體驗(yàn)突破過程 生成解題模板

仲菲 劉希武

[摘 ?要] 解析幾何探究題教學(xué)時要注重思路分析、方法總結(jié)，必要時可形成相應(yīng)的解題模板輔助學(xué)生解題. 文章以一道直線與橢圓問題為例，探究解題過程，提煉問題解法，生成解題模板，同時反思教學(xué)，提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;橢圓;直線;模板;思想方法

直線與圓錐曲線方程是高中的重要考查內(nèi)容，問題設(shè)問形式也較為多樣，如參數(shù)范圍、線段最值、弦長中點(diǎn)、幾何面積等，問題的解析思路及分析運(yùn)算是突破的難點(diǎn)所在，也是解題的關(guān)鍵. 實(shí)際上解題過程存在一些高效的模板，按照模板分步突破，構(gòu)建思路可提高解題效率，下面進(jìn)行解題探索.

[?]問題呈現(xiàn)

問題：設(shè)橢圓C的方程為+=1（a>b>0），點(diǎn)O為坐標(biāo)的原點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)B（，0）為橢圓的右焦點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為點(diǎn)D，且OD⊥AB，試回答下列問題.

（1）求橢圓C的方程.

（2）直線l過原點(diǎn)，且斜率為正數(shù)，與橢圓C交于點(diǎn)P和Q，分別作PE⊥x軸，QF⊥x軸，設(shè)垂足分別為點(diǎn)E和F，連接QE和PF并延長，與橢圓C交于點(diǎn)M和N.

①試判斷△PQM的形狀;

②試求四邊形PMQN面積的最大值.

[?]突破解析

上述是一道以橢圓為背景的解析幾何綜合題，共分兩問. 第一問為傳統(tǒng)的求圓錐曲線方程，采用待定系數(shù)法即可;第二問融合橢圓與幾何圖形，分為兩小問，分別從幾何形狀和面積屬性進(jìn)行探究，解析的關(guān)鍵是聯(lián)系函數(shù)與幾何知識，根據(jù)對應(yīng)問題的解題模板構(gòu)建思路.

（1）可設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意可得OD⊥AB，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，所以b=c=，則a2=b2+c2=4，故橢圓的方程為+=1.

（2）①該問探究△PQM的形狀，初步判斷為直角三角形，則三角形兩條直角邊的斜率之積為-1，故可從直線斜率入手來構(gòu)建思路. 聯(lián)立直線與橢圓方程，計(jì)算相關(guān)交點(diǎn)坐標(biāo)，推導(dǎo)對應(yīng)直線的斜率，進(jìn)而完成三角形形狀判斷，具體過程如下.

[?]解后反思

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，上述基于一道直線與橢圓綜合題開展解題探究，并總結(jié)了相應(yīng)的解題模板，整個探究過程有著一定的教學(xué)價(jià)值，有助于學(xué)生整合知識，總結(jié)解法策略，下面基于教學(xué)實(shí)踐，提出幾點(diǎn)建議.

1. 基于屬性探究解題策略

高中數(shù)學(xué)知識的內(nèi)容十分豐富，問題類型也多樣，針對不同類型的問題需要基于本質(zhì)屬性開展策略探究，形成相應(yīng)的解題模板. 如解析幾何的核心內(nèi)容是數(shù)形結(jié)合，利用代數(shù)方程求解幾何問題是常用的方法策略，可利用解析法探究圖形性質(zhì). 分析時將圖形置于坐標(biāo)系中，讓“形”與“數(shù)”對應(yīng)互動，即將點(diǎn)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，將曲線變?yōu)榇鷶?shù)方程，充分挖掘坐標(biāo)系圖形中的幾何特征，利用數(shù)式和數(shù)量關(guān)系具體化求解，具體步驟如圖1. 如上述在探究圖形形狀時，從斜率入手，聯(lián)立方程推導(dǎo)直線斜率，利用斜率之積為-1的幾何意義確定了圖形的特征. 教學(xué)時建議采用數(shù)形結(jié)合的方法，引導(dǎo)學(xué)生觀察直觀圖形，思考圖形特征，引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)角度進(jìn)行關(guān)聯(lián)論證，逐步培養(yǎng)學(xué)生的空間幾何觀和推理論證能力.

2. 基于思路研究基礎(chǔ)方法

解題探究需要關(guān)注解析過程中的一些常見方法、技巧，注重概括解法步驟、計(jì)算公式、優(yōu)化方法等. 如探究解析幾何問題時使用函數(shù)與方程思想，對于曲線上的動點(diǎn)，根據(jù)變化過程的相關(guān)聯(lián)系來構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為研究變化參數(shù)的函數(shù)問題. 對于多情形或位置關(guān)系不確定的問題，合理使用分類討論思想，深入討論直線的斜率是否存在、直線的位置關(guān)系等. 探究解析幾何中的不明直線與曲線時，采用參數(shù)構(gòu)造法，基于直線斜率、曲線方程、點(diǎn)位置設(shè)定參數(shù)，利用參數(shù)范圍刻畫曲線或直線的變化范圍，從而將研究對象轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)的函數(shù)、方程或不等式等. 教學(xué)中建議探究基礎(chǔ)方法時立足方法思想，讓學(xué)生理解其中的思想內(nèi)涵，掌握方法精髓，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的解題能力.