度量G-空間中強G-跟蹤性的研究

冀占江，時偉

（1.梧州學院大數據與軟件工程學院，廣西 梧州 543002；2.梧州學院 廣西高校圖像處理與智能信息系統重點實驗室，廣西 梧州 543002；3.梧州職業學院，廣西 梧州 543002）

0 引 言

跟蹤性在動力系統中扮演著十分重要的角色，具有重要的理論意義和極高的應用價值，既是動力系統中的重要概念，也是最重要的動力學性質之一，還與系統的穩定性和混沌有密切聯系。近年來，許多學者對跟蹤性進行了深入研究，得到諸多有意義的成果［1-9］。例如，文獻［1］證明了具有平均跟蹤性且極小點稠密的映射是syndetic 傳遞和弱混合，文獻［2］指出-平均跟蹤蘊含鏈傳遞，文獻［3］給出乘積空間中f×g具有極限跟蹤性當且僅當f和g具有極限跟蹤性，文獻［4］給出f具有強跟蹤性當且僅當fn具有強跟蹤性。隨著對跟蹤性研究的深入，先后引入了新的跟蹤性，例如-跟蹤性［10］、遍歷跟蹤性［11］、族Γ-跟蹤性［12］等，但這些成果均是在單個映射迭代下得到的，從群作用的角度看，均屬整數加群Z作用下度量空間中的動力學性質。

隨著動力系統的不斷發展，部分學者開始在一般群作用下的度量空間中研究自映射的動力學性質，部分成果參見文獻［13-16］。例如，文獻［13］在拓撲群作用下的逆極限空間中，給出移位映射σ具有G-跟蹤性當且僅當映射f具有G-跟蹤性。文獻［14］給出度量G-空間中G-跟蹤性是拓撲共軛不變性。受以上研究思路的啟發，本文首先給出拓撲群作用下度量空間中強G-跟蹤性的概念，利用拓撲共軛和映射迭代的性質，證得：（1）若f1拓撲G-共軛于f2，則f1具有強G-跟蹤性當且僅當f2具有強G-跟蹤性；（2）對任意的n∈N+，映射f具有強G-跟蹤性當且僅當fn具有強G-跟蹤性。同時，給出一個強G-跟蹤性不同于G-跟蹤性的例子，以說明本文結果推廣和改進了文獻［4］和文獻［14］的結果，具有一定的研究價值。

1 基本概念及記號

定義1［14］設X是度量空間，G是拓撲群。若映射φ：G×X→X滿足

（i）對任意的x∈X，有φ(e，x)=x，其中，e為G的單位元；

（ii）對任意的x∈X以及g1，g2∈G，有

則稱(X，G，φ)是度量G-空間，簡稱X是度量G-空間。為便于書寫，通常將φ(g，x)簡寫為gx。

定 義2［14］設(X，d)是 度 量G-空 間，f：X→X連 續，δ＞0，{xi}i≥0是X中 的 序 列。若 對 任 意 的i≥0，存 在ti∈G，使 得d(ti f(xi)，xi+1)＜δ，則 稱{xi}i≥0是f的(G，δ)偽軌。

定 義3［14］設(X，d)是 度 量G-空 間，f：X→X連續，ε＞0，y∈X，{xi}i≥0是X中的序列。若對任意的i≥0，存在ti∈G，使得d(fi(y)，ti xi)＜ε，則稱y(G，ε)跟蹤{xi}i≥0。

定 義4［14］設(X，d)是 度 量G-空 間，f：X→X連續。若對任意的ε＞0，存在δ＞0，使得當{xi}i≥0是X中f的(G，δ)偽軌時，存在y∈X，y(G，ε)跟蹤{xi}i≥0，則稱f具有G-跟蹤性。

定 義5［14］設(X，d)是 度 量G-空 間，f：X→X連續，ε＞0，y∈X，{xi}i≥0是X中的序列。若存在t∈G，對 任 意 的i≥0，有d(ti fi(y)，xi)＜ε，則 稱y(G，ε)強跟蹤{xi}i≥0。

定 義6［14］設(X，d)是 度 量G-空 間，f：X→X連續。若對任意的ε＞0，存在δ＞0，使得當{xi}i≥0是X中f的(G，δ)偽軌時，存在y∈X，y(G，ε)強跟蹤{xi}i≥0，則稱f具有強G-跟蹤性。

注后續例子說明具有強G-跟蹤性必具有G-跟蹤性，反之不成立。

定義715］設X，Y是度量G-空間，f：X→Y連續，如 果 對 任 意 的g∈G，x∈X，存 在h∈G，有f(gx)=hf(x)，則稱f是偽等價映射。

定義8［16］設X，Y是度量G-空間，f：X→Y連續，如果對任意的g∈G，x∈X，有f(gx)=gf(x)，則稱f是等價映射。

定義9［16］設X，Y是度量G-空間，f1：X→X連續，f2：Y→Y連 續，如 果 存 在 同 胚 偽 等 價 映 射h：X→Y，使得h?f1=f2?h，則稱f1拓撲G-共軛于f2，此時，h是拓撲G-共軛映射。

