考慮個體警覺行為的雙層網絡流行病傳播模型

王 帥，宋玉蓉，2，宋 波

（1.南京郵電大學自動化學院，南京 210003；2.江蘇省物聯網智能機器人工程實驗室，南京 210003；3.南京郵電大學現代郵政學院，南京 210003）

0 概述

近年來，流行病傳播在復雜網絡領域受到廣泛關注［1］。人類社會中流行病傳播過程常伴隨信息傳播等其他傳播過程，流行病信息通過媒體在人群中迅速擴散，進而改變大眾對流行病的認識。人們在了解到流行病相關信息后，為避免被感染其行為也會發生相應改變，如戴口罩、避免接觸以及服用藥物等［2］，這些行為在一定程度上可有效抑制流行病傳播［3-5］。因此，對流行病傳播與信息擴散關系的研究具有重要意義。

目前，流行病傳播與信息擴散的交互模型為雙層網絡［6-7］，一層為模擬流行病在物理接觸網絡中傳播過程的物理接觸網絡，另一層為描述流行病傳播所引發信息擴散的信息網絡。在物理接觸網絡中，通常采用易感-感染-易感（Susceptible-Infected-Susceptible，SIS）流行病傳播模型或易感-感染-恢復（Susceptible-Infected-Recovered，SIR）流行病傳播模型［8-10］模擬流行病的傳播。在SIS 模型中，個體分為易感（S）個體和感染（I）個體，易感個體在和感染個體接觸后以概率β變為感染個體，而感染個體則以概率μ自我恢復，重新成為易感個體。在SIR 模型中，個體除了SIS 模型中的S 狀態和I狀態外，還存在恢復（R）狀態。I狀態的個體不再重新變為S 狀態，而是以概率γ恢復或死亡成為R 狀態。在信息網絡中，通常采用未知-已知-未知（Unaware-Aware-Unaware，UAU）信息傳播模型描述流行病傳播引起的信息擴散。其中，個體根據對信息的了解程度分為不了解信息的無意識（U）狀態和已了解信息的有意識（A）狀態，其傳播動力學與SIS 模型相同。

現有研究通常將流行病傳播與信息擴散之間的相互作用建模為多層網絡中兩個相互競爭的傳播過程。與物理接觸網絡中流行病傳播過程相同，意識信息從有意識個體傳給其在信息網絡上的無意識鄰居，通過促使更多個體在信息網絡中產生意識，從而使其能夠采取預防行為以抑制流行病在物理接觸網絡中傳播。文獻［6］提出UAU-SIS 網絡傳播模型以描述網絡中意識和流行病之間的動態相互作用，指出存在意識傳播速率亞臨界點，當意識傳播速率小于該臨界點時，流行病閾值不受意識傳播影響。文獻［11］發現易感個體在了解信息后采取的自我意識行為對流行病傳播的抑制作用明顯優于感染個體的自我意識行為，其原因在于易感個體的自我意識行為能降低其被感染的可能性。文獻［12］研究多層網絡UAU-SIR 模型后發現，隨著自我感知率v的增加，個體自我感知會極大降低流行病感染規模。文獻［13］在UAU-SIS 傳播模型的基礎上調整UAU 信息傳播過程，使個體在其具有意識的鄰居比例超過給定值時會產生自我意識，并指出流行病爆發與意識擴散及接觸網絡的拓撲結構有關。文獻［14］在接觸網絡的SIR 傳播模型基礎上引入免疫狀態，個體可通過接種疫苗對流行病免疫，且信息網絡的同質性能促進疫苗接種規模擴大，從而有效抑制流行病傳播。

以上研究均假設網絡中個體具有相同特性，而現實中個體行為通常受鄰居數量等異質性影響。考慮到不同個體在網絡中鄰居關系的異質性，文獻［15］提出一種非線性耦合信息—流行病模型，指出流行病閾值由耦合網絡的拓撲結構決定，其中節點的度分布的不均勻性會降低流行病閾值，控制流行病傳播需增強對已了解該流行病信息個體的保護。文獻［16］通過研究具有異質感染率的多重網絡流行病傳播過程，構建可調冪指數與節點的度相關的異質感染率函數，證明負冪指數會使流行病感染率降低，即異質感染率與節點的度負相關，免疫樞紐節點有利于抑制流行病傳播。雖然上述研究考慮到個體在了解流行病傳播產生的信息后都會產生警覺意識，卻忽視了不同個體在接觸行為選擇上的異質性，即不同個體在了解到流行病相關信息后會采取不同行為以避免感染流行病或者維持網絡功能正常運行。例如，在流行病傳播期間，一部分具有流行病信息意識的個體可能會提高自身警覺性，注意基本的健康防護或采取其他措施來保證自身健康。此外，其還可能對其他鄰居產生警覺性，通過主動切斷與部分鄰居的接觸來避免自身被感染。而另一部分個體雖然具有流行病信息的意識，但是由于其存在日常工作與社交需求，不會對周圍個體產生警覺性，無法切斷與部分鄰居的接觸。

