巖層移動內外“類雙曲線”整體模型研究

左建平,吳根水,孫運江,于美魯

(1.中國礦業大學(北京) 力學與建筑工程學院，北京 100083; 2.中國礦業大學(北京) 采礦巖石力學基礎科學研究中心，北京 100083)

長期以來，巖層移動與開采地表沉降普遍被劃分為2個較為獨立的學科。巖層移動主要關注采礦引起的巖層破斷力學行為(巖層內部瓦斯、水等運移變化、采場和巷道空間的穩定等)。而地表沉降相關研究則側重在地表沉陷所帶來一系列環境、設施、生活和生態等的影響。然而巖層移動與地表沉降之間存在聯系，開采必然引起上覆巖層發生運動，其本質是力學現象，影響和制約安全和生態環境[1]。在20世紀80年代早期，錢鳴高院士首先將上覆破斷巖塊視為構件單元，用結構力學方法獲得了基本頂破斷巖塊相互鉸接“砌體梁”結構力學模型以及穩定條件[2-4]。到了20世紀90年代中期，隨著對巖層控制科學研究的不斷深入，人們開始逐漸意識到開采對地表與地下環境產生的影響。因此，錢鳴高院士及其團隊進一步提出巖層控制關鍵層理論。以關鍵層作為巖層移動研究的主體，用力學方法解釋巖體采動后的結構形態、應力場和裂隙場的改變。由此對采場礦壓、開采沉陷、采動巖體水與瓦斯運移有了較為統一的認識和完整的力學描述[5-6]。

巖層冒落與裂隙帶的形態與大小為巖層移動與地表沉降提供了條件。掌握冒落拱、裂隙拱移動規律與形態的變化對煤層群上行開采、強含水層或承壓水下采煤、下保護層開采等等的安全開采距離評價具有重要指導意義。近年來，已有大量國內外學者對巖層破斷規律與狀態進行了一系列理論與試驗研究。如FENG和WANG[7]認為不論是近水平煤層還是傾斜煤層開采，上覆基巖斷裂均存在破斷角度，巖層裂隙帶發育范圍近似可認為“梯形”大結構;FORSTER和ENEVER[8-9]以澳大利亞的大煤層超臨界長壁面板為基礎，建立了一個實用的水文地質模型，該模型描述了巖層垮落帶與裂隙帶也為一個“梯形”大結構，并且更近似于“倒漏斗式”拱形。郭文兵等[10]認為開采強度與覆巖運移程度有關，揭示了高強度開采條件下覆巖“兩帶”破壞模式與形成機制;許家林等[11-13]基于關鍵層理論，提出了一套更為合適和準確的巖層“三帶”高度計算方法。

地表沉陷狀態與影響范圍是采取土地復墾、地下管線布置以及村莊農田保護的依據。目前預測地表沉降與巖層移動的普遍方法是經驗法與數學方法相結合，其本質屬于一種數學方法，即通過從幾何、數學的方法，描述采礦現象[14-15]。早期我國煤炭主要開采區域煤層埋深淺、地質構造簡單，許多礦區可以通過傳統“倒漏斗式”沉降曲線進行地表沉降影響預測。隨著開采深度增大，地質結構變得復雜，若覆巖中存在較厚的松散層，傳統地表沉降預計方法的精確性將由此受到影響[16-18]。厚松散層開采條件下巖層運動不僅是巖層破斷后的塊體運動，也是位于巖層至地表之間松散層的散體的組合運動。基于此，筆者[19]率先將地表沉陷與基巖破斷建立起聯系，揭示了巖層移動與地表沉降的力學本質。以關鍵層理論為基礎，通過具有明確物理意義的巖層移動“類雙曲線”模型將地表沉降與巖層移動邊界統一為整體。為了使巖層移動邊界“類雙曲線模型”適應更多復雜地質條件，而后還發展了更為精細化的“類雙曲線”識別模型[20-23]。此外，以巖層移動邊界“類雙曲線”模型為基礎，在再生頂板巖體巷道圍巖支護體系中也進行了應用，建立了再生頂板“拋物線—半雙曲線”擴展力學模型[24]。

