電樞分段供電永磁直線同步電機的非線性數學模型

郭科宇 李耀華 史黎明 周世炯 徐 飛

電樞分段供電永磁直線同步電機的非線性數學模型

郭科宇1,2李耀華1,2史黎明1周世炯1,2徐 飛1

（1. 中國科學院電工研究所中國科學院電力電子與電氣驅動重點實驗室 北京 100190 2. 中國科學院大學 北京 100049）

電樞分段供電永磁直線同步電機（PMLSM）中，相鄰分段鐵心的存在會導致氣隙磁場脈振，動子穿過電樞定子段也會引發復雜的暫態過程。為準確描述電機的動態過程，該文考慮以上兩種特有的電磁特性，建立雙三相分段供電PMLSM的相空間模型。首先，采用解析法分析脈振氣隙磁場的成因，研究電感不平衡以及飽和效應問題，將六相電流轉化到ab坐標系下建立二維電感查詢表，有效地降低了模型的運算量。其次，引入易于求導的Sigmoid函數構造隨動子位置變化的耦合系數，準確描述動子通過分段過程產生的空載磁鏈及反電動勢。依據上述方法構建電機相空間模型，與有限元模型進行對比，兩者電壓與推力計算結果一致。最后，在RT-Lab中搭建基于相空間模型的半實物實驗平臺，結果表明，該模型能夠準確地體現電機的各種效應，可以替代計算成本較大的有限元模型。

永磁直線同步電機 分段供電 磁場飽和效應 相空間模型

0 引言

雙三相永磁直線同步電機（Permanent Magnet Linear Synchronous Machine, PMLSM）由于具有響應速度高、定位精度高、控制品質好、系統可靠性高的優點[1-4]，同時兼具多相電機單相容量低、可靠性高的特點[5-7]，適用于高速磁懸浮交通直線驅動、高加速的電磁驅動系統。對于長行程應用場合，為了減小電源容量，降低制造和運營成本，通常采用長電樞短勵磁的方案，并將長電樞側分段，當動子運動到某一個分段下，則為該電樞供電[8-10]。

在研究電機動態過程或各種控制方法時，往往需要準確、全面、高效的動態數學模型[11]。動態數學模型主要分為分布參數模型和集總參數模型。有限元模型作為一種分布參數模型，因可以給出十分精確的計算結果而被廣泛使用[12-14]；然而有限元模型計算成本大，因而對于行程較長的直線電機來說，進行一次仿真需要的時間過長。而傳統的集總參數模型因具有計算成本小、計算效率高的特點也得到了廣泛應用[15]。電機的集總參數模型主要包括dq軸模型和相空間模型[11]，其中dq軸模型是將相空間模型的電感矩陣通過Park正交變換成對角矩陣，從而達到dq軸解耦與簡化計算的目的。對于電感矩陣循環對稱且為常數或者僅為轉子或動子位置正弦函數的情況，dq軸模型易于實施且容易計算[16-18]，但是當考慮飽和效應等非線性因素以及諧波磁場時，dq軸模型中的電感矩陣便不再是常量，此時相空間模型憑借其靈活性更加適合建立動態數學模型[15, 19-20]。文獻[15]采用相磁鏈直接查表法建立了三相旋轉永磁電機的非線性相空間模型，減小了查表的維度，降低了模型計算量。文獻[19]采用三相電感直接查表法針對星形聯結的旋轉永磁電機建立了相空間模型，并通過有限元計算驗證了該模型的正確性。文獻[20]對三相盤式電機建立了非線性相空間模型，并同時在模型中考慮了鐵心損耗。然而以上文獻集中于旋轉電機的動態模型，針對鐵心開斷且分段供電的長電樞永磁直線電機動態數學模型的文獻較少。

與旋轉電機不同的是，長電樞永磁直線電機存在磁極動子穿過定子電樞分段的過程，同時還存在由相鄰分段電鐵心引起脈振氣隙磁場而導致的電感不平衡的現象[21-28]。文獻[28-29]對分段供電三相永磁直線電機建立了相空間模型，在模型中同時考慮了動子的通過過程，并分析了電機運行的動態過程。但是由于該電機主要工作在持續運行工況，因而飽和程度不明顯，因此該模型假設動子完全被定子覆蓋時電感為恒定值。