考慮不同個體在接觸行為上的異質性，文獻［17］在雙層網絡UAU-SIS 傳播模型中引入個體的積極狀態與非積極狀態，在流行病傳播過程中，積極狀態的個體在信息網絡和接觸網絡中會斷開與同為積極狀態個體的連接，并證明這種基于個體活躍性狀態的引入可有效降低流行病傳播規模。此外，積極狀態與非積極狀態的切換是隨機發生的，其與信息和流行病的傳播相互獨立，由于現實中意識信息的傳播會對個體行為產生影響，因此由意識信息傳播引發個體行為的變化更符合現實情況。本文受文獻［17］啟發，考慮到流行病傳播時個體接觸行為存在異質性，即個體了解流行病信息后會以一定概率成為警覺個體，進而改變個體接觸行為以規避被流行病所感染，提出一種基于個體警覺狀態的UAU-SIS 雙層網絡傳播模型。建立物理接觸網絡和信息擴散網絡，設計兩種個體警覺性接觸行為策略，并研究其在3 種雙層網絡中對流行病傳播的影響。

1 流行病傳播與信息擴散交互模型

1.1 傳播模型

由于社交網絡中信息傳播和個人行為的改變是一種復雜的社會心理過程，因此本文使用UAU-SIS雙層網絡建立模型并簡化傳播機制，如圖1 所示。定義下層SIS 網絡為物理接觸網絡，用以描述流行病在人群中的傳播；節點表示個體，連邊表示人與人之間的物理接觸。定義上層UAU 網絡為信息擴散網絡，用以描述隨流行病傳播發生的信息擴散；節點表示個體，連邊表示個體之間的信息交流。兩層網絡的對應節點為同一個體，由于相同個體在進行物理接觸和信息交流時其鄰居集合通常不相同，因此上下兩層網絡結構不同。個體在信息網絡中成為已了解信息的有意識個體后會以概率a變成警覺性個體（警覺節點），否則為非警覺性個體（非警覺節點）。

圖1 UAU-SIS 雙層網絡傳播模型Fig.1 UAU-SIS bilayer network spreading model

在物理接觸網絡中用SIS 模型模擬流行病在網絡中的傳播，個體在每個時刻為易感狀態或感染狀態。在流行病傳播過程中，當感染個體與易感個體接觸時，易感個體會以概率β被感染，同時感染個體也會以概率μ恢復為易感個體。在信息網絡中用UAU 模型模擬流行病傳播時的信息擴散，與SIS模型類似，個體在每個時刻均為不了解信息的無意識狀態或了解信息的有意識狀態。假設信息層有意識個體來源于兩個方面：1）接觸網絡中無意識的感染個體在信息網絡中以概率κ轉變為有意識個體，并自發地向鄰居個體傳播流行病相關信息；2）信息網絡中了解信息的有意識個體在每個時刻會向信息層中的鄰居傳播流行病相關信息，在與無意識鄰居接觸后以概率λ使其變為有意識個體。同時，因為大部分流行病的傳播都具有一定季節性或周期性，使得散播信息的有意識個體遺忘或者不再傳播流行病相關信息，所以有意識個體會以概率δ重新變為無意識個體。

在流行病相關信息的傳播過程中，由于不了解流行病相關信息的無意識個體不會考慮如何預防被流行病感染的問題，而了解流行病相關信息的有意識個體會采取適當的防護措施以減少被感染的風險，因此有意識的易感個體被流行病感染的概率小于無意識個體。在本文模型中，假設有意識的易感個體被流行病感染的概率為無意識易感個體的σA∈[0，1]倍，若無意識的易感個體被流行病感染的概率為β，則有意識的易感個體被流行病感染的概率為σAβ。考慮個體接觸行為異質性對流行病傳播的影響，本文在模型中引入基于個體警覺性的接觸行為，并提出兩種不同的個體接觸行為策略。

1.2 個體警覺行為

本文引入個體警覺狀態表示不同個體在接觸行為選擇上的異質性，信息層中了解流行病相關信息的有意識個體會以概率a變為警覺狀態（V）。由于警覺性個體充分了解流行病的嚴重性，因此其愿意改變自身社交行為以避免感染。然而隨著對流行病相關信息的遺忘，警覺性個體會停止散播信息，并以概率b重新恢復為非警覺狀態（N）。非警覺性個體因為未認識到流行病的嚴重性或存在工作與社交需求，所以會與全部鄰居接觸。在流行病傳播期間，若個體更偏向于進入警覺狀態，則其通常會希望保持警覺以最大程度的避免感染風險，因此假設a+b=1。基于上述模型，本文根據個體產生警覺性時接觸行為的不同偏好，提出個體警覺行為1 和個體警覺行為2 兩種相反的接觸行為策略。