伴隨著 “綠色采礦”與“科學開采”精神內涵不斷豐富，促使需要尋求一個更加關鍵合理的評價體系和力學模型解釋巖層移動與地表沉降之間復雜的力學關系[25-26]。因此，筆者以巖層移動破斷邊界“類雙曲線”模型為基礎[19]，將厚松散層“漏斗式”沉降拱與巖層移動“倒漏斗式”冒落拱進行聯系，通過內“類雙曲線”模型描述。建立了厚松散層近水平煤層開采整體巖層移動與地表沉降內、外 “類雙曲線”整體模型以及共軛條件。運用UDEC數值計算方法獲得了厚松散層覆巖共軛內外“類雙曲線”模型破斷運移規律，一定程度上驗證了理論分析，為更準確預計厚松散層覆巖移動提供指導。

1 覆巖“拱式”冒落與裂隙帶破斷機理

1.1 基巖破斷“倒口拱形”塊體結構假設

煤層開采巖層達到極限跨距時會發生初次破斷和周期破壞，巖層破斷規律具有周期性。當回采工作面沿傾斜方向的長度遠大于沿走向方向的跨距時，巖層的破斷可以認為是拉剪破壞的耦合[27-28]。其中，巖梁初次斷裂固支梁結構任意一點的應力分量的表達式[19]為

(1)

式中，q為上覆巖層的載荷;h為巖梁的高度;l為巖梁的跨度。

巖梁周期破斷懸臂梁結構任意一點的應力分量的表達式為

(2)

如圖1所示，通過Matlab軟件編程可直觀體現基巖初次斷裂與周期斷裂最大剪應力云圖。假定q=3 MPa，巖層厚度h=20 m，高跨比為1。可以觀察到，巖梁初次破斷時兩邊固定端附近受剪切應力作用，形成斜拉破斷，破斷巖梁近似為梯形結構。類似地，周期破斷巖體在固定端上邊緣為剪應力集中區，破斷后形成傾斜式貫穿裂縫，破斷結構形態同樣也為梯形結構。

圖1 基巖斷裂主應力跡線分布Fig.1 Distribution of main stress trace of bedrock fracture

文獻[19，29]認為基巖的破斷移動區呈臺階式倒漏斗形，原因包括2方面:① 基巖各巖層間為非線性、非連續破斷，出現倒漏斗形臺階;② 各巖層斷裂跡線呈倒漏斗形梯形塊體結構。在宏觀尺度上若忽略巖層破斷跡線，可將整體組合巖梁斷裂軌跡的梯形結構近似為開口向下的“倒口拱形”。如圖2所示，一般來說，主關鍵層以下巖層的破斷和移動范圍由深至淺將逐漸減小，即各巖層組合從下至上破斷的梯形破斷塊體分布密度由淺至深將不斷減小。因此，若將主關鍵層以下組合巖層視為統一巖體(組合巖梁h遠大于2l)，則關鍵層以下的整體巖層大結構破斷形態也為梯形結構。“拱形”假設將巖層宏觀破壞與不規則裂隙分布規律統一，簡化了復雜的非線性問題。兩拱的大小與狀態的變化規律對煤層群上行開采、強含水層或承壓水下采煤、下保護層開采等的安全開采距離評價具有重要指導意義。

1.2 冒落拱與裂隙帶臨界力學關系

采空區上覆巖層的拱形冒落破壞，其實質為冒落與穩定裂隙區巖體間的極限剪切破壞。圖3為不同配比相似巖梁材料實際斷裂形態與過程，巖層兩端的破斷線與水平線具有夾角，破斷形態呈梯形的塊體結構[29]，試驗結果很好地驗證了理論分析。

假定巖層垮落帶與裂隙帶為2個大型的統一冒落塊體[27,30]。基于塊體理論，對于整體頂板剪切冒落，以整體組合大結構冒落塊體為研究對象，將大結構冒落塊體視為梯形塊體分析，如圖4所示。

圖2 基巖倒漏斗“拱形”斷裂梯形結構Fig.2 Isosceles trapezoid structure of bedrock inverted funnel “arched” fault

圖3 不同配比相似巖梁材料實際斷裂形態與過程[29]Fig.3 Actual fracture morphology of similar rock beam materials with different proportions[29]