然而由于高加速電磁驅動應用中的直線電機同時需要滿足輕量化和大推力，往往工作在短時高過載的工況，因而面臨深度飽和效應引發的電感波動問題。在短電樞直線電機和旋轉電機中，飽和效應主要由行波磁場引發，電感波動循環對稱；而長電樞分段供電PMLSM中的飽和效應主要由脈振氣隙磁場引起，其結果是各相電感諧波幾乎為同相位。采用精確且計算快速的數學模型描述電機的動態過程對分段供電PMLSM電磁瞬態過程研究、電機實施精確控制都具有重要意義。

本文建立準確且計算快速的雙三相分段供電PMLSM的相空間模型，針對定子電樞分段造成的脈振磁場，采用解析法對其進行深入分析。提出將電機六相電流轉化到ab坐標系下建立二維電感查詢表，在保證查表精度的同時，有效提升電感查表速度，降低生成電感查表所需的有限元仿真或實驗次數。針對動子過分段的過程，提出采用易于求導的Sigmoid函數構造耦合因數，簡單并準確地描述了電機的空載磁鏈和反電動勢特性。最后基于RT-Lab搭建了半實物實驗平臺，驗證了本文建立的相空間模型能夠準確反映雙三相分段供電PMLSM的電磁特性。

1 電感不平衡和飽和特性分析及電感快速查詢表構建方法

雙三相長電樞直線電機定子由多個分段組成，設從左向右的分段編號為1～sec，分段供電直線電機如圖1所示，一個分段下電機的結構如圖2所示。圖中，PMLSM參數見表1。為節約橫向端部空間，方便繞線，定子采用背繞式分布繞組（即克萊姆繞組）。為了減少動子永磁體端部漏磁，動子采用端部半磁極結構。由于電機工作在短時狀態，因此電流密度選取較高。

圖1 分段供電直線電機

圖2 一個分段電機的結構

表1 PMLSM參數

Tab.1 The parameters of the PMLSM

1.1 脈振氣隙磁場分析

永磁體的磁導率與空氣相近，且動子中不存在鐵磁材料，可單獨研究電流在氣隙中產生的磁場。繞組在氣隙中產生的磁場可視為各個導體單獨產生的磁場疊加的結果，因此先計算單個導體在氣隙中產生的磁場，單個導體位于雙邊鐵心中的模型如圖3所示。

為簡化計算過程，進行如下假設：①忽略齒槽，設導體內的電流為，將單根載流導體視作一個緊挨鐵心的點電流；②＜-1或＞2處的磁場為0；③氣隙中只含方向磁場；0為真空磁導率；Fe為鐵心磁導率；⑤忽略分段間軌縫。

圖3 單個載流導體位于雙邊鐵心中

分別對區域2與區域3列寫關于法向磁通密度的微分方程為

其中

式中，1y、2y分別為區域a和區域b的氣隙法向磁通密度。區域a與區域b滿足的邊界條件為

求解式（1）、式（2）得到單個導體在雙邊鐵心下產生的氣隙方向磁通密度分布cony為

一相繞組通電后在氣隙中產生的磁場為繞組中各導體產生磁場的疊加，各相繞組產生的氣隙磁通密度表達式為

對應不同時刻（對應不同電角度）下的整體氣隙磁通密度波形如圖4所示。氣隙磁場在向前運動的同時，還存在直流脈振分量。當電角度為p/2和3p/2時，氣隙磁場的直流分量分別達到正、負最大值。由于供電分段的兩側存在未通電分段的鐵心，根據磁通連續性定理，各相繞組產生的磁場在通電分段區間內存在直流分量，因此導致合成磁場中存在直流脈振分量[21]，從而形成脈振氣隙磁場。

圖4 不同電角度下的六相電流產生的氣隙磁通密度

1.2 脈振氣隙磁場導致的電感不對稱現象

雙三相電機的繞組相量如圖5所示，ABC和DEF分別為兩套互差120°電角度的三相繞組，兩套三相繞組間相差30°電角度。

圖5 雙三相電機的繞組相量

雙三相電機的電感可依據相間電角度分為五類。在旋轉電機中，當忽略凸極效應及飽和因素時，各個類別中的電感是相等的。

（1）第一類電感：各相自感，包括aa、bb、cc、dd、ee、ff。

（2）第二類電感：互差120°相間互感，包括ab、bc、ac、de、ef、df。

（3）第三類電感：互差30°相間互感，包括ad、be、cf。

（4）第四類電感：互差90°相間互感，包括bd、ce、af。

（5）第五類電感：互差150°相間互感，包括ae、cd、bf。

對于分段供電的雙三相直線電機，當一相繞組通入電流時，繞組產生的氣隙磁通密度存在直流分量。這部分直流分量交鏈到其他相繞組中會導致電感不平衡。直線電機的自感與互感表達式均為

