例談向量問題中數學轉化思想的培養

南通大學附屬中學 王軍臣

在和向量有關的綜合性問題中，往往涉及更多的范圍問題或最值問題，我們把它統一歸納為函數類問題。通常情況下，構建函數模型是解決這類問題的主要途徑，需要將向量數量化，運用代數運算解決問題，也可以考慮向平面幾何轉化，利用平面幾何性質解決。

一、限制“自由”，準確定位

圖1

分析：平面向量的自由性強，在問題

轉化過程中需要將自由向量定位，將其坐標化，最后轉化為代數運算。

點評：本題以向量基本運算為載體，在坐標運算過程中注意到動點C 的軌跡方程為定圓，進而將問題轉化為圓的問題。若在構建函數的過程中出現雙變量情況，應積極尋找兩變量之間的隱含關系，嘗試消元；在兩變量沒有隱含關系的情況下，應主動向軌跡方程轉化，利用幾何意義進行突破。

圖2

點評：例1和例2的條件有共同之處，即向量的數量積是一個定值，得到對應點的軌跡方程均為圓。學生將問題轉化成平面幾何，利用平面幾何知識解決問題。

二、合理轉化，探求多解

分析：觀察發現，條件和共線定理的推論有相似之處，那么想到利用該結論嘗試解題，對應解法一；注意到單位圓，受前兩例題的啟發，采用特殊值法研究，對應解法二。

圖3

解法二：如圖4，以圓心O 為坐標原點建立直角坐標系，設A，B 兩點在x 軸上方且線段AB 與y 軸垂直。

圖4

又∵C 是劣弧AB(包含端點)上一動點， 設點C 坐標為(x，y)，

點評：對比兩種方法，通過消元的方式構建函數時，若能有效地抓住一些幾何特點或者結論，會大大方便問題的突破。

總之，復雜的問題簡單化、陌生的問題熟悉化、抽象的問題形象化構成了數學轉化思想的核心內容。在平時的教學過程中，教師要有意識地培養學生的轉化思想，使學生在學習中逐步提升分析和解決問題的能力。