圖4 梯形塊體大結構力學模型Fig.4 Mechanical model of large structure of isosceles trapezoid block

考慮巖層塊體的自重，根據對稱性取塊體的一半簡化分析。根據圖4可以得出梯形塊體結構剪切面上的剪應力平衡滿足式(3):

(3)

式中，α為剪切面與水平方向的夾角;G為塊體結構的重力；σN為水平方向應力，其值等于頂板軸向應力與厚度的比值;f為剪切面滑動的摩擦因數。

其中，剪切面上的法向應力σn為

(4)

梯形塊體自重應力為

(5)

式中，γi為頂板巖層的容重。

假定巖層剪切破斷滿足摩爾-庫倫強度準則:

τf=C+σntanφ

(6)

式中，τf為剪切面抗剪強度;C,φ分別為巖層黏聚力和內摩擦角。

定義r為剪切破壞安全系數，以反映整體組合頂板發生剪切破壞的可能性,其值等于剪切面抗剪強度τf與剪應力τR的比值:

(7)

其中，組合巖體大結構梯形冒落拱的剪應力為τR2;梯形小結構的剪應力為τR1。當r<1時(τf<τR2)，頂板沿剪切面滑移冒落。當r=rmin時，組合頂板大結構整體冒落高度的極限值為hc(hc可由頂板剪切破壞安全系數r求得)。當整體冒落拱大結構高度h>hc時，頂板剪切冒落破壞，冒落形狀為拱形。若其中某一巖層剪應力τR2滿足τf<τR2時，則垮落帶以上的這一層巖體不發生拱式冒落，并且該巖層符合主關鍵層或亞關鍵層判定方法。

裂隙巖體破壞剪切力小于巖梁極限剪應力，巖層不發生拱式冒落，具有一定自承載能力，主要表現為整體下沉。如圖5所示，一方面，巖體僅有未貫通裂隙，巖層自承載能力沒有發生明顯變化;另一方面，垮落帶以上巖層雖然也形成了梯形塊體式斷裂，但是巖塊間存在咬合關系。在工作面中部，可能形成外表似梁，實質是拱的裂隙體梁的“砌體梁”結構平衡關系[31]。一旦“砌體梁”結構發生滑動極限失穩時，即為“梯形”倒漏斗式拱形結構滑落。這從力學的角度解釋了裂隙帶大結構巖層的“倒漏斗”拱式特征。

圖5 “倒漏斗式”拱形冒落巖塊咬合點處極限平衡結構Fig.5 Limit equilibrium structure at the joint point of “inverted funnel” arch caving block

1.3 厚松散層“漏斗拱形”運移機理

厚松散層力學特性與移動變形規律與覆巖差異較大。工作面推進冒落拱與巖層裂隙拱擴展和移動使地表沉降、移動曲線不斷變化。典型的厚松散層隨開采地表沉降動態下沉曲線如圖6所示。隨著工作面的推進，地表下沉盆地逐漸擴大，下沉值增大。整個開采過程中地表沉降和移動曲線整體表現為“漏斗式拱形”。隨著工作面不斷推進，漏斗式拱形深度達到最大值(3 931 mm)不再繼續增大，而是地表下沉盆地水平影響范圍不斷增大。

圖6 厚松散層隨開采地表沉降動態下沉曲線 (山東兗州礦區鮑店煤礦)[32-33]Fig.6 Dynamic subsidence curve of thick loose layer with mining surface settlement(Baodian coal mine in Yanzhou mining area,Shandong Province)[32-33]

覆巖冒落拱為其他相對穩定的巖層滑落與旋轉提供了空間，其形態和大小影響地表沉降范圍。目前普遍采用概率積分法進行預測地表沉降，隨機介質理論中將厚松散層視為非連續的顆粒介質。假設厚松散層中散體半徑ri越靠近地表越小，沉陷區域呈漏斗式拱形，如圖7所示。地表的下沉量W(x，z)與水平移動量U(x，z)表達式[34-35]為

(8)

(9)

