廣義二次矩陣與其冪等矩陣線性組合冪等性的非平凡解

陳梅香,葉鈴瀅,楊忠鵬

(1. 莆田學院 數學與金融學院,福建 莆田 351100; 2. 福建師范大學 數學與信息學院,福州 350007)

1 引言與預備知識

Farebrother等[1]給出了廣義二次矩陣的定義,常見的冪等矩陣、對合矩陣、二次矩陣[2-4]均為廣義二次矩陣的特例. 設n×n為復數域上n×n矩陣的集合,用r(A)和tr(A)分別表示矩陣A∈n×n的秩和跡,用En表示n×n單位矩陣(在不易混淆的情形下用E表示).

對給定的冪等矩陣P(=P2≠0)∈n×n,如果存在α,β∈,使得

A2=αA+βP, 且AP=PA=A,

(1)

則稱A為由P和α,β確定的廣義二次矩陣. 滿足式(1)的矩陣集合記為

Ωn(P;α,β)={A∈n×n|A2=αA+βP,AP=PA=A},

(2)

(3)

文獻[5-8]研究了兩個冪等矩陣線性組合的冪等性. 廣義二次矩陣與所有冪等矩陣的集合Ψ={Q∈n×n|Q2=Q}關系密切[1].

命題1[1]設A∈n×n是滿足式(1)的廣義二次矩陣,且η2=4β+α2≠0,則當復數ρ=η-1且時,ρA+σP∈Ψ.

由文獻[1]中定理6及證明知,在約束條件η2=4β+α2≠0下,命題1給出了ρA+σP是冪等的一個充分條件. 文獻[1]研究表明,當η2=4β+α2=0時,2A-αP是冪零的,但未討論一般ρA+σP∈Ψ的情形.

命題2設A∈n×n滿足式(1),如果ρ=0,則ρA+σP∈Ψ當且僅當(ρ,σ)=(0,0)或(0,1).

證明：充分性顯然. 只需證明必要性. 由ρA+σP=σP=(σP)2及σP的不同特征值為0或1知結論成立. 證畢.

(ρ,σ)=(0,0)或(0,1)稱為ρA+σP∈Ψ的平凡解,(ρ,σ)(其中ρ≠0)稱為ρA+σP∈Ψ的非平凡解.

例1由文獻[1]知,滿足A2=A,A2=-A,A2=P,A2=-P的A分別為冪等、斜冪等、廣義對合、斜廣義對合矩陣. 由式(1),(2)和文獻[1]中引言知,這些矩陣分別屬于Ωn(P;1,0),Ωn(P;-1,0),Ωn(P;0,1),Ωn(P;0,-1),且相應的η2=4β+α2≠0. 表1列出了這些特殊二次矩陣的ρA+σP∈Ψ的非平凡解.

表1 文獻[1]中一些特殊二次矩陣的ρA+σP∈Ψ的非平凡解(ρ,σ)

當A2=-A時,(ρ,σ)=(-1,0)也是ρA+σP∈Ψ的非平凡解. 表明當η2=4β+α2≠0時,由文獻[1]中定理6不能得到ρA+σP∈Ψ的所有非平凡解.

如果

(A-aP)(A-bP)=0,AP=PA=A,

(4)

則稱A是由給定的冪等矩陣P(=P2≠0)和a,b∈確定的廣義二次矩陣[9-11]. 由(A-aP)(A-bP)=A2-(a+b)A+abP知A∈Ωn(P;α,β),其中α=a+b,β=-ab. 故式(4)的定義與文獻[1]中式(1)等價.

命題3[9]設Qi∈Ωn(P)是式(4)意義下的由ai,bi(ai≠bi∈,i=1,2)所確定的廣義二次矩陣,考慮形如

Q=r1Q1+r2Q2,r1,r2∈

(5)

的Q1,Q2的線性組合.

1) 如果Q1(≠b1P),Q2(≠b2P)可交換,(a2-b2)(Q1-b1P)≠(a1-b1)(Q2-b2P),則式(5)中的Q為由λ,μ所確定的廣義二次矩陣(式(4)意義下)當且僅當下列條件之一成立：

(i)ci(ci+2c3-λ-μ)+(c3-λ)(c3-μ)=0,i=1,2,P1P2=0,且(c3-λ)(c3-μ)(P1+P2-P)=0;

(ii) 2ci+cj+2c3-λ-μ=0,ci(ci+2c3-λ-μ)+(c3-λ)(c3-μ)=0,P1P2=Pj,P1P2≠Pi,且(c3-λ)(c3-μ)(Pi-P)=0,這里(i,j)=(1,2)或(i,j)=(2,1);

(iii)ci(ci+2c3-λ-μ)+(c3-λ)(c3-μ)=0,P1P2≠Pi,i=1,2,P1P2≠0,且(c3-λ)(c3-μ)×(P1+P2-P)=2c1c2P1P2.

