基于壓縮感知在地震波作用下的結(jié)構(gòu)損傷識別方法研究

馮羿，任宜春

（長沙理工大學(xué) 土 木工程學(xué)院，湖南長沙 4 10114）

0 引言

隨著我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展和綜合國力逐步上升，已建設(shè)的高樓大廈越來越多，房屋規(guī)模越來越大，人們對房屋結(jié)構(gòu)的安全也越來越重視。 一般房屋結(jié)構(gòu)設(shè)計使用壽命為50 年，一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)在使用期間一旦發(fā)生事故，將會造成嚴(yán)重的后果[1]。 因此研究與實現(xiàn)房屋結(jié)構(gòu)智能監(jiān)測具有很高的工程價值以及巨大的經(jīng)濟(jì)、社會效益。

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測領(lǐng)域中最受關(guān)注的莫過于通過數(shù)據(jù)特征如何辨別出結(jié)構(gòu)是否發(fā)生損傷。 數(shù)據(jù)壓縮包含在這個特征選擇過程之中，因為實際采集到的數(shù)據(jù)量往往很大，無法直接應(yīng)用。 而壓縮感知在數(shù)據(jù)重構(gòu)以及壓縮取樣過程中具有一定優(yōu)勢，在信號處于某種程度稀疏的條件下，能以較少的觀測數(shù)據(jù)表達(dá)原始數(shù)據(jù)的全部信息。壓縮感知是由 Candès E J， Romberg J， Tao T[2]和 Donoho D L[3]等科學(xué)家于2004 年提出的，于2016 年被證明。 該方法最初用于圖像處理等方面，隨著人們對該理論進(jìn)行不斷挖掘，在一維雷達(dá)回波信號獲取與檢測、高位圖像去噪、人臉識別、核磁共振、通訊等領(lǐng)域均取得了良好的應(yīng)用效果。 后來，有研究學(xué)者把壓縮感知引入結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測領(lǐng)域中。 2013 年，Wang Y，Hao H.[4]率先提出了基于壓縮感知的損傷識別方案， 預(yù)言實際結(jié)構(gòu)的案例研究將在不久的將來進(jìn)行。 2016 年，周述美、鮑躍全、李惠[5]提出基于結(jié)構(gòu)靈敏度分析與稀疏約束優(yōu)化的結(jié)構(gòu)損傷識別方法， 該方法在測點較少的情況下能有效識別結(jié)構(gòu)損傷的位置及程度。2018 年，駱紫薇[6]提出基于壓縮感知和損傷先驗信息的結(jié)構(gòu)損傷識別方法，引入范數(shù)歸一化對各單元在損傷識別中的靈敏度進(jìn)行了調(diào)整， 減少了誤判情況。而壓縮感知及損傷識別的方法還存在諸多問題，比如如何提高運算效率、運算精度，降低模態(tài)混疊現(xiàn)象等。 本文將壓縮感知的方法與集中經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解結(jié)合用于地震波作用下的結(jié)構(gòu)損傷識別，以解決上述部分問題。 對比有、無使用壓縮感知及壓縮后數(shù)據(jù)對損傷識別的影響，驗證了其優(yōu)越性和可行性。

1 壓縮感知理論

1.1 壓縮感知

與奎納斯采樣定理利用信號的帶限性不同，壓縮感知利用信號的稀疏性，突破了奎納斯采樣定理的限制，能以較少的測點重構(gòu)出原始信號。 壓縮感知理論主要包括信號的稀疏表達(dá)、測量矩陣的設(shè)計以及重構(gòu)算法的選擇三部分內(nèi)容[7]。 本章以一原始信號為例，圍繞這三點分析壓縮感知在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測中的應(yīng)用，基本流程如圖1 所示。

圖1 基本流程圖

1.2 信號的稀疏表示

信號的稀疏性也稱信號的可壓縮性，數(shù)據(jù)能夠被壓縮，就是數(shù)據(jù)中存在冗余數(shù)據(jù)或者在某個域下稀疏。 不同信號特征的稀疏表示方法如表1 所示。

表1 不同信號特征的稀疏表示方法對比

假設(shè)N 維信號x 在某個變換域下稀疏或者只有K 個元素不為零，K 即為該信號的稀疏度，可以通過相關(guān)算法計算或者估算。稀疏度K 的經(jīng)驗公式：

式中M 為測量矩陣個數(shù)[8]。 該公式也有部分局限性，當(dāng)M 大于一定值時不再適用，但可以用迭代方法先驗稀疏度K，本文不過多描述。 監(jiān)測時程數(shù)據(jù)一般為一維信號，所以本文針對選取的數(shù)據(jù)特點，使用局部離散余弦變換用于稀疏表達(dá)。

