數學啟蒙活動

郭澄東

數學教育家波利亞說：“數學有兩個側面，一方面是歐幾里德式的嚴謹學科，但是另一方面，在創造過程中的數學更象一門實驗性的學科”，實際上，實驗教學是對傳統數學的教學的發展和充實，在培養學生動手能力、探究能力、創新意識等方面，實驗教學有著其它傳統教學手段無法實現的功效。而折紙是學生最熟悉的游戲之一。利用折紙可以做成許許多多我們熟悉的幾何圖形。可以說是一種數學啟蒙活動。

下面就談一談如何用矩形紙片折一些常見的幾何圖形。

一、折正方形

找一張長方形紙片ABCD

（1）把紙片折一個角，使DA邊落在DC上，折痕為DE，如圖（1）

（2）過點E將ABCD對折，折痕為EA/，得正方形ADA/E，如圖（2）

證明：由折疊知 ，

又∵ ， 。

二、折正三角形

找一張矩形紙片ABCD

（1）先把矩形ABCD對折，使BC邊與AD邊重合。折痕為MN，如圖（3）

（2）把紙片折一個角，使B點落在折痕MN上，折痕為AE，如圖（4）

（3）把梯形紙片AECD沿EB線折疊，折痕為EF，如圖（5），則△EAF為正三角形。

證明：由折疊知BC∥MN∥AD，Rt△ABE≌Rt△AB/E，∴∠1=∠3

由平行線等分線段定理，∵CN=DN，∴EB/=FB/

∴Rt△AEB/≌Rt△AFB/（SAS），∴AE=AF，∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠3

∴∠1=∠2=∠3=30°∴∠EAF=60°，又∵AE=AF，

∴△EAF為正三角形。

三、折正六邊形

找一張正三角形紙片△ABC

（1）先把正三角形△ABC對折，使點B，C重合，折痕為AD，展開后再對折，使點A和點C重合，折痕為BE，兩折痕的交點為O

（2）折疊∠A，使點A與點O重合，折痕為FK，

（3）折疊∠B，使點B與點O重合，折痕為GH，

（4）折疊∠C，使點C與點O重合，折痕為IJ，則六邊形FGHIJK為正六邊形。

證明：由作圖知，O為△ABC的重心，

假設 AB=AC=BC=a，則 ，

由折疊知 ，△AFK為等邊三角形。

易證： ，同理

所以六邊形FGHIJK為正六邊形。

四、折黃金矩形

黃金矩形就是長寬比為 的矩形，它在建筑上、美學上有很多的應用。

找一張矩形紙片ABCD

（1）把紙片折一個角，使DA邊落在DC上，折痕為DE，如圖（8）

（2）過點E把ABCD對折，得正方形ADFE，折痕為EF，如圖（9）

（3）把正方形ADFE沿EB線折疊，使AD與EF重合，折痕為GH，如圖（10）

（4）把矩形HCBG折一個角，使HC過E點，HC與E點重合的點記為J，如圖（11）

（5）過點J對折矩形，折痕為IJ，如圖（12），

則矩形AIJD是一個黃金矩形。

證明：正方形ADFE中，設 ，由折疊知

圖（11）中，

矩形ADJI中，

∴矩形AIJD是一個黃金矩形。

五、折黃金三角形

黃金三角形是指底腰比為 的等腰三角形，它在建筑上和美學上有著重要和廣泛的應用。

找一張黃金矩形紙片ABCD

（1）將AB翻折，使點A落在BC邊上A/處，折痕為BG，

（2）將矩形A/GDC對折，折痕為EF，

（3）把矩形ABCD對折一個角，使點C恰好落在折痕EF上的點C/處，折痕為BH，則△BCC/為黃金三角形。如圖（13）

證明：設

∵ABCD為黃金矩形，

，（13）

，

∽ ，

，即△BCC/為黃金三角形。

通過折紙游戲，讓學生在思考中，在想象中，在表演中，在動手中，在觀察中感到數學的無處不在，感到數學的奇妙無窮，喚起他們潛在的好奇心與學習探究渴望，更為重要的是，讓數學的抽象概念與學生的經驗做如此的連續鏈接，調動學生潛在的經驗性理解，這有助于學生在今后的學習中更好地，更深刻地理解概念。