基于非均質系數的裂隙巖體表征單元體研究

王曉明，杜玉芳，梁旭黎

（1.河北地質大學城市地質與工程學院，河北 石家莊 050031；2.河北地質大學河北省高校生態環境地質應用技術研發中心，河北 石家莊 050031）

表征單元體（representative elementary volume，REV）是巖體力學中的一個重要概念。對裂隙巖體而言，表征單元體的存在是應用連續介質方法對其進行研究的前提。只有當裂隙巖體的研究尺度大于等于REV時，連續介質方法才適用于巖體的數值分析，巖體的等效參數才能表征裂隙巖體的性質。因此，REV 的確定對研究裂隙巖體具有重要意義。

由于關注的角度不同，許多學者選取不同的參數來確定裂隙巖體的REV。王曉明等[1]將這些研究參數歸納總結為結構面及塊體幾何參數、巖體力學參數和水力學參數。幾何參數包括巖體的塊體化程度[2-3]、巖石質量指標RQD[4-5]、體積節理數[6]、裂隙連通率[7-8]等；力學參數包括巖體的彈性模量、泊松比、柔度矩陣及單軸抗壓強度等[9-12]；水力學參數主要為等效滲透系數和滲透系數張量[13-14]。選取的參數不同，確定的巖體REV 尺寸也不相同。裂隙巖體的力學性質和水力學性質主要取決于巖體中普遍存在的裂隙或結構面，這些裂隙的大小、方向和密度對巖體的性質起著控制作用。當巖體的體積達到某一特定值時，裂隙的這些參數便具有統計學上的代表性，巖體的等效力學參數和水力學參數才逐漸趨于穩定，此時對應的巖體體積即為巖體的REV。根據裂隙參數確定的幾何REV是確定力學REV 的基礎[15]，也是建立裂隙網絡模型應滿足的最小尺寸。因此，從巖體結構的角度出發，根據裂隙的大小、產狀和密度等特征參數確定巖體的REV 是十分必要的。

本文旨在根據裂隙多參數（大小、產狀、密度）的尺寸效應確定裂隙巖體的REV。首先，提出巖體非均質系數的概念，該指標綜合反映了多個裂隙參數的統計代表性。選取中等間距-中等延展性的裂隙建立20 個三維裂隙網絡模型，從模型中選取不同尺寸的研究區域分析非均質系數的尺寸效應，進而確定巖體的REV。

1 非均質系數

巖體中裂隙空間的分布和組合形式構成了巖體結構，是決定巖體工程地質特征和力學性質的關鍵因素。對于某一特定的巖體而言，影響其工程性質的主要因素包括裂隙的大小、方向和密度等，正是由于這些參數的隨機性和復雜性，巖體表現出顯著的非均質性和尺寸效應。裂隙網絡模型作為描述巖體結構最重要的手段，通常將裂隙視為有限大小的圓盤，裂隙的大小用圓盤的半徑或直徑描述，半徑的離散程度用標準差衡量。裂隙的產狀多服從Fisher 分布（式（1）），θ'和φ'分別是當把z軸旋轉至裂隙的平均矢量方向后在新坐標系中的傾向和傾角，κ反映了裂隙產狀分布的集中程度，κ越大表明同組裂隙的方向越集中。裂隙的三維密度為單位體積巖體內裂隙的數量，反映了巖體中裂隙的密集程度。

為了綜合反映巖體中裂隙半徑、產狀和密度的統計代表性，本文提出了巖體非均質系數（heterogeneity index,HI）的概念，該指標用于評價特定體積巖體的裂隙參數（大小、產狀和密度）是否具有統計意義。只有當巖體具有統計代表性時，才能進一步確定裂隙巖體的等效參數。三維裂隙網絡模型是計算HI的基礎，根據現場實測裂隙的跡長、產狀和一維（或二維）密度，可以推求出實測裂隙的半徑和三維密度，基于這些參數即可建立裂隙網絡模型。裂隙網絡模型具有尺寸效應，不同尺寸的模型其統計參數諸如半徑均值、標準差、平均產狀、κ和三維密度隨著模型體積的增大而趨于實測值，意味著巖體具有統計代表性。模型中，模擬裂隙的半徑均值、標準差和三維密度可以根據每組裂隙的數量和半徑通過統計分析確定，本文重點介紹裂隙產狀的均質性計算過程。裂隙產狀可以用裂隙面的法向量表示，實測裂隙的平均法向量為p，模擬裂隙的平均法向量為pc。二者方向越接近，則其夾角越小，夾角正弦值越小，因此可采用夾角正弦值來反映裂隙產狀的均質性。根據向量代數可知，p和pc的夾角余弦值為：