1.3 測量矩陣?yán)碚摲治黾斑x擇

設(shè)N 維的稀疏信號為x，測量矩陣Φ 為 M×N 維，進(jìn)行稀疏表達(dá)后得到長度為M 的信號y，數(shù)學(xué)表示為：

若N 維信號本身不稀疏，但它在某個稀疏域下可通過稀疏向量s 間接表示，記x=Ψs，則此數(shù)學(xué)表達(dá)為：

式中θ 為傳感矩陣，θ=ΦΨ。由于絕大部分的變換矩陣都不能表示隨機矩陣中的向量，因此隨機測量矩陣運用于壓縮感知有更好的重構(gòu)效果，本文選取隨機高斯測量矩陣進(jìn)行運算[9]。

1.4 信號的精準(zhǔn)重構(gòu)及評估

信號重構(gòu)算法有多種，其中貪婪算法較為經(jīng)典，因為貪婪算法中正交匹配追蹤（OMP）算法計算復(fù)雜度低，所以得到更多關(guān)注和應(yīng)用[9]。 但是它還是存在一些需要改進(jìn)的地方，比如算法的效率較低，并且使用前必須先驗信號的稀疏度。 本文通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)，結(jié)合相關(guān)經(jīng)驗公式和先驗信息獲取稀疏度K，應(yīng)用于壓縮感知，效果良好。

為了對地震數(shù)據(jù)重建結(jié)果進(jìn)行定量評價，本文使用誤差值來表示原始數(shù)據(jù)與重建數(shù)據(jù)關(guān)系的重合精度，以此作為定量評價指標(biāo)，具體如下：

2 壓縮感知在地震波作用下數(shù)據(jù)處理中的具體使用

2.1 工程實例具體應(yīng)用分析

以1964 年于美國建成的15 層鋼筋混泥土結(jié)構(gòu)行政辦公樓為例。 1979 年在辦公樓的第2 層、第8 層以及屋面分別安裝了加速度傳感器，每層6 套，用于測量建筑物的各向動力響應(yīng)[10]。 1994年Northridge 地震后，各層傳感器上記錄了當(dāng)時的響應(yīng)數(shù)據(jù)。本文選取第8 層加速度橫向動力響應(yīng)加速度傳感器數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮感知分析，具體如圖2 所示。

圖2 第8 層響應(yīng)加速度

2.2 壓縮感知處理響應(yīng)信號

觀察響應(yīng)信號數(shù)據(jù)特征， 選取第8 層響應(yīng)加速度做相關(guān)變換，最終選取局部離散余弦變換（DCT）作為稀疏基，測量矩陣選取高斯隨機矩陣，選取正交匹配追蹤法重構(gòu)信號，使用經(jīng)驗公式（1）計算稀疏度 K。 采樣數(shù) N=2000，測量數(shù) M=700，稀疏度 K=375，對數(shù)據(jù)做DCT 變化。如圖3 可知，該數(shù)據(jù)在DCT 變換下較稀疏，用來做壓縮感知能得到較好的壓縮重構(gòu)效果。

圖3 離散余弦變換譜

表2 不同壓縮量對應(yīng)的重構(gòu)誤差

在觀測數(shù)量不超過限值的情況下，結(jié)合經(jīng)驗公式（1）用于數(shù)據(jù)重構(gòu)，在計算速度上避免了先驗稀疏度的麻煩，提升了計算效率。 針對信號特征選取DCT 變換處理此類信號， 結(jié)合這兩種優(yōu)勢，重構(gòu)的速率與精度都有較大提升。 與傳統(tǒng)采樣方法相比，壓縮感知能以較少的測點，重構(gòu)出原始信號。將重構(gòu)的數(shù)據(jù)（圖4）與原始數(shù)據(jù)（圖2）對比來看，重構(gòu)的效果良好。通過對比原始信號與重構(gòu)信號，使用公式（4）計算重構(gòu)誤差，結(jié)果顯示為 0.1012，壓縮65%數(shù)據(jù)，說明壓縮感知在處理信號壓縮與重構(gòu)這一塊有較好的效果，能較好地將其應(yīng)用于傳感器數(shù)據(jù)采集。 更改測量值和稀疏度K，對比不同壓縮量，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)壓縮量在60%以內(nèi)能取得較好的壓縮重構(gòu)效果，當(dāng)壓縮量達(dá)到80%時，重構(gòu)誤差達(dá)到0.5527，已經(jīng)開始失真（表2）。 針對重構(gòu)后的數(shù)據(jù)能否用來做損傷識別的問題，本文結(jié)合損傷識別的方法和數(shù)值算例來分析重構(gòu)的數(shù)據(jù)誤差對實際判別損傷識別的影響。

圖4 重構(gòu)后的加速度響應(yīng)

3 基于壓縮感知的結(jié)構(gòu)損傷識別方法

3.1 損傷識別方法簡介

HHT 由經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解 （Empirical Mode Decomposition，EMD）和 Hilbert 變換兩個部分組成，集中經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD） 起源于經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解，EEMD將有限幅值的高斯白噪聲加入到將要分析的信號中，來補充信號中斷所缺失的尺度，從而消除模態(tài)混疊效應(yīng)，對于信號處理更有優(yōu)勢[10]。 先將信號x（t）用EEMD 分解成一系列相互獨立的固有模態(tài)函數(shù)（Intrinsic Mode Function，IMF）與一個余量 rn（t）之和，將得到的各階IMF 分量都進(jìn)行 Hilbert 變換， 從而求得信號的瞬時頻率，最后通過瞬時頻率變化來識別結(jié)構(gòu)是否損傷。