式中，η為開采系數(η≤1)，取決于頂板管理方法;s為積分系數，只與縱坐標z和時間t有關;B(z)為水平移動系數。

圖7 厚松散層剪切滑移及移動機理Fig.7 Shear slip mechanism and movement model of thick loose layer

由于概率積分法以移動觀測資料和數學方法為基礎，在描述厚松散層水平煤層開采地表移動時存在預測模型參數物理意義不明確、預測參數不易確定、巖層力學本質揭示不清等問題[15]。因此，若忽略地下水砂流動、厚松散層失水壓縮和塑性變形等因素，從力學角度將厚松散層的移動過程分為3個階段:滑移—拉裂—剪斷[19]，如圖7所示。松散層的抗剪強度較低，在松散層下部易沿著與水平面成45°+φ/2角發生剪切滑移破壞。由于厚松散層壓實程度越靠近地表越小，內摩擦角φ也越靠近地表越小，地表拉裂角也將減小。這里從力學的角度解釋了松散層沉降曲線并不是一條直線，而是類似“漏斗式拱形”沉降曲線。

2 內外“類雙曲線”模型

2.1 巖層移動邊界外“類雙曲線”模型

為了從幾何、數學的方法，描述采礦現象并賦予數學方程明確的物理意義。筆者將厚松散層開采地表沉降和巖層移動兩者建立聯系[19-23]，并希望巖層破斷和地表沉陷研究有機地形成整體。不同于嚴格數學意義上的“雙曲線”，在實際采礦工程中“雙曲線模型”具有一定的相似性。因此，在建立模型描述和應用時，通過“類”字對“雙曲線模型”進行描述。以采場上覆巖層關鍵層理論為基礎，建立了充分采動厚松散層巖層破斷移動邊界的類“雙曲線模型”。巖層移動破斷邊界“類雙曲線模型”為近似“左右”對稱關系。為了便于區分，將巖層移動破斷邊界“類雙曲線模型”以巖層移動破斷邊界外“類雙曲線模型”命名，如式(10)所示:

(10)

將點(D/2，H)代入式(10)中，可得地表沉降范圍D的計算式(11)。該公式將基巖的倒漏斗型破斷和厚松散層的漏斗型移動統一，更利于準確預計地表沉陷。

(11)

2.2 巖層移動與地表沉降內“類雙曲線”模型

厚松散層地表沉降曲線近似“上凹”漏斗式碗狀拱，采空區垮落帶近似“下凸”倒漏斗式冒落拱。2者在數學上有近似“上下”對稱關系，關鍵層或關鍵層周邊某一巖層即為 “兩拱”的對稱巖層(對稱軸)。本節僅考慮整體冒落巖層剪切力大于其剪切強度形成梯形塊體冒落情況。假設主關鍵層位置位于7～10倍采高以外，裂隙帶發育高度由最近的亞關鍵層控制[11-12]，即認為垮落帶和裂隙帶的發育高度不超過主關鍵層高度。

若不考慮巖性變化、斷層構造、陷落柱以及開采方式等因素，在厚松散層水平煤層開采條件下，以關鍵層為基礎建立坐標系。可將圖8中地表移動、沉降曲線、覆巖裂隙拱和冒落拱邊界曲線通過焦點在z軸上的 “類雙曲線”模型整體描述。雙曲線模型開口大小受開口率(離心率)控制。因此，根據建立巖層移動與地表沉降“類雙曲線”模型能體現出階段差異，能夠較好地描述地表沉降與巖層移動的整體關系。

圖8 巖層移動移動與地表沉降共軛內外“類雙曲線” 整體移動模型Fig.8 Conjugate analogous hyperbola model of strata movement and surface subsidence

厚松散層水平煤層開采巖層移動與地表沉降內“類雙曲線”整體模型表達式為

(12)

其中，m，n為雙曲線的實軸和虛軸長。

(13)

(14)

若獲得實測松散層厚度，將點(0，Ht-H1)代入雙曲線模型，即可預計地表沉降移動最大值H1=Ht/2-m。地表沉降與巖層移動在縱方向的變化輪廓通過巖層移動與地表沉降內“類雙曲線”模型描述。