式中，1、2為相標號，即a～f；為2相的繞組函數[30]；sw為有效電機橫向寬度。當1=2時，式（5）計算得到1相自感；當1≠2時，式（5）計算得到1與2相間互感。

采用式（5）計算得到電機的五類電感見表2。第一類和第三類電感是內部相等的，但第二、四、五類電感內部均不相等。在旋轉電機中應為0的第四類電感，在長初級直線電機中不為0。

1.3 脈振氣隙磁場導致的飽和效應及電感波動分析

電機工作于短時高過載狀態，繞組的電流密度較大（最大達到44A/mm2），容易導致鐵心飽和。六相電流產生的氣隙磁場存在脈振分量，使得鐵心軛部的飽和程度加深。忽略永磁體，單獨向供電分段的繞組中通入一個電周期的六相電流，獲得電角度為0、p/2、p、3p/2下的鐵心磁通密度分布如圖6所示。由于脈振磁場的影響，電角度為p/2和3p/2時，鐵心局部磁通密度大幅增加，達到2T以上；而當電角度為0和p時，鐵心磁通密度僅為1.6T。

表2 一個分段的各類電感

Tab.2 The inductances of a power section

圖6 一個電周期內不同電角度下的磁通密度分布

一個電周期內，脈振磁場兩次達到峰值，此時由于偏置引發的軛部磁通密度飽和程度加深則會導致各類電感下降，引發電感波形中產生2次諧波。且對于各相電感，2次諧波相位基本一致。通入額定六相電流，一個電周期內的五類動態電感波形如圖7所示。

1.4 任意六相電流下的二維電感查詢表

雙三相電機的動態電感矩陣階數=6，共有2個元素，考慮到電感矩陣的對稱性，以及由相鄰未通電鐵心引起的電感矩陣不平衡及飽和效應，動態電感矩陣中含有(2-)/2+=21個獨立變量。該21個變量均為六相電流（a～f）的函數，即(a～f)，因此動態電感矩陣的查詢表為一個6輸入、21輸出系統。

圖7 額定電流下一個電周期內的動態電感

采用拉丁超立方采樣（Latin Hypercube Sampling, LHS）在ab 平面中進行電流采樣，獲得各個電感隨ia 與ib 變化的插值曲面，如圖8所示。

2 動子過分段過程空載特性分析及建模

2.1 基于Sigmoid函數的耦合因數構造

動子采用的是端部半磁極形式，以半個N極與半個S極為一個單元磁路。取分段中的A相繞組為例，動子通過供電分段的過程如圖9所示。將運動坐標軸原點定于供電分段的左側端部，表示動子頭部位置。隨著動子進入分段，與A相繞組耦合的單元磁路個數逐漸增多，直到A相繞組耦合的單元磁路達到最大極數6，動子穿出過程與穿入過程相反。永磁體在A相中產生的磁鏈pmA可分解為圖9中的A相繞組耦合系數A與A相單元磁路磁鏈pmuA的乘積，即pmA=ApmuA。

圖9 動子通過一個分段時在A相繞組中產生的磁鏈

A相的耦合因數A為動子頭部位置的函數。由于在求取空載反電動勢時，需要對永磁體磁鏈求導，若A采用階躍函數則表示會在求導過程中產生沖激。為避免該現象，引入Sigmoid函數（即sig()）柔化A的階躍邊緣，其導數可用函數本身的值求出，即sig()=sig()(1-sig())。A相耦合因數為