3.2 數(shù)值算例

五層框架線性剪切結(jié)構(gòu)的各層質(zhì)量分別設(shè)置為1.6×105kg、1.5×105kg、1.5×105kg、1.4×105kg、1.4×105kg， 將每層剛度均設(shè)置為2.0×107N/m，阻尼設(shè)置為阻尼系數(shù)0.1%的剛度阻尼。 為了更好地反映結(jié)構(gòu)損傷過程以及壓縮感知的優(yōu)勢， 該結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)取4000 個采樣點，采樣頻率為100Hz。 選取Hach 地震波（日本八戶市）南北向地震波作用，為了更好地模擬實際地震，將記錄的加速度峰值調(diào)幅為400gal。 通過降低剛度來模擬結(jié)構(gòu)損傷，然后結(jié)合經(jīng)驗?zāi)B(tài)能量分解和希爾伯特變換得到其瞬時頻率，進(jìn)一步識別損傷。 工況一的情況設(shè)定是發(fā)生在10s 之后，位于頂層的剛度從原來的2.0×107N/m 直接降到1.0×107N/m；工況二的情況設(shè)定是在工況一情況下，使用壓縮感知重構(gòu)的加速度響應(yīng)信號進(jìn)行識別。

計算前三階自振頻率， 分別為 2.4243Hz、4.9033Hz、7.4060Hz，再通過傅立葉譜分析，得出該結(jié)構(gòu)在地震下前三階振動頻率的大致范圍（圖5）。 觀察頂層的動力加速度響應(yīng)信號的一階瞬時頻率變化情況，用經(jīng)驗?zāi)B(tài)能量分解和希爾伯特變換得到其瞬時頻率 （圖6）。 從圖6 可以看出：0～3s 時地震波動很??；4～10s 受地震波作用，結(jié)構(gòu)的瞬時頻率開始下降，其中第10s 時由于剛度衰減一半， 瞬時頻率也隨之驟降；10s 后隨著地震波強度下降， 結(jié)構(gòu)瞬時頻率隨地震波減弱后變化下降， 但低于起始頻率2.4Hz，說明結(jié)構(gòu)已經(jīng)發(fā)生損傷，無法恢復(fù)到初始狀態(tài)。

工況二為使用壓縮感知處理后的信號，信號壓縮60%，對比圖7 和圖8 可知，重構(gòu)效果較好，重構(gòu)誤差0.0412。 為了驗證重構(gòu)后的響應(yīng)加速度能否用于損傷識別，將重構(gòu)的信號重新用集中經(jīng)驗?zāi)B(tài)能量分解和希爾伯特變換得到其瞬時頻率（圖9）。 經(jīng)過對比圖6 和圖9，依舊能從圖中判別出損傷發(fā)生的時間過程，表明壓縮感知重構(gòu)效果較好，即信號在某個域較稀疏的情況下不影響損傷識別的進(jìn)行。

圖5 頂層加速度響應(yīng)傅立葉譜

圖6 工況一下的瞬時頻率

圖7 工況一下頂層響應(yīng)加速度

圖8 工況二壓縮感知處理響應(yīng)加速度

圖9 工況二下的瞬時頻率

4 結(jié)論

通過動力方程模擬大量響應(yīng)數(shù)據(jù)，并將壓縮感知理論運用于模擬的大量響應(yīng)數(shù)據(jù)以及傳感器上相關(guān)數(shù)據(jù)處理過程中，從重構(gòu)的效果以及識別的結(jié)果得出以下結(jié)論：

（1） 壓縮感知利用信號的稀疏性，突破了傳統(tǒng)采樣方法（奎納斯采樣定理）的限制，與傳統(tǒng)采樣方法相比，能以較少的測點重構(gòu)出原始信號。 再結(jié)合集中經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的優(yōu)勢用于損傷識別，對結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測帶來的海量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后，結(jié)合結(jié)構(gòu)損傷識別結(jié)果來看，壓縮感知在結(jié)構(gòu)方向應(yīng)用良好。

（2） 基于壓縮感知方法，在結(jié)構(gòu)損傷識別過程中，使監(jiān)測數(shù)據(jù)用少量觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行表達(dá)。 結(jié)合集中經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的損傷識別方法和數(shù)值算例加以驗證，結(jié)果表明壓縮的數(shù)據(jù)在一定范圍內(nèi)不影響損傷識別的進(jìn)行。 這為后期的結(jié)構(gòu)損傷識別提供了數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，有利于后期采取合適的措施保障結(jié)構(gòu)的安全，也為后續(xù)結(jié)構(gòu)抗震和加固提供數(shù)據(jù)支持。