2) 如果Q1Q2≠Q2Q1,則式(5)中的Q∈Ωn(P)為由λ,μ確定的廣義二次矩陣當且僅當C1+C2+2C3=λ+μ,且

(C3-λ)(C3-μ)P-C1C2(P1+P2-P1P2-P2P1)=0,

這里Ci=ri(ai-bi),Pi=(ai-bi)-1(Qi-biP),i=1,2,且C3=r1b1+r2b2.

由式(5)知,其相當于命題1中A=Q1,P=Q2; 由式(1),(2)知,Q1Q2=AP=PA=Q2Q1,且P2-P=P(P-P)=0=Q2(Q2-b2P),相當于式(4)意義下由a2=0,b2=1所確定的廣義二次矩陣Q2=P=b2P,但不滿足命題3的條件. 說明命題1所討論的ρA+σP∈Ψ在文獻[9]的范圍外.

由例1知,對A∈Ωn(P;α,β)(其中η2=4β+α2≠0),尋找ρA+σP∈Ψ所有的非平凡解是有意義的. 文獻[9]將文獻[12]中定理2.1二次矩陣的結論推廣到廣義二次矩陣,得:

命題4[9]設A∈n×n,a≠b∈,滿足(A-aP)(A-bP)=0,則下列敘述等價:

1)A∈Ωn(P;a+b,-ab);

2) 存在X,Y∈Ψ,使得A=aX+bY,X+Y=P且XY=YX=0.

文獻[1]指出了關于廣義二次矩陣A∈Ωn(P;α,β)與冪等矩陣P的線性組合ρA+σP為冪等矩陣研究的重要性,并列出了冪等矩陣、廣義對合矩陣等特殊二次矩陣ρA+σP∈Ψ的部分非平凡解,但未討論一般的ρA+σP∈Ψ的情況. 文獻[9]考慮了兩個廣義二次矩陣線性組合的廣義二次性,但限制條件較多,而且命題1所討論的ρA+σP∈Ψ被排除在文獻[9]的范圍外. 因此ρA+σP為冪等的所有非平凡解研究目前尚未見文獻報道,本文證明: 當η2=4β+α2≠0時,ρA+σP∈Ψ有且僅有兩個非平凡解,且A可唯一地表示為這兩個非平凡解生成的冪等矩陣的線性組合；當η2=4β+α2=0時,如果A=(α/2)P,則ρA+σP∈Ψ有無窮多個非平凡解; 如果A=(α/2)P,則ρA+σP∈Ψ無非平凡解.

2 η2=4β+α2≠0時ρA+σP∈Ψ的非平凡解

定理1設A∈Ωn(P;α,β),η2=4β+α2≠0,則ρA+σP∈Ψ有且僅有如下兩個非平凡解:

(6)

證明：設(ρ,σ)為ρA+σP∈Ψ的任一非平凡解,ρ≠0,

ρA+σP=(ρA+σP)2=ρ2(αA+βP)+2ρσA+σ2P2,

(7)

由式(7)得

ρA+σP=(αρ2+2σρ)A+(βρ2+σ2)P.

(8)

類似文獻[1]中定理1的證明和式(8)知,αρ2+2σρ=ρ且βρ2+σ2=σ,則

αρ+2σ-1=0,σ2-σ+ρ2β=0.

(9)

又由式(7)知ρA+σP∈Ψ,即式(6)的(ρ,σ)都是非平凡解. 證畢.

因此,文獻[1]給出的相應結論是不準確的.

下面由定理1給出相關特殊矩陣線性組合冪等性的所有非平凡解.

推論2設A∈Ωn(P),則當A分別為冪等、廣義對合、斜冪等、廣義斜對合矩陣時,ρA+σP∈Ψ的非平凡解如表2所示.