式中，sig為Sigmoid函數的伸縮因子，sig值越大，則階躍邊緣越銳化。其余相的耦合因數可以通過平移A獲得，即

動子運動過程中，耦合因數隨動子位置的變化如圖10所示。

圖10 耦合因數隨動子位置的變化

2.2 基于耦合因數的空載特性建模

由圖9可知，動子在分段繞組中產生的永磁體磁鏈可由單元磁路磁鏈與相應的耦合系數相乘得到。以A相為例，一個單元磁路在一個周期內產生的磁鏈及頻譜如圖11所示。

圖11 單元磁路在A相中產生的永磁體磁鏈

A相單元磁路永磁體磁鏈的傅里葉級數形式為

式中，pmui與pmui分別為第次諧波的幅值和相位。其余各相的單元磁路永磁體磁鏈可通過平移pmuA得到。六相永磁體磁鏈可表示為

動子穿過分段時產生的各相空載反電動勢為永磁體磁鏈對時間的導數，即

式中，p為各相符號，p=A～F；v為動子速度。將采用式（10）與式（11）計算得到的空載永磁體磁鏈與空載反電動勢分別與有限元計算結果對比如圖12所示，有限元和空載模型的計算結果一致。

3 電機的相空間模型

為描述電機整體運動過程，基于電機的動態電感查表方法、空載磁鏈及反電動勢描述方法建立了電機的狀態方程。一個分段下，電機的電壓方程為

式中，abcdef、abcdef和pm分別為六相相電壓、相電流和空載磁鏈矢量；s為相電阻；、s分別為六相動態電感矩陣和漏感矩陣。采用虛功原理計算電機的電磁推力為

選取動子速度、六相電壓abcdef為控制量，abcdef為狀態量建立一個分段下的相空間模型為

式中，thrust為電機產生的電磁推力；detent為動子行進過程中由端部效應、齒槽效應引起的定位力。

一個分段下的電機相空間模型可更直觀地以框圖形式表示，電機狀態方程的框圖如圖13所示。

圖13 電機狀態方程的框圖

通入六相平衡額定電流，采用式（14）對動子穿過一個分段時的負載性能進行計算，并將端口電壓和推力波形與有限元結果對比如圖14所示。為檢驗結果的一致性，計算相空間模型的各相電壓波形與有限元之間的皮爾森相關系數（Pearson Correlation Coefficient, PCC）見表3，六相電壓相關系數均在99%以上，說明由六相電感矩陣不平衡和飽和效應所導致的電壓不平衡均準確地體現在相空間模型中。采用相空間計算得到的動子穿過分段時的推力波形與有限元計算結果的相關系數為99.6%，表明相空間模型可以精確地描述動子的過分段推力特性。

表3 相空間模型電壓波形與有限元計算的相關系數

Tab.3 The correlation coefficient between phase voltage calculated by phase-domain model and FEM-model

4 實驗驗證

為驗證電機數學模型的有效性，在RT-LabOP5700半實物平臺中搭建了電機相空間模型，并基于該模型實現電機全過程實時驅動系統。實驗平臺及驅動系統整體架構如圖15所示。實驗機箱由CPU板卡和Xilinx公司的Virtex7 FPGA板卡兩部分組成。電機的驅動控制器采用CPU板卡實現，控制頻率為10kHz。電機的相空間模型則編寫在FPGA中，其離散化精度為500ns。

由于分段供電的電機最多有2個分段同時供電，為節省計算資源，在模型中僅需兩臺雙三相變流器對兩個電機相空間模型交替供電，長電樞電機的分段供電方式如圖16所示。兩個電機相空間模型分別代表實際系統中的奇數號分段和偶數號分段。如圖15b所示，在FPGA中，包含奇數號分段和偶數號分段的電機模型以及動子運動方程。電機模型計算得到電磁推力后作為輸入送入運動方程中進行動子位置和速度的計算。動子運動方程將動子位置和速度反饋到電機模型完成空載反電動勢與Park變換矩陣的計算。

圖15 基于RT-Lab OP5700的半實物實驗平臺及驅動系統整體架構

圖16 長電樞電機的分段供電方式

為節省計算資源，在建立基于FPGA的電機模型時，所有數據均采用定點數進行運算。同時，復雜的函數（如Sigmoid函數及其導數、三角函數等）均采用查表的方式進行計算。兩個電機方程以及一個動子運動方程總共占用FPGA的主要資源見表4。FPGA中的電機模型離散化精度為500ns，而FPGA的晶振頻率為200MHz。本文建立的電機模型可以在100個晶振周期之內完成計算。

