求函數(shù)值域忽略隱含條件致誤剖析

江蘇省江陰市青陽(yáng)高中級(jí)中學(xué) 譚 穎

從近幾年的高考來(lái)看，求函數(shù)的值域問(wèn)題是熱點(diǎn)之一，函數(shù)的值域問(wèn)題在高考中常以各種問(wèn)題為背景，與各方面綜合進(jìn)行考查。求函數(shù)值域常用的方法雖然不少，但是由于隱含條件較多，加上沒(méi)有普遍適用的準(zhǔn)則可循，學(xué)生解題時(shí)容易忽略隱含條件而失誤。本文就忽略隱含條件致誤剖析如下。

一、擴(kuò)大或縮小了函數(shù)的定義域

二、把閉區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值誤認(rèn)為函數(shù)的最值

例3：求函數(shù)y=x2-4x 在閉區(qū)間[0,8]上的值域。

誤解：因?yàn)槎x在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值，因此，可求得端點(diǎn)的最值：當(dāng)x=0 時(shí)，y1=0；當(dāng)x=8，y2=32，所以原函數(shù)的值域?yàn)閇0，32]。

剖析：上述答案把閉區(qū)間上端點(diǎn)的函數(shù)值y1=0 誤認(rèn)為函數(shù)的最小值，事實(shí)上，函數(shù)y=x2-4x=（x-2）2-4 的最小值為-4。

正解：由y=x2-4x=（x-2）2-4 可知，當(dāng)x=2 ∈[0,8]時(shí)，函數(shù)有最小值y1=-4。因?yàn)槎x在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值，而且它們或者是函數(shù)的最值，或者是閉區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，所以可求得端點(diǎn)的函數(shù)值y2=0（當(dāng)x=0 時(shí)）；y3=32（當(dāng)x=8 時(shí)），比較y1，y2，y3的大小可得-4 ≤y ≤32，所以原函數(shù)的值域?yàn)閇-4，32]。

三、求值域問(wèn)題與求最值問(wèn)題混淆

四、忽視新變量的取值范圍

五、忽略了正余弦函數(shù)的有界性

六、忽略了基本不等式取等號(hào)的條件