表2 由定理1所得一些特殊二次矩陣的ρA+σP∈Ψ的非平凡解(ρ,σ)

證明：此時A分別屬于Ωn(P;1,0),Ωn(P;0,1),Ωn(P;-1,0),Ωn(P;0,-1),均有η2=4β+α2≠0. 由定理1知,這些矩陣均有且僅有兩個非平凡解,且分別有η2=1,η2=4,η2=1,η2=-4. 應用式(6)可知,相應的所有非平凡解如表2所列. 證畢.

引理1[13-15]設P(=P2≠0)∈n×n,則r(P)=tr(P).

定理2設A∈Ωn(P;α,β),η2=4β+α2≠0,式(6)的兩個非平凡解ρA+σP(∈Ψ)分別記為

(10)

則

1)Pi∈Ωn(P;1,0),i=1,2;

2)P1+P2=P;

3)P1P2=P2P1=0;

4)P1≠P2;

6)r(P)=r(P1)+r(P2).

2) 由式(10)計算得

3) 由式(1)和式(10)知

同理P2P1=0.

4) 反證法. 若P1=P2,則由式(10)得

5) 由式(10)得

6) 由1)和引理1知

r(P)=tr(P)=tr(P1+P2)=tr(P1)+tr(P2)=r(P1)+r(P2).

證畢.

引理2設A∈n×n且AP=PA=A,則下列敘述等價:

1)A∈Ωn(P;α,β),其中η2=4β+α2≠0;

2) 存在X,Y∈Ψ,滿足X+Y=P,XY=YX=0,并使得

(11)

其中

(12)

證明：1) ? 2). 式(6)確定了式(10)中P1,P2∈Ψ. 取X=P1,Y=P2,由定理2中2),3),5)知式(11)成立.

因此結合式(11)和X+Y=P,得

即

(13)

進一步計算可得X2=X∈Ψ,且XP=PX=X,從而有Y2=(P-X)2=P-X=Y,且YP=PY=Y.

由于X,Y∈Ψ,X+Y=P,XY=YX=0,結合式(13)有

即A∈Ωn(P;α,β),進而得η2=4β+α2≠0. 證畢.

由式(4)知,若(A-aP)(A-bP)=0,則有A∈Ωn(P;α,β),其中α=a+b,β=-ab. 由a≠b,有η2=(a-b)2≠0,即命題4的1)與引理2的1)等價.

引理3設A∈Ωn(P;α,β),η2=4β+α2≠0,則引理2中的

X=P1,Y=P2,

(14)

這里P1,P2定義如式(10).

證明：由式(10)和式(13)得

再由式(11)得

證畢.

由上述討論,并應用引理2和引理3可得改進命題4如下:

命題5設A∈n×n,AP=PA=A,則:

1)A∈Ωn(P;α,β),η2=4β+α2≠0 ? 式(11)成立;

2) 若A∈Ωn(P;α,β),η2=4β+α2≠0,則

且X,Y分別由兩個非平凡解式(6)生成的冪等矩陣P1,P2唯一確定.

3 η2=4β+α2=0時ρA+σP∈Ψ的非平凡解

如果有正整數k使得Ak-1≠0,而Ak=0,則稱k為冪零矩陣A的冪零指數,記為ind(A)=k[16]. 下面討論總設A≠0.

引理4設A∈Ωn(P;α,β),η2=4β+α2=0,則(2A-αP)2=0,ind(2A-αP)≤2,且

(15)

由冪零指數定義知ind(2A-αP)≤2; 進一步知式(15)成立. 證畢.

(16)

則A2=6A-9P∈Ω4(P;6,-9)且η2=4β+α2=0,即A滿足定理3的條件,因此ρA+σP∈Ψ有無窮多個非平凡解,即?ρ(≠0)∈,(ρ,σ)=(ρ,1-3ρ)且ρA+σP=3ρP+(1-3ρ)P=P,或(ρ,σ)=(ρ,-3ρ)且ρA+σP=0.

證明: 由文獻[9]中定理1.1的證明或文獻[17]中引理1.1知,此時有可逆矩陣V,使得

(17)

由引理4及其式(15)知ind(2A-αP)=2,即A是二次冪零的,再結合式(17)得

于是有可逆矩陣U=WV,W=diag(Wr,En-r),使得

即

A=U-1diag(JAr,0)U,P=U-1diag(Er,0)U,r(P)=r,

從而

(18)

由

(19)

對式(18)做乘方運算,并對比元素知

(20)