關聯余割函數的Hilbert 型不等式及其應用

有名輝，范獻勝

（浙江機電職業技術學院 數學教研室，浙江杭州310053）

以及

其 中，f(x)，g(y) ≥0，f(x)，g(y) ∈L2(R+)，且π和π2分別是式（1）和式（2）的最佳常數因子。

近年來，Hilbert 型不等式一直是較熱門的研究課題。研究者通過引入參數和特殊函數，構造新的核函數，并考慮積分型、離散型、半離散型、齊次型、非齊次型、高維推廣、系數加強以及算子表示，構造了大量類似于式（1）和式（2）的新成果［3-11］。這些新成果相互交融，已然形成了一個龐大的理論體系，對分析學的發展和應用起到了重要的促進作用［12］。

易見，核函數非負是研究Hilbert 型不等式的必要條件，而在核函數構造過程中，可能會遇到不恒正因子。為保證核函數為正，一種方式是把兩個同號因子相乘，例如式（2）中給出的積分核函數(lnx?lny)(x?y)?1；另一種方式是對負因子加絕對值，如文獻［4］中建立的以|x?y|?λ和

為核函數的Hilbert 型不等式。本文采用第一種方式，構造核函數

建立相關的Hilbert 型不等式，并通過對參數賦值，得到一些新的有趣的推論。

1 引 理

引 理1設c1，c2＞0，且c1+c2=c，n∈N+，φ(x)=cscx，則

證明利用φ(x)=cscx的部分分式展開（見文獻［13］），有

式（3）兩邊關于x逐項求2n?1 階導數，得

證畢。

引 理2設γ＞1，?1＜β＜γ?2，n∈N+，φ(x)=cscx，且

則有

且有

證明令xy=t，則

而

令lnt=，得

類似地，有

由式（8）～式（10），有

類似可得

注 意 到，β+1+(γ?β?1) =β+2+(γ?β?2)=γ，結合式（11）和式（12），由引理1，可得

由式（7）和式（13），可得式（5）。同理可得式（6）。證畢。

2 主要結果

定 理1設γ＞1，?1＜β＜γ?2，n∈N+，φ(x)=cscx，k(x，y) 如 引 理 2 定 義，μ(x)=x?(pβ+1)，ν(x)=x?(qβ+1)，且 有f(x)，g(y)≥0，則

證明由H?lder 不等式［14］及引理2，知

如果式（15）成立，則必存在不全為零的數A1和A2，使得

不 妨 設A1≠0，則a.e.于R+，顯然與條件矛盾。所以，式（15）取嚴格不等號。

最后，用反證法證明式（14）中的常數因子為最佳因子。

事實上，若此常數因子不為最佳，則存在更小實數C，

將式（14）中的常數因子換成C后，式（14）仍然成立，即

令xy=u，由Fubini 定理，知

用f(x)和g(y)分別替代式（17）中的由式（16），不難得到

證畢。

推 論 1設γ＞1，n∈N+，φ(x)=cscx，則

其中，令γ=2，n=1，則此時，式（18）化為

推論2設γ＞2，n∈N+，φ(x)=cscx，μ(x)=則

其中，令γ=3，n=1，則此時，式（19）化為