表4 電機模型以及動子運動方程所占用的FPGA資源

Tab.4 The resources in FPGA occupied by PMLSM model and motion equation

采用d=0的控制策略，將280kg的動子以90m/s2的加速度跟蹤最大為30m/s的三角波速度給定。采用數學模型計算得到的電機加速性能如圖17所示。圖17a表明，整個過程中動子成功地跟蹤了參考速度。在加速過程中，不同的供電分段交替為動子提供推力，如圖17b所示，可以看出，當動子過分段時，電機的相空間模型可以準確體現動子耦合因數下降引起的推力下降，以及由定位力引發的波動。電機dq軸電流給定及各分段的dq軸電流波形如圖17c所示。圖17d為各個分段六相電流波形。電機運動過程中的空載反電動勢如圖17e所示，隨著速度提高，空載反電動勢幅值隨之升高，同時在動子過分段時，動子所離開的分段空載反電動勢逐漸減小為0，因此所建立的模型可以準確描述動子過分段時的反電動勢特性。

圖17 采用數學模型計算得到的電機加速性能

以上結果表明，本文建立的相空間模型不僅保證了與有限元模型接近的精度，同時作為集中參數模型，相空間模型的計算成本小于有限元模型，可以方便地搭建在半實物實驗平臺中，提高控制系統調試和分析的準確性。

5 結論

本文建立了電機的非線性相空間模型，可以準確地描述多相分段供電PMLSM中由繞組分段引起的電感不平衡、飽和效應和動子通過分段時的暫態過程。主要結論如下：

1）由于通電電樞段兩側存在未通電電樞段的鐵心，從而導致氣隙磁通密度中含有脈振分量，脈振分量導致相電感存在不平衡現象。

2）在高過載工況下，電機的飽和效應主要由脈振磁場引起，從而使得各相自感和互感同步波動。六相電機的電感矩陣階數較高，將多相電流從多相坐標系映射到ab坐標系，通過a和b查詢的二維動態電感查詢表，可有效地削減電感查詢表構建所需的仿真或實驗數量，降低了模型的計算成本。

3）采用Sigmoid函數構造耦合因數，并基于耦合因數和單元磁路永磁體磁鏈建立的動子，通過分段時的空載磁鏈及空載反電動勢模型，準確地描述電機特性。

4）建立了一個分段下的電機狀態方程，對比負載狀態下相空間模型和有限元模型的電壓與推力，結果表明二者計算結果的一致性為99%以上。

通過實驗驗證的相空間模型可有效地應用于相應控制系統調試和分析中，相空間模型不僅保證了近于有限元模型的精度，同時作為集中參數模型，其計算成本遠小于有限元模型。

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Non-Linear Mathematic Model of a Segmented Powered Permanent Magnet Linear Synchronous Machine

1,21,211,21

（1. Key Laboratory of Power Electronics and Electric Drive Institute of Electrical Engineering Chinese Academy of Sciences Beijing 100190 China 2. University of Chinese Academy of Sciences Beijing 100049 China）

Due to the segmented arrangement of windings in long primary dual-three phase permanent magnet linear synchronous machine (PMLSM), the adjacent segments will cause the off-set pulsating magnetic field, and the mover passing through the powered segment will also cause complex transient processes. In this paper, in order to describe the dynamic characteristics of the PMLSM precisely, a phase-domain mathematic model is established and the two fore-mentioned special effects are considered. The causes of off-set pulsation in the air-gap flux distribution are analyzed by the analytical method, and the unbalanced inductance and saturation effects caused by the off-set flux distribution are studied. A 2-D inductance look-up table inabcoordinate system is established to reduce the computation consumption of the model. Then, the easy-to-derivative Sigmoid function is introduced to describe the no load flux linkage and back electromagnetic force. Finally, the mathematic model is established, the voltage and thrust are calculated by the model and verified by the finite element method. Finally, an experiment platform based on the RT-Lab is built. The results show that the model can reflect the various effects of the motor and can replace the finite element model with a large computational cost.

Permanent magnet linear synchronous machine, segmented powered, saturation effect of magnetic field, phase-domain model

TM359.4

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.201078

國家重點研發計劃高速磁浮交通系統關鍵技術研究課題資助項目（2016YFB1200602-20）。

2020-08-30

2020-12-01

郭科宇 男，1993年生，博士研究生，研究方向為永磁直線同步電機設計及控制。E-mail: guoky93@mail.iee.ac.cn

史黎明 男，1964年生，研究員，研究方向為直線電機設計及其控制、無線電能傳輸技術。E-mail: limings@mail.iee.ac.cn（通信作者）

（編輯 陳 誠）