分數階不確定R?ssler 混沌系統的自適應滑模同步

2021-03-23 07:29:24毛北行王東曉

浙江大學學報(理學版) 2021年2期

毛北行，王東曉

（鄭州航空工業(yè)管理學院數學學院，河南鄭州450015）

混沌系統的同步控制廣受關注［1-4］。近年來，針對分數階混沌同步問題的研究不斷深入，并取得了一系列研究成果［5-9］。例如，文獻［10］研究了超混沌分數階Bao 系統的反饋同步；文獻［11］研究了一類分數階不確定Victor-Carmen 混沌系統的自適應滑模同步控制；文獻［12］基于比例積分滑模方法研究了分數階不確定超混沌Bao 系統的同步。在實際應用中，模型的不確定性、被控對象的結構變化、測量誤差以及外部擾動等均會影響系統的性能，因此，須考慮這些因素造成的影響。例如，文獻［13］研究了具有有界外擾和不確定項的分數階超混沌金融系統滑模同步的4種方法。R?ssler 混沌系統的同步亦廣受關注。例如，文獻［14］研究了基于back-stepping 方法對超混沌R?ssler 系統的控制與同步；文獻［15］研究了雙時滯R?ssler 系統的分支分析與混沌控制；文獻［16］研究了基于曲率指數的耦合混沌系統的完全同步分析。受上述結論啟發(fā)，筆者利用自適應滑模控制方法，研究了帶有模型不確定性和外擾的R?ssler混沌系統的同步問題，得到分數階不確定R?ssler 混沌系統取得適應滑模同步的充分條件，所得結論說明不確定R?ssler 混沌系統在一定條件下取得了自適應滑模同步。最后，用數值仿真實驗對結論進行了檢驗。

1 主要結果

定義1[17]Caputo 分數階導數定義為

以分數階R?ssle 混沌系統

為主系統，當a=0.2，b=0.2，c=5.0，q=0.92 時，系統的時域波形圖和相平面圖分別如圖1 和圖2 所示。

圖1 系統的時域波形圖Fig.1 Time domain of the system

圖2 系統的相平面圖Fig.2 Phase plane of the system

從系統為

其中，不確定項Δf(y)，y=[x1，y1，z1]T，d(t)為外擾，u(t)為控制器。定義

得到誤差方程：

假設1假設不確定項Δf(y)和外部擾動d(t)有界，即存在未知參數m，n＞0，使得

引理1[18]若x(t)為連續(xù)可微函數，則有

引理2[18]設其中，y1(t)，y2(t)∈R 具有連續(xù)一階導數，若存在常數k＞0，使得有界，且其中，Eα，1(·)表示雙參數Mittag-Leffler 函數，則y1(t)具Mittag-Leffler 穩(wěn)定且

定理1在假設1 條件下，設計滑模面s=設計控制器

其中，?分別為m，n的估計值，η＞0。則式（1）和式（2）適應滑模同步。

證明滑模面上由式（3）第1 個方程，得?(e2+e3)=ke2。

進一步得到e3=?(k+1)e2，對式（3）第2 個方程兩邊同求q階微分，得到因為所以利用 Laplace 變換，記E2(s)=L(e2(t))，則有

由Laplace 終值定理，有

由于e3=?(k+1)e2?e3→0，且e2→0 ?，將其代入式（3）第2 個方程，有=e1+ae2?e1→0。

所以，定義的滑模面具有穩(wěn)定性。

下證滑模面的可達性。

由引理2，有s→0。

以整數階R?ssle 混沌系統

為主系統，從系統為

定義

得誤差方程

引理3（Barbalat’s）[19]若函數f(t) 在[0，+∞)上一致連續(xù)，且廣義積分存在，則其中，f(t)為一致連續(xù)函數。

定理2在假設1 條件下，設計滑模面s=設計控制器

其中，?分別為m，n的估計值，η＞0。則式（4）和式（5）適應滑模同步。

證明滑模面上即?(e2+e3)=?ρe2，進一步得到e3=(ρ?1)e2，對式（6）第2 個方程求一階微分，得到因為所以以e2(t)為變量，則其特征值由于ρ＜0，所以又由于混沌系統軌跡有界，所以|e2(t)|必有界，從而必有C1=0。否則，若C1≠0 ?e2無界，易得由于e3=(ρ?1)e2?e3→0，將代入式（6）第2 個方程，得到e1→0。

所以，定義的滑模面具有穩(wěn)定性。

下證滑模面的可達性。