立意于“下位學(xué)習(xí)”的《三角形的中位線》教學(xué)探究

張淑波

[摘 要]在《三角形的中位線》教學(xué)中，教師普遍采用上位學(xué)習(xí)形式來探索三角形中位線的性質(zhì)，但由于思維跨度大、所花時間多，導(dǎo)致偏離了教學(xué)重點(diǎn).而采取下位學(xué)習(xí)形式來探索三角形中位線的性質(zhì)能提高教學(xué)效率.

[關(guān)鍵詞]下位學(xué)習(xí);三角形;中位線

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）05-0007-02

命題學(xué)習(xí)有上位學(xué)習(xí)、下位學(xué)習(xí)、并列結(jié)合學(xué)習(xí)三種形式.《三角形的中位線》是在學(xué)習(xí)平行四邊形之后提出來的.目前在該課的教學(xué)中，教師普遍采用上位學(xué)習(xí)形式來探索三角形中位線的性質(zhì)，導(dǎo)致性質(zhì)證明與性質(zhì)應(yīng)用的認(rèn)知過程不深入.基于此，筆者根據(jù)平行四邊形與三角形之間的內(nèi)在聯(lián)系，采用下位學(xué)習(xí)形式來探索三角形中位線的性質(zhì).

一、教學(xué)實(shí)錄

1.經(jīng)歷定義三角形中位線與提出問題的過程

師：我們知道，三角形的中線、高線、角平分線是三角形的相關(guān)要素，聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段以后也會經(jīng)常遇到.我們把聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫作三角形的中位線.

師：一個三角形有幾條中位線？它與三角形的中線有何差異？

生1：一個三角形有三條中位線.三角形的中位線是聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段，而三角形的中線是聯(lián)結(jié)三角形的頂點(diǎn)與其對邊中點(diǎn)的線段.

師：三角形的中位線與第三邊之間有何關(guān)系？本節(jié)課我們就來研究這個問題.（揭示課題）

2.探索并證明三角形中位線的性質(zhì)

師：如圖1，若過平行四邊形ABCD的對角線交點(diǎn)O，作一條直線EF交平行四邊形ABCD于E、F兩點(diǎn)，則EO=OF.

師：如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是AB中點(diǎn)時，你能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論？

生2：EO=OF，CF=AE=BE.

師：為什么？

生2：首先，根據(jù)上述平行四邊形性質(zhì)可得EO=OF;其次，因?yàn)椤鰽OE≌△COF，AE=BE ，所以CF=AE=BE.

師：有道理.還能發(fā)現(xiàn)什么？

生3：EF=BC.因?yàn)镃F=BE且CF∥BE，所以四邊形EBCF是平行四邊形，所以EF=BC.

生4：[EO=12BC]，EO∥BC.因?yàn)镋F=BC，EO=OF，所以[EO=12BC].因?yàn)镃F=BE且CF∥BE，所以四邊形EBCF是平行四邊形，所以EO∥BC.

師：好的.我們從平行四邊形性質(zhì)出發(fā)，通過推理得到了三角形中位線與第三邊的關(guān)系.

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

師：它是解決線段平行問題和線段倍半關(guān)系問題的重要工具.定理的幾何模型如圖3所示，用幾何語言表達(dá)就是：如圖3，在△ABC中，若E是AB的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，則EO∥BC，[EO=12BC].事實(shí)上，在上述推理過程中發(fā)現(xiàn)，不用上述平行四邊形性質(zhì)，也能證明三角形中位線的性質(zhì).

師：如圖3，要證[EO=12BC]，EO∥BC，只要證什么？

生5：如圖4，作以BC為邊的平行四邊形BCFA，延長EO交CF于點(diǎn)D，只要證四邊形EBCD是平行四邊形.

師：你是怎樣想到添這些輔助線的？

生5：因?yàn)閳D3是從平行四邊形中分解出來的，所以想到讓它還原成平行四邊形.

師：你運(yùn)用了化歸思想.能證四邊形EBCD是平行四邊形嗎？

生5：能證.因?yàn)锳O=OC，CF∥AB，所以△AEO≌△CDO（ASA），所以CD=AE=EB，所以四邊形BCDE是平行四邊形.

師：由此，能推出EO∥BC，[EO=12BC]嗎？

生5：能.因?yàn)樗倪呅蜝CDE是平行四邊形，又因?yàn)镋O=DO，所以EO∥BC，[EO=12BC].

