Sobolev空間子集上的采樣集條件

李慧敏,李水艷

(河海大學 理學院,南京 211100)

0 引 言

在數字信號處理中,一個連續信號通常用其離散樣本{f(xj):j∈J}表示,其中J是一個可數索引集. 采樣問題主要包括下列兩個目標[1]:

2) 找到有效、快速的數值算法,從X上的樣本中恢復任何函數f∈V.

本文主要考慮采樣集滿足什么條件時函數才可從樣本中穩定地恢復. 如香農采樣定理[2]：對每個f∈L2()和其可通過從樣本點{f(xj):j∈}中被完全恢復,其中在上和L2()上的收斂性一致.

引入采樣不等式：

(1)

其中c和C是獨立于f的正常數. 不等式(1)表明,采樣值f(xj)的微小變化只引起了f的微小變化,即采樣是穩定的,從其樣本中重建的f是連續的. 因此,當不等式(1)成立時,集合X={xj:j∈J}是函數類V?L2(d)的穩定采樣集[1,3].

目前,關于采樣集穩定性的研究已有許多成果. 例如: Aldroubi等[1]研究了在平移不變空間中的非均勻采樣和重構; 文獻[4-5]研究了加權有限生成移位不變空間的采樣集條件和應用；文獻[6-7]分別討論了在乘法生成的移位不變空間中隨機抽樣和重構問題以及有界導數信號的隨機抽樣和近似問題.

本文主要討論Sobolev空間子集Vα中函數f采樣集的穩定問題,即在X={xj:j∈J}采樣集上找到刻畫條件,使得式(1)成立. 在d上定義函數類

Vα∶={f|f在d上連續,‖Df‖L2(d)≤α‖f‖L2(d)},

一般地,假設采樣值{f(xj):j∈J}可精確測量并不符合實際,一個更好的假設采樣數據形式為

(2)

(3)

因此,本文只需考慮對任意的函數f∈Vα,采樣集X={xj:j∈J}要滿足使式(3)成立的條件.

1 預備知識

定義f在d上的L2范數為

定義2表明,任何采樣點到其下一個相鄰點的距離最多為2γ. 因此,γ是密度的反比,即如果增加γ,則每個單位立方體的點數將減少.

定義3[4]適應于{Bγ(xj)}j∈J的有界單位劃分(BPU)是滿足下列條件函數{βj}j∈J的集合:

1) 0≤βj≤1,?j∈J;

2) suppβj?Bγ(xj);

引理1(Poincaré不等式)[12]設U是d上的有界連通開子集,具有C1邊界?U. 對于1≤p<∞,存在一個僅依賴于d,p和U的常數C,使得

‖u-(u)U‖Lp(U)≤C‖Du‖Lp(U),u∈W1,p(U),

2 主要結果

下面給出采樣集X={xj:j∈J}的刻畫條件,使得在該條件下,函數可從樣本中被穩定地恢復. 對任意函數f∈Vα,用式(2)的采樣方法可得采樣值{f(xj):j∈J}. 只需證明采樣集X={xj:j∈J}滿足一定條件時,采樣不等式(3)成立,即可說明函數f∈Vα能從樣本{f(xj):j∈J}中被穩定地恢復.

定理1假設采樣點集X={xj:j∈J}在d上是γ-稠密的,權函數{ψxj}滿足下列條件:

3) suppψxj?xj+[-h,h]d,這里h是一個充分小的正數.

則存在常數c,C>0,使得對任意函數f∈Vα,下列采樣不等式成立：

(4)

這里V(δ,d)是半徑為δ的d維球體體積.

‖f‖L2(d)≤‖f-Qxf‖L2(d)+‖Qxf-Pxf‖L2(d)+‖Pxf‖L2(d).

1) 先估計‖f-Qxf‖L2(d),有

再利用定義3中βj的性質和引理1中Poincaré不等式,可得

這里常數C1僅依賴于維數d和suppβj,常數C2僅依賴于j,γ由定義2給出. 對任意的函數f∈Vα,有‖Df‖L2(d)≤α‖f‖L2(d). 因此,

‖f-Qxf‖L2(d)≤C1C2γ‖Df‖L2(d)≤C1C2γα‖f‖L2(d).

2) 估計‖Qxf-Pxf‖L2(d). 同理,利用Poincaré不等式和βj的性質以及權函數{ψxj}的限制條件可得

這里常數C1僅依賴于維數d和suppβj,常數C2僅依賴于j,γ由定義2給出.

3) 估計‖Pxf‖L2(d)：

這里V(γ,d)是半徑為γ的d維球體體積.

綜合上述估計1)～3),可得

整理得

從而

因此采樣不等式(4)成立.