一維諧振子勢阱中的理想量子氣體

侯吉旋

(東南大學物理學院,江蘇 南京 211189)

隨著低溫技術的發展,玻色-愛因斯坦凝聚在1995年已經被實現[1-3]。低溫下的量子系統已經成為物理學界的研究熱點。被囚禁于光學勢阱中的粒子間的相互作用,可以方便地通過Feshbach共振技術進行調節[4,5],因此低溫量子系統成為了檢驗各種理論的一個非常干凈的對象。將量子氣體束縛在三維非對稱勢阱中,如果其中兩個維度束縛得很緊以至于不會在這兩個維度上產生激發,那么就構成了準一維量子系統.對于一維諧振子勢阱中的玻色體系和費米體系,已引起人們的廣泛興趣[6-16]。另外,一維諧振子勢阱中的無相互作用的量子氣體是統計物理中少有的能夠精確計算其微觀狀態數的系統,對統計物理教學也頗有意義。本文將利用微正則系綜來研究一維諧振子勢阱中的理想玻色氣體和費米氣體,并指出它們的等效性。

考慮一個囚禁于一維諧振子勢阱中無相互作用的量子系統,能級間距為ε.為方便起見,我們選取基態為能量零點。在微正則系綜中,粒子數N和系統總能量E是確定的,滿足這個條件的不同能級的布居數組合{n0,n1,…,n i,…}對應于不同的微觀狀態,對于玻色系統n i≥0,對于費米系統0≤n i≤1。于是不同的微觀狀態對應于方程組

的不同非負整數解,其中m≡E/ε為激發子的個數。對于任意正整數m,當m≤N時,本問題可以轉化為正整數拆分問題。例如當m=3≤N時,有三種拆分方式:m=3,m=2+1以及m=1+1+1,等號右邊的正整數按照從大到小排列。上述三種拆分方式分別對應于玻色系統的微觀狀態為{N-1,0,0,1,0,0,…},{N-2,1,1,0,0,…}和{N-3,3,0,0,…},如圖1(a)所示。對于費米系統,可將拆分出來的正整數激發子數量從左到右依次分配給能量最高的費米子、能量其次的費米子、能量再次的費米子……,以此類推。例如m=2+1表示將處于費米面上的粒子向上遷移兩個能級,將能量僅次于費米面的粒子向上遷移一個能級至費米面上,如圖1(b)所示.求解正整數m的拆分方式的個數p(m)的問題最早由歐拉提出,Rademacher在1937年給出了p(m)的精確表達式[17]。當m＞N時,受到粒子數的限制,這時可能的拆分方式的個數p N(m)要小于p(m)。例如當m=3而N=2時,就只有兩種拆分方式:m=3和m=2+1,與之對應的玻色系統的微觀狀態為{1,0,0,1,0,0,…}和{0,1,1,0,0,…}。

圖1 量子系統的基態與激發態(圖示為N=6,m=3的情形)

由上述討論可見,擁有相同的粒子數N和能量m的一維諧振子勢阱中的玻色系統和費米系統,具有相同的微觀狀態數p N(m)。因此一維諧振子勢阱中的玻色系統和費米系統在熱力學上是完全等價的。據本文作者所知,這種等價性最早是在2000年Sch?nhammer推導出兩個系統擁有完全相同的巨配分函數指出的[16]。由于一維諧振子系統的態密度不隨能量改變,可知任何系統只要態密度為常數,那么這個系統中的理想玻色氣體和理想費米氣體在熱力學性質上就是等價的。例如,二維平面上的自由粒子的能量為εp=p2/2μ,由pdp=μdε可知其態密度為常數,于是二維平面上的自由玻色氣體和自由費米氣體熱力學性質相同。

p(m)的精確表達式太過復雜因而難以使用,現在已經知道當m→∞時p(m)的漸進形式[18]

在得到系統的微觀狀態數p N(m)后,就可以得到系統的熵

其中kB為玻耳茲曼常數,進而得到系統的溫度

當m?N時,利用式(4)和斯特林公式,可知能量和溫度成線性關系

這也正是能量均分定律給出的結果。

基于微正則系綜,本文提供了囚禁于一維諧振子勢阱中無相互作用的量子系統的各熱力學量的計算方法,并指出該系統中的理想玻色氣體與理想費米氣體的等價性。鑒于統計物理里能夠在微正則系綜中精確求解的例子不多,本文可以為統計物理的初學者提供必要的參考。