師：還有其他證明方法嗎？

生6：如圖5，延長EO至點(diǎn)D，使EO=OD，則△AEO≌△CDO，所以CD=AE=EB，且CD∥AB，所以四邊形BCDE是平行四邊形，所以EO∥BC，[EO=12BC].

師：好的.你是怎樣想到添這條輔助線的？

生6：要證[EO=12BC]，只要證2EO=BC，所以想到了添這條輔助線.

師：有道理.“加倍法”是證線段倍半關(guān)系的基本策略.還有其他證明方法嗎？

生7：如圖6，取BC的中點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)DO并延長至點(diǎn)F，使DO=OF，聯(lián)結(jié)AF，則△AFO≌△CDO，從而AF=CD=BD，∠F=∠ODC，從而AF∥BD，從而可以推出四邊形AFDB是平行四邊形，進(jìn)而可以推出四邊形EBDO是平行四邊形，所以EO∥BC，[EO=12BC].

師：好的.你是怎樣想到添這條輔助線的？

生7：根據(jù)[EO=12BC].

師：有道理.“折半法”（取長線段的一半）也是證線段倍半關(guān)系的基本策略.

生8：還有一種證法，即如圖7，取BC的中點(diǎn)D，連接AD、ED、OD，則S△ABD=S△CAD，S△AED=S△BED，S△AOD=S△COD，所以S△EBD=S△OCD，點(diǎn)O、E到BC的距離相等，EO∥BC.同理OD∥AB，四邊形BEOD是平行四邊形，[EO=12BC]，EO∥BC.

師：妙！你用“面積法”巧妙地證明了這個命題.

師：你是怎樣想到這種證明方法的？

生8：我覺得應(yīng)該可用“折半法”來證明，但用常規(guī)方法花了很多時間還是證不出來，于是嘗試用面積法去證，結(jié)果成功了.

3.參與嘗試定理應(yīng)用的活動

師：下面請大家合作解決下列三個問題.

問題1：如圖8，要測量B、C兩地的距離，小明想出一個方法：在池塘外取點(diǎn)A，得到線段AB、AC，并取AB、AC的中點(diǎn)D、E，連接DE.只要測出DE的長，就可以求得B、C兩地的距離.其理論依據(jù)是什么？

問題2：如圖9，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

問題3：如圖10，已知△ABC是銳角三角形.分別以AB、AC為邊，向外側(cè)作等邊△ABM和等邊△ACN.D、E、F分別是MB、BC、CN的中點(diǎn)，連接DE、FE.求證：DE=FE.

師（約5分鐘后）：誰來回答問題1？

生9：其理論依據(jù)是三角形的中位線定理.

師：好的.誰來證明問題2？

生10：聯(lián)結(jié)AC.根據(jù)三角形中位線定理，得[HG=12AC]，HG∥AC.同理，[EF=12AC]，EF∥AC，所以HG=EF且HG∥EF，所以四邊形EFGH是平行四邊形.

師：好的.誰來證明問題3？

生11：聯(lián)結(jié)BN，MC.根據(jù)三角形中位線定理，得[EF=12BN]，[DE=12MC].又因?yàn)椤鰽BN ≌△AMC，所以BN=MC，所以DE=FE.

師：好的.怎樣的題型可考慮用三角形中位線定理？

生12：若問題與中點(diǎn)有關(guān)，則可考慮用三角形中位線定理.

師：有道理.若問題與中點(diǎn)有關(guān)，則可考慮構(gòu)造三角形中位線的幾何模型.

二、教學(xué)分析

本課根據(jù)平行四邊形與三角形之間的內(nèi)在聯(lián)系，用下位學(xué)習(xí)形式來探索三角形中位線的性質(zhì)，設(shè)計(jì)了“用抽象方式定義三角形的中位線→提出問題（三角形中位線與第三邊之間有何關(guān)系？）→邏輯推理（根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，通過推理得出三角形中位線的性質(zhì)）→多樣表達(dá)（用文字語言、符號語言、圖形語言表達(dá)性質(zhì)）→再探證法（用多種方法證明性質(zhì)）→解決問題（用獲得的定理解決簡單的問題）→反思內(nèi)化（欣賞定理，感悟探索的策略與方法及證明性質(zhì)的思想方法，積淀證線段倍半關(guān)系添輔助線的經(jīng)驗(yàn)等）” 的教學(xué)過程，把教學(xué)側(cè)重點(diǎn)放在性質(zhì)證明與性質(zhì)應(yīng)用上，并從學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，采用教師價值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的方式和用激勵來評價學(xué)生表現(xiàn)的教學(xué)方法.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）