式(10)與(12)統稱為厚松散層水平煤層開采巖層移動與地表沉降的內外“類雙曲線”整體模型。準確來說，外“類雙曲線”模型指的是巖層移動破斷邊界“類雙曲線”模型，在工作面的中垂線附近似“左右”對稱關系;內“類雙曲線”模型指的是至充分采動覆巖倒漏斗拱式垮落帶、拱式裂隙帶與地表漏斗式沉降移動拱曲線，關于關鍵層附近巖層近似“上下”對稱。

2.3 內外“類雙曲線”模型共軛條件

以巖層移動邊界外“類雙曲線”模型為基礎，將物理參數的a與b進行聯系，建立整體內外“類雙曲線”模型。兩者受工作面推進距離d、采高、覆巖和松散層高度等影響。若巖層移動與地表沉降內外“類雙曲線”模型中物理參數a≈n，b≈m時，即內、外 “類雙曲線”有近似共同漸近線，“類雙曲線”模型關于坐標軸近似上下、左右對稱。此時，兩組“類雙曲線”模型即有數學上的近似共軛關系，稱共軛內外“類雙曲線”整體移動模型。此外，巖層移動破斷邊界外“類雙曲線”模型以關鍵層為基礎建立，共軛“類雙曲線”模型與主關鍵層近似對稱。

需要指出的是，在實際工程中受巖層構造、地下水等復雜地質條件影響，共軛內外“類雙曲線”模型為巖層移動內外“類雙曲線”模型的一個特例。地表最大下沉值點與地表下沉邊界連線與水平面的夾角為松散層沉降角ξ(一般小于45°+φ/2)。地表沉降范圍D越大，地表沉降角越小。若巖層移動與地表沉降內外“類雙曲線”模型有近似共軛關系時，則描述巖層移動地表沉降共軛內外“類雙曲線”模型的地表移動和地表沉降角ξ有如下近似關系:

(15)

3 內外“類雙曲線”模型實測驗證

筆者選取國內典型厚松散層近水平煤層工作面的走向或傾向實測地表沉降數據[33,36-37]，對巖層移動與地表沉降內外“類雙曲線”整體模型進行對比驗證。由于部分礦區松散層和基巖的力學參數資料存在缺失，故將基巖冒落角和厚松散層內摩擦角近似認為恒定值。其中基巖冒落角約為70°、松散層內摩擦角約為22°。列舉和驗證國內厚松散層礦區地表實測移動和理論驗證見表1。“類雙曲線”理論模型對水平厚煤層(采高>3 m時)沉降預測值較準確，實測巖層移動范圍與地表沉降最大值與理論模型預測值誤差控制在10%以內。理論模型與實際值的誤差較小，可見在厚松散層水平煤層開采條件下，巖層整體移動存在“類雙曲線”特征，巖層整體移動內外“類雙曲線”模型與實際結果基本吻合。

表1 統一巖層移動“類雙曲線”模型實測與驗證Table 1 Measurement and verification of analogous hyperbola model

需要指出的是，充分采動煤層地表下沉與巖層沉降達到極限值。在此后，地表沉降盆地垂直沉降減小，水平影響范圍增大。通過內外“類雙曲線”整體模型離心率(開口率)可描述動態地表沉降與開采巖層移動。

4 巖層移動與地表沉降離散元模擬

4.1 模型建立

離散元程序UDEC在非連續介質(如節理巖體)靜載荷或動載荷作用下的響應具有一定優越性，適合模擬塊狀系統(如研究開采巖層移動規律等)的大運動和大變形。如圖9所示，通過使用UDEC中Voronoi細分生成器(Voronoi Tessellation Generator)，巖石塊體可以表示為在其接觸面上結合在一起的隨機溶聚的剛性體或可變形多邊形子塊的堆積。UDEC-DM隨機大小的膠結多邊形與結晶巖和沉積巖的顆粒界面或顆粒膠結特性相連，從而與自然發生的破壞過程非常相似，因此這在模擬地下采礦地表松散層中有較大的優勢[38-39]。

圖9 UDEC-Voronoi組件的微觀特性和本構接觸行為[38-39]Fig.9 UDEC Voronoi assembly micro-properties and constitutive contact behaviour[38-39]

