，y0=kx0+m=pk。

于是直線OM的斜率k′=y0x0=kpp-km，即k′k=k2pp-km不為定值。

師：生8給出了很好解釋。那么什么樣的曲線才符合規律呢？

生9：曲線的方程符合x2p+y2q=1，其中p，q為常數。

生10：p，q還要同正或異號。

師：生9，生10說得很好。通過前面的探究，大家能總結出這個規律嗎？

生11：若曲線C：x2p+y2q=1（p，q為常數，且同正或異號），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M，則直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值-qp。

師：生11歸納得很好。通過今天的學習，我們不僅得到了曲線的一個性質，還認識了一種研究問題的方法：從特殊到一般。下面有兩個思考題，大家課下繼續探究：

思考1.設A（n，0）是x軸上的任一點，其他條件不變，直線AM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值嗎？

思考2.若把“橢圓C：x28+y24=1”改為“橢圓C：（x-p）2a2+（y-q）2b2=1（a>b>0，p，q為常數）”，（2）的結果如何？

二、教學思考

（一）解題教學要培養學生的思維

《普通高中數學課程標準》（2017年版）指出，要著力發展學生的數學核心素養。而發展學生數學核心素養的本質是培養學生的思維。眾所周知，數學是思維的科學，是思維的體操，數學教學的核心任務之一就是培養學生的思維能力。在新課教學中，教師應盡力創設問題情境，使學生在探究知識的發生與發展中學會感知、觀察、歸納、類比等邏輯思考的方法，從中培養思維能力。而解題教學一直是數學教學的重點和核心，在培養學生思維方面有著不可替代的作用。在解題教學中，引導學生從不同角度分析題目，探尋解決問題的不同方法，拓寬思維的廣度。從試題開始，沿著不同的方向拓展，挖掘問題背后的數學本質，訓練學生思維的深度。聯想到本題教學，給學生充分的時間思考，從而得到消元、點差兩種方法。在本題解決的基礎上，沿著橢圓、圓、雙曲線、拋物線這條線探究下去，得到了圓錐曲線的一個性質，從而使學生的思維得到很好的鍛煉與培養。

（二）解題教學要注重思想方法

波利亞說過，掌握數學就是意味著解題，不僅善于解一些標準的題，而且善于解一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和有發明創造的題。解題教學基于不同的學情，是否也該如此呢？解題教學是有講究的，解題只是解題教學的一部分，只是完成教學的一步。解題技巧可以有，但不是重點，思想方法是重點，但還不是全部，還有題目本身所散發的數學本質以及教育價值。章建躍博士曾指出，當解題技巧脫離思想方法時，技巧就變成雕蟲小技了。因此，解題教學不僅僅是關注解題技巧，而是聚焦解題的思想方法以及題目背后的數學本質，尤其對于由“特點”的題目，要從深度與廣度兩個方面加以探究，挖掘題目背后的教育意義，培養學生良好的思維品質與創新意識。基于此，對于本題教學，筆者不僅引導學生探尋出消元、點差這兩種解法，而且進行了深度上的拓展，學生收獲的不僅是兩種實用的解題方法，還收獲了探究問題的一種方法：從特殊到一般。在這個過程中，還收獲了一個解析幾何的性質，而探究數學的樂趣也彌漫在其中。

（三）解題教學要關注學生

高中數學教育，就是幫助學生獲得適應現代生活和進一步學習所必需的數學素養。簡單地講，數學教學要以學生為主體，關注學生的發展。解題教學也不例外，要避免“遇到新課搞探究，逢到解題搞講授”。講授固然是一種重要的教學方法，在某些知識的教學中起著不可替代的作用，比如符號的書寫等，但是不能因此而放棄學生獨立思考、合作交流的機會。教師要充分信任學生，敢于放手，“無為而治”，樂享其成。而對于本題教學，教師圍繞學生提出問題，然后給學生充分的時間思考，一步一步獲得最后的“圓滿結局”。

（四）培養學生的問題意識

現代教育理念提倡培養學生從數學角度發現和提出問題、分析和解決問題的能力，而提出問題比解決問題更重要，要提出問題，首先要有問題意識，然后才能在具體的數學情境中發現并提出問題。問題意識的培養不是一朝一夕的事，而是一個循序漸進的過程。教師應秉著“看過問題三百個，不會解題也會提”的思想，做好示范。只有學生看得多了，才會慢慢有了問題意識，才能提出問題。新課教學如此，解題教學亦如此。

（五）解題教學要培養學生的數學核心素養

數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是在數學學習與應用的過程中逐步形成和發展的。這不僅說明培養學生數學核心素養的重要性，還說明了素養形成與發展的途徑。作為數學學習與應用的一種，解題教學要在這方面做好表率，教師要善于挖掘題目背后的數學思想方法，從中提煉數學素養的培育價值。比如本題是一道解析幾何題，涉及橢圓方程、離心率，橢圓與點、橢圓與直線的位置關系，直線的斜率等知識，是典型的數形結合的案例，可以挖掘直觀想象這一素養。而利用消元法或點差法，建立兩直線間的斜率關系，從而證明命題，這一過程可以提煉邏輯推理與數學運算素養。從本題出發，分別從橢圓、圓、雙曲線以及拋物線，對題目進行拓展，從中歸納出一個結論，進一步滲透邏輯推理和數學抽象素養。總而言之，數學核心素養的培養需要一個過程，只有教師抓住機會，在教學中加以滲透，方能見效。

參考文獻：

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