線性代數(shù)問題教學(xué)法教學(xué)設(shè)計研究
——以逆矩陣的定義教學(xué)為例

陳國東

（陸軍步兵學(xué)院 江西·南昌 330103）

1 問題教學(xué)法的特征

問題教學(xué)法是教師根據(jù)同學(xué)們的學(xué)習(xí)規(guī)律，從已知到未知，在課程導(dǎo)入中有意地創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生探索思考，提出問題，帶著疑問去學(xué)習(xí)新知識，找到求解問題的方法，最后回歸到問題情境中，處理實際問題。然而，在現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)中，老師往往是以自己事先知道內(nèi)容概念，然后再將概念灌輸給學(xué)生，這樣會導(dǎo)致學(xué)生只會死記硬背，不會去理解為什么概念是這樣的？但是，問題教學(xué)法卻與之不同，它要求老師具備“未先知”的理念，即老師在講解概念的時候不是傾盆而出的，而是要同學(xué)生一起通過解決問題來共同得出所學(xué)的內(nèi)容，從而讓學(xué)生在解決問題的過程中來學(xué)會學(xué)習(xí)。

1.1 問題教學(xué)法的“問題”設(shè)計

有效挖掘內(nèi)容背后的問題，合理提出和設(shè)計問題，引出教學(xué)內(nèi)容是問題教學(xué)法的重點之一。總的來說，主要可從以下三個角度對問題進行設(shè)計：從數(shù)學(xué)課程本身為起點，從同學(xué)們的認(rèn)識規(guī)律為開始，從教育教學(xué)的規(guī)律為關(guān)鍵，其中貫穿始終的是要老師具有“未先知”理念。

1.2 問題教學(xué)法的意義

在教學(xué)中，線性代數(shù)內(nèi)容往往是以先知的形式給出，采取一種演繹式，講解式的方式呈現(xiàn)在教學(xué)過程中。然而，目前在我們講授中依然存在以演繹式的方法進行授課的現(xiàn)狀，這往往就輕視了探索問題、剖析問題，處理問題的進程，忽視了數(shù)學(xué)思想的鍛煉，從而很難教育出創(chuàng)新性的人才。而問題教學(xué)法就能很好的處理這一缺點，從問題的本源出發(fā)，剖析問題所在，建立數(shù)學(xué)相關(guān)概念，解決相應(yīng)問題。針對問題教學(xué)法的特點，教師在運用問題教學(xué)法進行講授時，應(yīng)該注意從數(shù)學(xué)學(xué)科本身出發(fā)，以學(xué)生的認(rèn)識特點為基礎(chǔ)，根據(jù)教育教學(xué)的特點對授課內(nèi)容進行合理的設(shè)計。下面我們通過線性代數(shù)課程中向量組的秩的定義為例，研究問題教學(xué)法的教學(xué)設(shè)計。

2 《向量組的秩的定義》教學(xué)設(shè)計

2.1 教學(xué)過程設(shè)計

線性代數(shù)知識在實際工作生活中被廣泛的運用，然而因為其內(nèi)容比較抽象，概念性較強，可能會使學(xué)生降低學(xué)習(xí)興趣，因此很難實現(xiàn)預(yù)期的學(xué)習(xí)目標(biāo)。對于這個問題，我們使用問題教學(xué)法設(shè)計了如下的教學(xué)過程：依據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律，認(rèn)知規(guī)律將內(nèi)容問題化。由于在上兩節(jié)討論中，向量組只局限于有限個向量，而這節(jié)課討論的向量組中是無限多個向量的情況，通過分析引例，將線性無關(guān)部分組相關(guān)知識遷移到含無限多個向量情形，從而引出最大無關(guān)組與向量組秩的概念，而后提示學(xué)生在學(xué)習(xí)向量組的秩的定義時應(yīng)該注意的幾點內(nèi)容，最后，用問題來推出最大無關(guān)組的等價定義。

2.2 教學(xué)進程

2.2.1 問題引入

首先通過問題：對于由無限多個向量構(gòu)成的向量組，我們應(yīng)該研究所有的向量還是部分向量組？如果是研究部分向量組，那么這個部分組又有什么共性呢？隨后帶著上述這個問題，同老師來看一道引例。

引例：（1）觀察引例：

例如：

分析：從題中我們可以發(fā)現(xiàn)，對于向量組A和B，由于它們都是二維向量組，因此由上節(jié)定理5的第2個結(jié)論知，向量組A和B的任意2個以上的向量是線性相關(guān)的；但是我們從線性無關(guān)部分組所含向量的數(shù)目來看它們之間就存在不同。比如，關(guān)于向量組B，因為B中任何兩個非零向量都是不成比例，從而，向量組B中最多有兩個向量的線性無關(guān)部分組，例如。但對于向量組A，其中的任何兩個向量都是線性相關(guān)的，即A中最多包含一個向量的線性無關(guān)部分組。我們再從線性表示方面來分析一下，因為向量組A中任意兩個向量構(gòu)成的向量組是線性相關(guān)的，而其中任意一個非零向量是線性無關(guān)的。因此，由上節(jié)定理5第3個結(jié)論可知，向量組A中的任一向量能夠由這個含向量數(shù)最多的線性無關(guān)組來表示，我們暫時稱這個有最多向量個數(shù)的部分組為該向量的核心部分組，同理向量組B也可得到此結(jié)論。

（2）發(fā)現(xiàn)結(jié)論：向量組中的向量可由含向量個數(shù)最多的部分組（核心部分組）線性表示。

通過對引例的討論分析，逐步的對提出的問題進行求解，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生自主的參加到求解問題的進程中去。

