巧妙構造圖形證明常見公式

李富國

[摘 要]有些公式的證明比較簡單，有些公式的證明有難度.如果換個方法，構造數學圖形來證明，可以化繁為簡.學習這種證明方法，可以開闊學生的視野.

[關鍵詞]公式;構造;圖形;證明

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2021）05-0003-02

從小學到中學，我們學過各種數學公式，有些公式記憶和推導起來比較容易，比如等差數列的通項公式，而有些公式的記憶和推導卻比較困難，比如點到直線的距離公式.如果我們采用數形結合的方法，就可以比較直觀地證明一些常見的數學公式.

先看一道小學競賽題：

某日師父對他的徒弟說：我在你現在的這個年齡時，你只有2歲，等你到我的這個年齡時，我就41歲了，求師父與徒弟現在各多少歲.

這個問題可以利用一元一次方程來解，或者利用二元一次方程組來解，也可以不使用任何未知數，直接使用算術的方法來解，但是都沒有下列圖解法來得簡單、巧妙.

如圖1，AB是一條線段，C、D是徒弟與師父現在的年齡的位置，當師父移到C時，徒弟移到A（2歲）;當徒弟移至D時，師父移至B（41歲）.可見，C、D是AB的三等分點，三段距離均為13.因此，師父現在為41-13=28歲，徒弟現在的年齡是2+13=15歲.

這真是妙解啊！“圖解”的方便在于能直觀、快速地看出問題的突破點所在，從而巧妙地解決問題.下面筆者利用圖解法來證明常見公式.

一、證明均值不等式

兩正數的算術平均值大于或等于其幾何平均值，且取“=”的充要條件是兩數相等.

從以上常見公式的證明可以看出，通過構造合理的圖形能夠把一些較復雜的公式化繁為簡，起到事半功倍的效果.

（責任編輯 黃桂堅）