2 引 理

引理1設X和Y是度量G-空間，f1：X→X連續，f2：Y→Y連續，m∈N+，若h：X→Y是關于f1和f2的拓撲G-共軛映射，則有

證明由定義9 易得，此證略。

3 主要結果

定理1設(X，d1)和(Y，d2)是緊致度量G-空間，f1：X→X連續，f2：Y→Y連續，若h：X→Y是關于f1和f2的拓撲G-共軛映射，且h：X→Y等價，則f1具有強G-跟蹤性當且僅當f2具有強G-跟蹤性。

證明設f1具有強G-跟蹤性。由h一致連續知，對任意的ε＞0，存在0 ＜ε0＜ε，當d1(x1，x2)＜ε0時，有

由f1具有強G-跟蹤性知，當ε0＞0 時，存在0 ＜ε1＜ε0，使 得 當{xi}i≥0是X中f1的(G，ε1)偽 軌 時，存 在x∈X，p∈G，當i≥0 時，有

由h?1一 致 連 續 知，對ε1＞0，存 在0 ＜ε2＜ε1，當d2(x1，x2)＜ε2時，有

設{yi}i≥0是f2的(G，ε2)偽軌，則當i≥0 時，存在gi∈G，使得d2(gi f2(yi)，yi+1)＜ε2。由式（3）和h?1等價知，對任意的i≥0，有

由引理1 知，

由式（2）知，存在x∈X，p∈G，當i≥0 時，有

由式（1）知，

由引理1 和h等價知，對任意的i≥0，有

因此，f2具有強G-跟蹤性。

設f2具有強G-跟蹤性。由h?1一致連續知，對任 意 的η＞0，存 在0 ＜η0＜η，當d2(x1，x2)＜η0時，有

由f2具 有 強G- 跟 蹤 性 知，對η0＞0，存 在0 ＜η1＜η0，使得 當{yi}i≥0是Y中f2的(G，η1)偽軌時，存在y∈Y，l∈G，當i≥0 時，有

由h一 致 連 續 知，對η1＞0，存 在0 ＜η2＜η1，當d1(x1，x2)＜η2時，有

設{xi}i≥0是f1的(G，η2)-偽軌，則對任意的i≥0，存在si∈G，使得

由式（6）和h等價知，對任意的i≥0，有

由引理1 知，

由式（5）知，存在y∈Y，l∈G，當i≥0 時，有

由式（4）知，

由引理1 和h等價知，

因此，f1具有強G-跟蹤性。

定理2設(X，d) 是 緊 致 度 量G- 空 間，f：X→X等價，對任意的n≥1，f具有強G-跟蹤性當且僅當fn具有強G-跟蹤性。

證明充分性。設f具有強G-跟蹤性。當n=1 時，結論顯然成立。

下證當n＞1 時也成立。

由f具有強G-跟蹤性知，對任意的ε＞0，存在δ＞0，使 得 當是f的(G，δ)偽 軌 時，存 在z∈X，z(G，ε) 強 跟 蹤是fn的(G，δ) 偽 軌 ， 構 造xin+j=fj(yi)，i≥0，0 ≤j≤n?1。則是f的(G，δ)偽軌。故存在x∈X，g∈G，當m≥0 時，有

特別地，當i≥0 時，有

即

故fn具有強G-跟蹤性。

必要性。結論顯然成立。

4 具有G-跟蹤性不具有強G-跟蹤性例子

取拓撲群G=Z2={0，1}，定義

定義f：X→X如下：

解易知(X，d)是緊致度量G-空間，f：X→X是等價的。

首先，證明f具有G-跟蹤性。

對任意的η＞0，取m足夠大且滿足，取設是f的(G，δ)偽軌，則存在gi∈G，當i≥0 時，有

（i）若存在k∈N，使得

由d(gk f(xk)，xk+1)＜δ知 ，xk+1=gk f(xk) 且

以此類推，當i≥k時，有

若k=0，由f：X→X等價知，

若k≥1，由d(gk?1f(xk?1)，xk)＜δ知，xk=gk?1f(xk?1)且

以 此 類 推，當i≤k時，有xi=gi?1f(xi?1)且故 當i≥1 時，有xi=gi?1f(xi?1)。由f：X→X等價知，

因 此，有d(gi gi?1???g0fi(x0)，xi)=0 ＜ε，此 時f具有G-跟蹤性。

（ii）對任意的i∈N，有

然后，證明f不具有強G-跟蹤性。

若g=0，當i≥1 時，有

特別地，當i=2 時，有

故

則有

事實上，當i=3 時，有得f3(x)＞矛盾。

若g=1，當i≥1 時，有

特別地，當i=6 時，有

事實上，當i=7 時，有

5 總 結

在度量G-空間中給出了強G-跟蹤性的概念，利用拓撲共軛和映射迭代的性質，得到度量G-空間中強G-跟蹤性是拓撲共軛不變性和映射迭代不變性，所得結論較好。最后通過例子說明強G-跟蹤性與G-跟蹤性的概念不同，推廣和改進了文獻［4］和文獻［14］的結果，為跟蹤性在實際生活中的應用提供了理論依據和科學基礎。