則p和pc的夾角正弦值為：

裂隙產狀Fisher 分布的常數κ可按下式計算[16]：

式中：N—裂隙的數量；

rN—裂隙面的和向量。

綜上分析，HI的計算公式如下：

式中：n—裂隙組數；

μic—研究區域內第i組模擬裂隙的半徑均值；

μi—第i組實測裂隙的半徑均值；

—研究區域內第i組模擬裂隙半徑標準差；

σi—第i組實測裂隙的半徑標準差；

pic—研究區域內第i組模擬裂隙平均產狀的法向量；

pi—第i組實測裂隙平均產狀的法向量；

—研究區域內第i組模擬裂隙所服從的Fisher 分布的常量；

κi—第i組實測裂隙所服從的Fisher 分布的常量；

di—第i組實測裂隙的三維密度。

p和κ的計算可查閱文獻[16]，限于篇幅本文不再詳細介紹。

式（5）中，[]內第一項表示研究區域內模擬裂隙半徑均值的相對誤差；第二項表示模擬裂隙半徑標準差的相對誤差；第三項為模擬裂隙平均產狀與實測裂隙平均產狀夾角的正弦值，反映了模擬裂隙平均產狀偏離實測平均產狀的程度；第四項表示模擬裂隙產狀Fisher分布常數κ的相對誤差；第五項表示模擬裂隙三維密度的相對誤差。綜上可知，非均質系數HI反映了模擬裂隙的半徑、產狀和密度與實測值之間的相對誤差，是一個無量綱參數。HI越小，表明巖體越接近統計均質體。

2 研究數據和三維裂隙網絡模型

2.1 研究數據

Xia 等[2]根據國際巖石力學學會（1978）的巖體裂隙分級表，構建了77 種不同長度D、不同間距C的裂隙網絡。本文選取中間的模型即中等間距-中等延展性（MS1-MP1）模型（C= 0.4 m，D= 6.5 m）來進行詳細研究。用于構建裂隙網絡模型的裂隙參數見表1。

表1 中等間距-中等延展性裂隙網絡模型參數表Table 1 Parameters for generating the discrete fracture network of the MS1-MP1 model

2.2 三維裂隙網絡模型

研究采用于青春等[17-19]開發的General Block（GB）軟件建立三維裂隙網絡模型。該軟件具有裂隙網絡模擬、一般塊體識別和塊體穩定性分析等功能，在工程地質領域得到了廣泛應用[20-22]。裂隙網絡模擬是根據實測裂隙的特征參數及其分布形式，采用Monte Carlo 隨機模擬方法產生模擬裂隙的過程，模擬裂隙與實測裂隙的特征參數和分布形式一致。本文假設裂隙為圓盤狀，其中心坐標服從泊松分布，即每個裂隙中心點坐標是相互獨立的，裂隙的數量由其三維密度確定。用GB 軟件進行三維裂隙網絡模擬，只需在界面輸入并保存各組裂隙的參數和分布形式，點擊Fracture Generation 按鈕即可完成。由于裂隙的生成具有隨機性，本文對MS1-MP1 模型進行20 次隨機實現，共生成20 個裂隙網絡模型，圖1為種子數為8 時生成的裂隙網絡模型。模型均為立方體，邊長為20 m，每組裂隙的數量為602 條。軟件生成的隨機裂隙數據全部保存在random_fracture_xyzabr 文件中，具體包括每條裂隙的空間坐標、傾向、傾角及半徑等數據。利用這些數據計算每個模型的HI，得到HI的范圍為0.23～0.68。同時對比模擬的裂隙參數（表2，HI= 0.68）與實測值，兩者基本一致，表明本文所建立的裂隙網絡模型是可靠的。

圖1 中等間距-中等延展性的裂隙網絡模型（模型邊長20 m）Fig.1 3D fracture network of the MS1-MP1 model（model dimensions:20 m）

表2 中等間距-中等延展性裂隙巖體模擬裂隙參數Table 2 Parameters for the simulated fractures of the MS1-MP1 rock mass

3 巖體REV 的確定

HI具有尺寸效應，當研究區域的體積達到REV時HI應趨于0，表明研究區域內裂隙的參數具有統計學上的代表性。根據HI的尺寸效應可以確定巖體的REV，該REV 能夠保證巖體的裂隙參數具有良好的代表性，達到REV 的巖體可看作統計均質性巖體。