2.2.2 概念講授

在上一章學(xué)習(xí)中，我們引入了矩陣的最高階非零子式概念，并把它的最高階數(shù)定義為矩陣的秩，它在前兩節(jié)向量組線性表示和線性相關(guān)性的學(xué)習(xí)中起了非常重要的作用?，F(xiàn)在，依照向量組與矩陣的對應(yīng)關(guān)系，以及我們通過對引例進行分析知道：對于一個有無限多個向量的向量組可由核心部分組線性表示。那么我們是否可以把核心部分組與最高階的非零子式相對應(yīng)，就可將秩的定義引進向量組內(nèi)。

定義1：對于向量組A，假設(shè)在向量組A內(nèi)可以取出r個向量 a1,a2,……,ar，滿足

（1）向量組 A0：a1,a2,……,ar線性無關(guān)；

（2）向量組A中任何r+1個向量（如果有r+1個向量的話）都線性相關(guān)。

則向量組A0就是向量組A的一個核心部分組或最大無關(guān)組，而最大無關(guān)組的向量個數(shù)r就是該向量組A的秩，記為RA。

引出了向量組秩的定義后，回到引例求出向量組A和B的秩。前面我們通過分析已經(jīng)知道，在向量組A中任一非零向量都是該向量組的核心部分組，而向量組B中任意兩個不包含零向量構(gòu)成的向量組就是核心部分組。從而，可從向量組秩的概念可知RA=1,RB=2。

對于學(xué)生在學(xué)習(xí)向量組秩的定義時可能會有疑難，因此可以設(shè)置以下問題：

問題1：對于向量組的最大無關(guān)組，它是唯一的嗎？

分析：從引例中向量組A和B的分析中可知，在向量組A中的任一非零向量都是其向量組的最大無關(guān)組，而向量組B中的任何兩個不含零向量的向量是該向量的最大無關(guān)組。因此，對于向量組來說，其最大無關(guān)組可能不唯一。

問題2：假設(shè)向量組A本身線性無關(guān)，則一定存在最大無關(guān)組嗎？

分析：通過最大無關(guān)組定義可知，當(dāng)向量組A自身無關(guān)時，即向量組A滿足定義中第（2）個條件的特殊情形，此時A本身就是它的最大無關(guān)組，而其秩就是A內(nèi)的向量個數(shù)。

例2：設(shè)全體n維向量組成的向量組記作Rn，求Rn的一個最大無關(guān)組和Rn的秩。

分析：由于n維單位坐標(biāo)向量組組成的向量組Rn是線性無關(guān)的，如果我們往里面任意添加一個n維向量，由定理可知，新向量組必然是線性相關(guān)的，故而n維單位坐標(biāo)向量的一個最大無關(guān)組就是其本身，而且它的秩為n。

問題3：向量組A與A0存在什么關(guān)系？

分析：觀察引例可以發(fā)現(xiàn)，向量組A與A0等價。

節(jié)點安全連通度能夠反映網(wǎng)絡(luò)安全性能的高低,節(jié)點的安全連通度越大節(jié)點與更多的鄰居節(jié)點存在共享密鑰,網(wǎng)絡(luò)的安全性能越高。

猜測：向量組A和它的最大無關(guān)組A0等價。

證明：由于A0是A的部分組，故A0可由A線性表示。對A中任一向量 ，其組合1,2,…,r,相關(guān)，即A能夠由A0表示，所以向量組與其最大無關(guān)組等價。

結(jié)論：向量組A內(nèi)任何一個向量均能夠通過最大無關(guān)組A0線性表示。

問題4：若將定義1中的第（2）個條件替換成：向量組A的任何向量都能夠通過A0線性表示。請問：A0依然可以是A的最大無關(guān)組嗎？

證明：只要證A內(nèi)的任意r+1個向量相關(guān)。設(shè)

從而，A中的任何r+1個向量線性相關(guān)。故A0滿足最大無關(guān)組條件，即A0仍是A的一個最大無關(guān)組。

現(xiàn)在，我們已經(jīng)對向量組秩的概念進行了學(xué)習(xí)，那么對于一般的向量組，我們應(yīng)該如何去求出向量組的最大無關(guān)組和秩呢？通過問題引出下一節(jié)課要講授的內(nèi)容，即如何去求最大無關(guān)組及秩？

2.2 .3內(nèi)容小結(jié)

首先，協(xié)助學(xué)生理清本次課所學(xué)的主要知識點，并且強調(diào)在學(xué)習(xí)向量組的秩的定義時應(yīng)該留意那些關(guān)鍵點；其次，由本節(jié)課最后提出問題為下一節(jié)課最大無關(guān)組及秩的求法引發(fā)學(xué)生思考；最后，要求學(xué)生課后認(rèn)真復(fù)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容和預(yù)習(xí)下一節(jié)課的內(nèi)容，并查閱資料，了解向量組的秩在生產(chǎn)生活上具有哪些方面的應(yīng)用。

3 結(jié)語

線性代數(shù)盡管是一門概念性較多的課程，但是它在生產(chǎn)生活中扮演著重要的角色。傳統(tǒng)的線性代數(shù)教學(xué)和現(xiàn)代多媒體教學(xué)往往采用“注入”式的方法，學(xué)生在課堂上很難掌握教學(xué)內(nèi)容，這將直接降低線性代數(shù)的教與學(xué)的質(zhì)效。將問題教學(xué)法引入到線性代數(shù)教學(xué)中，通過教師在問題提出、問題分析、問題解決、問題小結(jié)等各個環(huán)節(jié)下功夫，不但能充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且還能夠提高學(xué)生在教學(xué)過程中的參與度。一個合理的運用問題教學(xué)法的教學(xué)設(shè)計必將發(fā)揮線性代數(shù)課程的基礎(chǔ)性和服務(wù)型功能，最終能夠有效的提高教學(xué)效果。