雙曲函數等數學知識在邊界條件中的應用

新疆石河子148 團中學 徐新賢

一、問題提出

該學生提供了一個公式（如（1）式所示）和一個截圖（如圖1所示），他直覺認為（1）式中的第二個式子有錯誤，因為該式的兩項因子明顯不對稱，不知道為什么會是這樣的，因為原文獻中并沒有原始公式和推導過程。

二、分析思路

圖1

先明確一下，文獻中的這個公式是涉及光在硅波導與介質狹縫交界面處任意一點的電場強度問題。圖1 中S 表示介質狹縫，H 表示狹縫兩側的硅薄膜波導，C 表示硅外側的包層（折射率為nC）。如果在高折射率的硅波導（折射率為nH）中間引入納米寬度的低折射率介質狹縫（折射率為nS），光場將會被限制在狹縫中。三層介質的折射率關系為：

nH＞nS＞nC（2）

顯然，要回答（1）式有沒有問題，就需要得到Ex(x)的定量表達式。我們知道光的本質是電磁波，是變化的電場強度矢量和變化的磁場強度矢量相互激發所形成的，而解決電磁波的問題就必須從電磁波所遵循的基本規律——麥克斯韋方程組入手，推導出電磁波的場分布。

三、利用物理知識建立單一介質中的電場及磁場所滿足的方程

因為需要得出電磁場中任意一點的電場強度的表達式，所以我們選擇麥克斯韋方程組的微分形式并進行矢量分析：

這是兩組獨立互不關聯的方程組，（12）式只含有Ey、Hx、Hz三個分量，其中Ey是電場的唯一分量，且垂直于傳播方向，因而電場是橫場，簡稱TE 模。（13）式含有另外三個分量Hy、Ex、Ez，其中Hy是磁場的唯一分量，且垂直于傳播方向，因而磁場是橫場，該方程組所描述的傳播模式稱為橫磁模，簡稱TM 模。以上兩組方程組表明在硅波導中存在兩種不同偏振狀態的傳播模式，TE 模和TM 模都是偏振模。

從（13）式的第一個式子可以看出，只有解出Hy，才可以得到我們所需要的Ex的表達式，為此對這兩個方程組分別進行變量代換可得到單變量微分方程。在（12）式及（13）式中分別消去磁場分量和電場分量后就可分別得到TE 模場Ey以及TM 模場Hy所遵從的方程：

四、轉換為符合題意要求的方程

由于（1）式中涉及的物理量是nH、kH、γH等，所以下面擬通過數學代換，得到符合圖1 所示情況（介質狹縫硅波導）的具體表達式。結合光在真空中的傳播常數（或稱波數） ，介電常數ε=ε0εr=ε0n2，非磁性物質磁導率μ=μ0μr≈μ0，可把（14）式寫成（15）式所示的形式。（15）式中的下角標j 可分別取S、H、C，分別對應著介質狹縫、硅薄膜和包層。這兩個式子稱為介質中電磁場的波動方程，分別稱為TE 波和TM 波的標量亥姆霍茲方程，它們適用于無源、無損耗、各項同性、均勻和非磁性的介質薄膜波導。

（15）式是微分算符的本征方程，其本征值γ（γ2=k20n2-β2）決定了模場函數的性質，如果γ＞0，那么方程的解是余弦振蕩函數，如果γ＜0，那么方程的解是指數函數。

對于介質狹縫硅波導三個層區介質的折射率在圖1 中已經假定了（2）式的關系，傳播常數β 在三個層區必須一致，這是邊界條件所需求的。另一方面，必須考慮物理的合理性，對于可傳播的導波模，硅薄膜層的電磁場必然是波動的，而狹縫和包層的電磁場必然是阻尼的，這就要求γ 在硅薄膜層和包層的符號必須是相反的，即知導波的必要條件是：k0ns＜β＜k0nH。依據導波條件，各層參數設置如下：

五、確定各層區磁場強度的解

分別寫出（16）式的三個二階常系數線性齊次方程的特征方程并求出特征根，即可得出在各層區的磁場解。

首先，介質狹縫層的磁場解為（17）式。

六、利用邊界條件確定磁場解的常數項

下面利用邊界條件確定各層區磁場強度的常數項。由圖1 可知：

（1）當x=a 時切向的Hy連續，即Hys=HyH，由（18）式和（20）式可得：

把（28）式代入（24）式，合并同類項，并應用兩角差的三角函數公式可得：

七、得出TM 模的場分量的解析式

把（28）式和（29）式分別代入（18）（20）（22）式并化簡，可得如圖1 所示的介質狹縫硅波導TM 模的磁場分量的解析式：

注：（30）式、（32）式中的常數A 可通過歸一化函數求得。

由（32）式可知，本文開篇所提到的（1）式的第二個式子的確是存在問題的，而（1）式的第一個式子與第三個式子是正確的。

從上面問題的解決過程，我們看到數學知識的應用必須與所研究的具體的實際問題結合起來，首先建立物理模型，然后根據物理方程的具體形式和需要解決的問題選用相應的數學知識與方法逐步解決，本例為類似問題的解決提供了較為詳盡的參考。