1.2.1 個體警覺行為1

具有警覺性的個體會和同樣具有警覺性的鄰居個體保持物理接觸，同時斷開與不具有警覺性鄰居個體的物理接觸，而不具有警覺性的個體則會和所有鄰居保持接觸。例如，在流行病傳播期間，了解相關信息的個體比平時更加謹慎并采取帶口罩、勤洗手等防護措施，少數充分了解流行病嚴重性的警覺性個體為最大程度地避免被流行病感染，還會切斷與不了解流行病嚴重性的非警覺性鄰居個體之間的物理接觸，僅與同樣具有警覺性的鄰居接觸，由于這些鄰居已了解流行病相關信息并采取防護措施，因此與其接觸帶來的感染風險更小。

1.2.2 個體警覺行為2

具有警覺性的個體會和不具有警覺性的鄰居個體保持物理接觸，同時斷開與警覺性鄰居個體的物理接觸，而不具有警覺性的個體則會和所有鄰居保持接觸。例如，在流行病傳播期間有意識的個體來源于兩個方面：1）由已感染流行病的個體自發轉化而來；2）在信息傳播網絡中接收到鄰居個體散播的消息從而獲得意識。因此，當一部分有意識的個體產生警覺性后，警覺性個體中會有一定比例的感染態個體，如果具有警覺性的易感個體和不具備警覺性的鄰居個體進行物理接觸，則被流行病感染的風險會降低。

考慮到個體警覺行為1 和個體警覺行為2 兩種行為策略都有其合理性，本文采用這兩種策略建立模型，通過參數控制不同個體選取相應警覺行為策略并分析其對流行病傳播的抑制效果。

1.3 數學描述

在傳播過程中，每個時刻都被分為意識傳播（UAU 過程）、警覺狀態的改變、流行病傳播（SIS 過程）以及自我意識的產生（信息上傳過程）4 個階段。結合式（1）～式（5），通過微觀馬爾科夫分析［17］建立每個節點i分別從8 種狀態演化的方程為：

2 仿真與結果分析

本文提出個體在產生警覺性后的兩種個體接觸行為策略：處于警覺狀態的個體傾向于與同樣處于警覺狀態的鄰居個體保持物理接觸并和處于非警覺狀態的鄰居個體斷開物理接觸；處于警覺狀態的個體傾向于與非警覺狀態的鄰居個體保持物理接觸并和處于警覺狀態的鄰居個體斷開物理接觸。由于處于非警覺狀態的個體不具有警覺性，因此其會和所有鄰居個體保持接觸。以下針對不同的多層網絡類型進行仿真實驗，對比分析兩種個體警覺行為對流行病傳播的影響。其中，流行病傳播以及信息擴散參數設置為β=0.2、μ=0.4、λ=0.3、δ=0.6、α=0.4 以及σS=0.5。每個仿真實驗均進行200 次蒙特卡洛循環［7-9］。

由于現實網絡結構具有小世界特性［20］和無標度特性［21］，因此本文實驗選取具有這兩種特性的小世界網絡（WS）和無標度網絡（BA）分別表示物理接觸層和信息傳播層。小世界網絡又稱均勻網絡或指數網絡，其網絡連接度分布可近似用Poisson 分布表示，該網絡具有明顯的聚類特性和較短的平均路徑長度；無標度網絡的連接度分布函數具有冪律形式，其無明顯特征長度且具有增長特性和優先連接特性2 個重要特性。本文從物理接觸層為無標度網絡且信息傳播層為無標度網絡的BA-BA 雙層網絡、物理接觸層為無標度網絡且信息傳播層為小世界網絡的BA-WS 雙層網絡、物理接觸層為小世界網絡且信息傳播層為小世界網絡的WS-WS 雙層網絡，分別研究考慮個體警覺行為的雙層網絡流行病傳播與信息擴散交互模型。由于物理接觸網絡結構較符合BA 網絡模型的增長特性與優先連接特性，而信息傳播網絡結構可能具有無標度特性，也可能隨著時間的演化變得相對均勻，即具有小世界特性，因此在上下兩層網絡不同的情況下，本文暫未考慮物理接觸層為小世界網絡且信息傳播層為無標度網絡的WS-BA 雙層網絡。