為了確定巖體的REV，從每一個隨機生成的裂隙網絡模型中選取10 級不同尺寸的研究區域計算其HI。選取的研究區域均為立方體，中心與20 m 裂隙網絡模型中心一致，尺寸分別為2，4，6，8，10，12，14，16，18，20 m。根據研究區域內包含的裂隙數量和裂隙參數，運用公式（5）計算每個研究區域的HI，結果詳見圖2。計算過程中發現，當研究區域為2 m 時，包含的裂隙數量很少甚至為完整巖體，這樣便無法計算巖體的HI，因此不再對2 m的研究區域進行HI統計分析，但顯然這種尺寸的巖體是非均質的。圖2反映了HI隨研究區域尺寸的變化情況，圓點代表不同模型、不同尺寸巖體的HI，曲線代表HI的平均值。可以看出，HI表現出顯著的尺寸效應，隨著尺寸的增大，HI總體上減小并趨于穩定。當研究區域的尺寸達到8 m時，HI的均值基本穩定在0.5 上下。

圖2 巖體非均質系數與研究區域尺寸的關系Fig.2 Relationship between HI and domain size of the study area

從圖2也可以看出，當研究區域的尺寸小于6 m時，HI的離散性比較大，反映出巖體是非均質的；當巖體尺寸不小于8 m 時，HI上下波動很小，反映出巖體具有統計意義上的均質性。根據各級巖體的HI，計算得到HI的標準差（圖3）。HI標準差隨巖體尺寸的增大而減小，當巖體尺寸達到8 m 時，HI標準差穩定在0.14 上下。隨著巖體尺寸的進一步增大，HI標準差沒有明顯的變化。根據HI的平均值和標準差的尺寸效應，綜合確定中等間距-中等延展性（MS1-MP1）裂隙巖體的REV 為8 m。文獻[2]根據塊體百分比確定的巖體REV 為10 m，大于由HI確定的REV，表明獲得巖體的統計均質區是確定巖體等效參數的前提條件。

圖3 非均質系數標準差與研究區域尺寸的關系Fig.3 Relationship between the standard deviation of HI and domain size of the study area

4 工程實例驗算

三峽水電站是迄今世界上最大的水利樞紐，位于長江西陵峽中段，壩址所在地位于湖北省宜昌市夷陵區三斗坪鎮，控制流域面積約100×104km2。三峽水利樞紐主要由攔河大壩、電站建筑物、通航建筑物、茅坪溪防護工程等組成。地下電站位于右岸白巖尖山體內，主要建筑分為引水系統、主廠房系統、尾水系統三大部分。其中主廠房洞室為圓拱直墻型，全長311.3 m，軸線走向223.5°，最大跨度32.6 m，最大高度87.3 m。廠房圍巖為堅硬的花崗巖，巖體完整—較完整，整體穩定性較好。地下電站廠房洞室的開挖揭露了大量裂隙，為研究巖體統計均質區提供了豐富的資料，文獻[23]對裂隙進行了統計分析，具體參數見表3。

表3 三峽地下電站廠房圍巖裂隙參數表[23]Table 3 Fracture parameters of the surrounding rock mass of the underground powerhouse in the Three Gorges

根據裂隙參數隨機生成了20 個邊長為100 m 的三維裂隙網絡模型，并按照上述方法分別計算不同尺寸巖體的HI，結算結果見圖4。可以看出，三峽地下電站廠房巖體的HI同樣具有明顯的尺寸效應，當巖體尺寸不小于60 m 時，其HI基本穩定在0.7。根據HI的平均值和標準差綜合確定該巖體的REV 為60 m，表明對該巖體進行統計分析的尺寸不應小于60 m×60 m×60 m。若研究范圍小于該尺寸，應采用非連續介質方法確定巖體的等效參數。

圖4 三峽地下電站廠房巖體非均質系數與尺寸的關系Fig.4 Relationship between HI of the rock mass of the underground power station in the Three Gorges and domain size

5 結論

（1）本文從巖體結構的角度提出了巖體非均質系數HI的概念，該指標為研究區域內模擬裂隙的半徑、產狀和密度與實測值之間的相對誤差之和，綜合反映了巖體中裂隙半徑、產狀和密度的統計代表性，可以作為確定巖體REV 和裂隙統計區的指標。

（2）對中等間距-中等延展性（MS1-MP1）裂隙巖體的研究表明，HI具有明顯的尺寸效應，根據HI的平均值和標準差，綜合確定該巖體的REV 為8 m。

（3）采用HI對三峽地下電站廠房圍巖的尺寸效應進行了研究，綜合確定該巖體的REV 為60 m，表明對該巖體進行統計分析的尺寸不應小于60 m×60 m×60 m，否則應采用非連續介質方法進行研究。

（4）HI綜合考慮了裂隙半徑、產狀和密度等多個參數的統計代表性，不僅可以作為確定巖體REV 的指標，還能用于衡量同一地區不同巖體的均質程度。目前該指標尚未考慮裂隙張開度、粗糙度等裂隙參數，相關內容還有待進一步研究。