本節以山西省安太堡煤礦地質條件為基礎，通過UDEC 7.0建立數值計算模型。如圖10所示，模型尺寸為500 m × 157 m，根據安太堡煤礦的覆巖地質條件自下而上一共劃分了12組巖層[22,40]。其中，9號與5號砂巖分別為亞關鍵層與主關鍵層。松散層通過UDEC-Voronoi生成并賦予模型參數(表2)。數值模型兩邊和底部邊界條件通過位移固定，側壓系數為1.1。

安太堡煤礦目前主要采用綜合機械化放頂煤方法開采4號煤層，4號煤層厚度6.5 m，平均埋藏深度約為100 m。放頂煤厚度3.5 m，長壁開采寬度200 m。4號煤層及其上覆巖層地質條件簡單，無斷層和水文影響，地層近似水平分布。煤層上覆直接頂為頁巖，基本頂為砂巖。上覆巖層頂部有較厚的松散層。

4.2 計算結果與討論

圖11為不同推進距離巖層移動與地表沉降規律情況。巖層移動與地表沉降內外“類雙曲線”整體模型隨著開采推進具有階段化發展，具體為:① 煤層推進至40 m時，亞關鍵層未發生破斷僅有小范圍下沉，此時直接頂僅發生小范圍離層，地表幾乎不沉降。② 煤層推進至80 m時，直接頂初次冒落，直接頂倒漏斗式梯形拱形成，主關鍵層未發生破斷。基本頂與關鍵巖層僅發生小范圍下沉，地表沉降范圍影響較小;③ 煤層推進至160 m，關鍵層破斷，巖層裂隙帶發育至主關鍵層，采空區冒落拱范圍變大。采空區上覆巖層整體下沉直接影響至地表發生“漏斗式”下沉拱。巖層整體移動與地表沉降內外“類雙曲線”輪廓初步形成;④ 當煤層推進至240 m時，采空區冒落拱被整體巖層下沉接頂，采空區進一步壓實，地表下沉拱范圍不斷增大，最大下沉量趨于穩定;巖層整體移動與地表沉降內外“類雙曲線”輪廓相應擴展。 如圖11(e)所示，“類雙曲線”理論預測值與模擬最大下沉結果誤差較小，能夠較好地反映巖層移動與地表沉降整體變形規律。需要指出的是，地表沉降內“類雙曲線”模型在地表沉降移動邊界的描述有一定限制。需要結合巖層移動破斷邊界外“類雙曲線”模型共同描述。

圖10 安太堡煤礦UDEC數值模型Fig.10 UDEC numerical model of Antaibao coal mine

表2 塊體之間接觸力學參數[22,40]Table 2 Contact mechanical parameters between blocks[22,40]

圖11 巖層移動與地表沉降內外“類雙曲線”形成位移云圖Fig.11 Formation of analogous hyperbola model inside and outside of strata movement and surface subsidence

5 結 論

(1)以巖層移動破斷邊界外“類雙曲線”模型為基礎，建立了巖層移動與地表沉降內外“類雙曲線”整體模型。與傳統“漏斗式”巖層移動邊界曲線不同，該模型能更加精確地描述上覆巖層與地表沉降的整體移動規律，彌補傳統巖層移動曲線預測精度的不足。其中外“類雙曲線”模型指的是巖層移動破斷邊界“類雙曲線”模型，在工作面的中垂線近似“左右”對稱;內“類雙曲線”模型指的是覆巖冒落、裂隙拱與地表漏斗式沉降移動拱“類雙曲線”模型，在關鍵層近似“上下”對稱，其與巖層的物理力學性質有關。

(2)分析了共軛內外“類雙曲線”模型形成的共軛條件、影響因素與整體運移規律。巖層移動與地表沉降內外“類雙曲線”巖層移動模型的形成過程具有不同的階段特性，受推進距離、推進速度、采高、松散層與基巖厚度比等影響，其中采高與推進距離對模型預測精度影響較大。

(3)通過國內典型厚松散層近水平煤層開采工作面的走向或傾向現場監測數據，以及理論分析和數值模擬結果表明，建立的巖層移動與地表沉降內外“類雙曲線”整體模型理論預測值與實際值誤差較小，表明巖層整體移動存在“類雙曲線”特征。