修正Bernstein 算子加Jacobi 權的Voronovskaja 型估計

夏榮榮，虞旦盛

（杭州師范大學 數學系，浙江 杭州310036）

記C[0，1]為［0，1］上連續函數的全體，對任意的f(x) ∈C[0，1]，著 名 的 Bernstein 算 子 定 義 為x)n?k，k=0，1，2，…，n；n=1，2，…。 Bernstein 算子對連續函數逼近的研究已非常廣泛［1-2］。ZHOU［3］證 明 了Bernstein 算 子 在 加Jacobi 權w(x)=xa(1?x)b，0 ＜a，b＜1 時 是 無 界 的(C，‖?‖w，這里‖f‖w=：‖wf‖C[0，1])。為解決此問題，ZHOU［3］引 入 了 一 種 新 的 范 數 ‖f‖w=：算 子在此范數下是有界的。之后，很多學者致力于研究Bernstein 算子在該范數下的加權逼近，但這些加權逼近結果大多只針對連續函數，而且權函數中的參數一般有上下界限制（要求0 ＜a，b＜1），當目標函數具有奇性時（如，經典的Bernstein算子可能無定義，不能用以逼近此類函數。

對于f(x) ∈Cw，定義加權光滑模

VECCHIA 等［4］建立了下列逼近正定理：

定理1對于任意的a，b＞0，有

WEI 等［5］改進了上述定理，建立了下列點態逼近定理：

定 理 2對 于 任 意 的a，b＞0，0 ≤λ≤1，f∈Cw，有

有關修正Bernstein 算子對具有奇性函數的加權逼近研究的部分工作可參見文獻［6-11］。

本文的主要目的是建立(f，x)在加Jacobi 權w(x)=xa(1?x)b下的Voronovskaja 型估計。主要結論如下：

定 理3如 果f(x)∈Cw，0 ≤λ≤1，w(x)=xa(1?x)b，那么對于任意的a，b＞0，存在僅依賴于λ，a，b的常數C，使得

其中，

文中，C表示僅依賴于λ，a以及b的常數，在不同的地方可取的不同值。

1 引 理

引 理1記∞}，0 ≤λ≤1，a，b＞0，則對于任意的x∈(0，1)，有

證明分以下2 種情形。

因此有

結合式（1）和式（3），引理1 得證。

引理2若f″(x) ∈Cw，則有

證明只需證明式（4），其他類似可證。對于f(x)∈Cw，定義K-泛函：

則有［12］

由式（8）知，存在g∈A.Cloc，使得

分解式（4）左側，有

對任意的介于x和之間的t，有［1］

以及

即

類似地，有

下面估計E3。由引理1 知，

結合式（9）～式（15），式（4）得證。

引 理 3對 于g(x)∈Dλ：={g(x)∈A.Cloc，‖φλ g′‖＜∞}，x∈(0，1)，有

證 明（ⅰ）當時，有

1，因此

對任意的γ≥0，有［2］

因此，

對任意的c，d＞0，有［3］

因此，

由式（16）和式（19），有

結合式（20）和式（21），引理3 得證。

2 定理3 的證明

由Taylor 展式，得

因此，

直接計算，易得，

因此，有

下面估計J1。取g(x)∈ACloc滿足式（9）～式（11），并做以下分解：

由式（16）和式（17），類似于引理3 中的推導，有

類似地，

對于J13，由引理3，可得

因此，

由引理2，可得

結合式（22）～式（24），定理3 得證。