魯棒多目標規劃近似擬弱有效解的最優性條件和鞍點定理

張亞萌,余國林

(北方民族大學 應用數學研究所,銀川 750021)

多目標規劃問題在經濟、金融、工程設計、生態保護、醫療衛生和交通運輸等領域應用廣泛. 在實際問題中,由于受各種因素的影響,優化模型的目標和約束函數中通常含有不確定性數據,因此研究不確定優化問題有一定的理論意義. 魯棒優化法[1]是處理不確定優化問題的有效方法之一,該方法致力于保證最壞的解不受不確定性數據的干擾. 由于多目標規劃問題的(弱)有效解在非緊的情況下通常不存在,但近似解在很弱的條件下都可能存在,此外,在實際應用中利用數值算法所得的解多是近似解,因此,研究多目標規劃問題的近似解有一定的價值. 本文利用魯棒優化法討論一類不確定多目標規劃(uncertain multi-objective programming,UMP)問題近似解的最優性理論.

函數的凸性及其推廣在數學規劃中,尤其在建立優化問題最優性充分條件中具有重要作用. 文獻[2]針對一類不確定多目標規劃問題的目標和約束函數(f,g),引入了兩類廣義凸性的概念. 本文基于Clarke次微分對文獻[2]中的廣義凸性進行推廣,并引入兩類新的(f,g)廣義凸函數的定義：(f,g)-Ⅰ型函數和(f,g)(嚴格)-偽擬Ⅰ型函數.

最優性條件和鞍點定理是多目標規劃理論研究的兩個重要內容. 文獻[3-4]利用擇一定理研究了魯棒弱有效解的標量化定理和最優性條件; Lee等[5]在一種閉凸錐約束品性條件下,討論了魯棒擬近似有效解的最優性條件; 文獻[6]綜合Clarke次微分、Michel-Penot次微分、Dini次微分和Mordukhovich次微分,引入了一種非光滑次微分約束品性,并在其假設下研究了魯棒擬近似弱有效解的最優性條件和鞍點定理. 由于近似解是擬近似解的一種特殊形式,因此,在更弱的廣義凸性下,研究多目標規劃問題的魯棒擬近似解的最優性條件和鞍點定理有一定的理論意義. 本文基于Clarke次微分,在(f,g)-偽擬Ⅰ型函數條件下,建立問題(UMP)魯棒擬近似解的最優性充分條件和鞍點定理.

1 預備知識

設A?n為一非空子集. 集合A的極錐[6]定義為

A°={x*∈n:〈x*,x〉≤0,?x∈A}.

若對任意x,y∈n,λ∈[0,1],有

φ(λx+(1-λ)y)≤λφ(x)+(1-λ)φ(y),

則稱φ:n→為凸函數. 若-φ是凸函數,則稱φ是凹函數. 對任意的x∈n,若

則稱φ是上半連續函數.

如果存在常數L>0和r>0,滿足

|φ(y)-φ(z)|≤L‖y-z‖, ?y,z∈ B(x,r),

則稱函數φ:n→在x∈n處為局部Lipschitz的,其中‖·‖表示n中的范數. 如果對任意的x∈n,函數φ在x處均為局部Lipschitz的,則稱φ為局部Lipschitz函數. 設d∈n,φ在n處沿方向d的方向導數[7]定義為

令f=(f1,f2,…,fp)T:n→p,在n上是局部Lipschitz的,則f在x∈n的廣義次微分為

?f(x)∶={(ξ1,…,ξp)T:ξi∈?fi(x),i=1,2,…,p},

其中 ?fi(x)為fi(i=1,2,…,p)在x∈n處的Clarke廣義次微分.

引理1[7-8]令A∈n為非空子集,設函數φ:n→在處是局部Lipschitz的,且是φ在A的最小值點,則有

本文總假設Vj是nj(j=1,2,…,q)中的非空凸緊集,且滿足令f=(f1,…,fp)T:n→p,g=(g1,…,gq)T:n×m→q是向量值函數,其中fi:n→,gj:n×nj→.

考慮如下不確定多目標規劃問題(UMP):

其中:C?n為一非空子集;v=(v1,…,vq)T∈m為不確定參數,且vj∈Vj,j=1,2,…,q. 記注意到Vj(j=1,2,…,q)為非空凸緊集,所以V也是m中的非空凸緊集.

本文用魯棒優化法研究問題(UMP)的最優性理論,先考慮問題(UMP)的魯棒對應問題(RUMP)[8]：

魯棒對應問題(RUMP)稱為魯棒不確定多目標規劃問題,問題(RUMP)的魯棒可行集記為

F∶={x∈C,g(x,v)0,?v∈V }.

下面針對問題(UMP)的目標和約束函數(f,g),引入兩類廣義凸性的概念,并給出相應的實例證明其存在性.

定義2假設f:n→p,g:n×V →q均為局部Lipschitz的,稱函數對(f,g)在處為Ⅰ型函數,當且僅當對任意的存在使得

(1)

例1令f:→2,且定義f(x)=(f1(x),f2(x))T,這里

g:×V →定義如下:

g(x,v)=vx2,x∈,

其中V =[0,1]，C=. 令因此有N(0;C)={0},N(0;C)°=. 易知于是對任意的其中存在d=|x|∈N(0;C)°,使得當x≥0時,有

當x<0時,有

并且總有

(2)

若式(2)右半部分嚴格不等號成立,即

例2假設f:→2,且定義f(x)=(f1(x),f2(x))T,這里

g:×V →,定義如下：

g(x,v)=-vx2,x∈,

其中V=[0,1],C=. 令因此有N(0;C)={0},N(0;C)°=. 易知令于是對任意的其中存在d=|x|∈N(0;C)°,使得

當x≥0時,有

當x<0時,有

并且有

2 魯棒最優性充分條件

(3)

(4)

即

〈λTξ+μTγ+λTεy*,d〉≥0.

(5)

2) 類似1)的證明可得結論.

3 近似弱鞍點定理

首先,利用問題(RUMP)的Lagrange函數給出ε-弱鞍點的概念; 其次,在函數對(f,g)為Ⅰ型凸性的假設下,建立問題(RUMP)關于ε-弱有效解的鞍點定理.

L(λ,x,v,μ)=λTf(x)+μTg(x,v).

定義4令v=(v1,…,vq)T∈V,如果有

(6)

(7)

注2若在定義4中,取ε=(ε1,…,εp)T=(0,…,0),則退化為文獻[9]中的魯棒弱鞍點概念.

(8)

從而有

即

故式(6)成立.

因此由式(8)可得

從而有

(9)

即

故結論成立.

從而