本文實驗中BA 網絡的節點數為2 000，每個節點在加入網絡時與3 個節點建立連接，WS 網絡的節點數為2 000，平均度＜k＞=4，網絡在生成過程中邊的重連概率p=0.3。在信息傳播層，現實社會中相同個體在接觸關系網絡和在線社交關系網絡中雖然無相同結構，但也不會產生差異化較大的人際關系。例如，在接觸關系網絡中擁有較多好友的個體，其在信息傳播層中也同樣可能擁有較多好友，即使在這兩層網絡中擁有的好友并不完全相同。因此，為保證這種相關性，在BA-BA 雙層網絡和WS-WS 雙層網絡中，上層信息傳播網絡以下層接觸網絡為基礎隨機增加400 條邊［7-9］，在BA-WS 雙層網絡中，對上層信息傳播WS 網絡也進行隨機加邊處理。

當采取個體警覺行為1 時，BA-BA、BA-WS 和WS-WS 3 種雙層網絡中流行病傳播規模i（t）在不同個體警覺性概率a下隨模擬的步驟序數t的變化如圖2 所示。可以看出，隨著個體警覺性概率a的增大，網絡中流行病傳播規模也增大，即個體警覺行為1對于流行病抑制作用減弱。從易感個體角度考慮，具有警覺性的易感個體需受到保護，當其產生警覺性后可通過調整接觸行為策略減小被感染的概率。例如，通過切斷與部分非警覺性感染鄰居個體的接觸，在一定程度上可降低易感個體被感染的風險。

圖2 3 種雙層網絡采取個體警覺行為1 時流行病傳播規模隨步驟序數的變化Fig.2 The change of epidemic spreading scales with ordinal number of steps when three bilayer networks adopt individual alert behavior 1

當a較小時，網絡中只有少數有意識個體處于警覺狀態，其中具有警覺性的易感個體會切斷與其他非警覺性感染態鄰居的接觸以降低自身感染概率。由于一部分個體意識來自信息擴散，由與有意識的鄰居通信所獲得，另一部分個體意識由個體自身感染流行病而自發產生，因此有意識的個體中患病個體的比例會比無意識個體中患病個體的比例更高。當a偏小時，由于不具備警覺性的易感個體比例高，采取個體警覺行為1 可在一定程度上實現對具有警覺性個體的隔離，因此可保護不具備警覺性的易感個體。隨著a的增大，非警覺性概率b減小，即網絡中個體由警覺性恢復為非警覺性的概率降低，最終網絡中警覺性個體比例增大，警覺個體之間形成的子網絡擴大，在其子網內部各個體都會與其全部鄰居進行物理接觸，造成個體警覺行為1 的效果減弱。當a=1 時，網絡中所有具有意識的個體永久轉變為警覺性個體，此時警覺性個體形成的子網絡擴展到幾乎整個網絡，因此個體警覺行為1 基本不起作用。特別地，當a較小時，在流行病傳播初期會出現一個較高峰值（見圖2中a=0.1 時的曲線峰值），這是由于網絡中最初警覺性個體比例很小，隨著流行病在網絡中不斷傳播，警覺性個體比例隨有意識個體數量的增加而提高，此時個體警覺行為1 逐漸產生作用，使流行病感染規模逐漸下降，且隨著時間延長傳播規模逐漸穩定。

當采取個體警覺行為2 時，BA-BA、BA-WS 和WS-WS 3 種雙層網絡中流行病傳播規模在不同個體警覺性概率a下隨模擬的步驟序數的變化如圖3 所示。可以看出，隨著個體警覺性概率a增大，網絡中流行病傳播規模減小，即個體警覺行為2 對流行病抑制作用增強。從易感個體角度考慮，警覺性易感個體會選擇與非警覺性鄰居個體接觸，因為有意識個體中的部分個體產生意識是因為其在物理接觸網絡中感染流行病，所以與無意識個體相比，有意識個體感染比例略高。警覺性個體由有意識個體根據概率轉化而來，通過避免與同樣具有警覺性的個體物理接觸，在一定程度上可降低個體被感染的風險。當a較小時，網絡中只有少數有意識個體處于警覺狀態，其中警覺性易感個體會保持與非警覺性鄰居個體（包括大部分感染個體）的物理接觸，此時個體警覺行為2 對于流行病傳播的影響不顯著。隨著a的增大，有意識個體產生警覺性的概率增大，由于有意識個體中感染個體的比例較高，因此警覺性易感個體通過改變接觸行為，切斷與其他警覺性感染鄰居個體的物理接觸可有效降低感染風險。當a=1時，網絡中很多個體隨著信息擴散永久成為警覺性個體，而警覺性個體不會主動與警覺性鄰居個體接觸，因此，當網絡中警覺性個體比例很高時，網絡中大部分連邊均被切斷，警覺個體之間相互孤立，此時網絡基本不連通，流行病無法有效傳播，隨著已有感染個體逐漸康復，流行病最終在網絡中消失。

圖3 3 種雙層網絡采取個體警覺行為2 時流行病傳播規模隨步驟序數的變化Fig.3 The change of epidemic spreading scales with ordinal number of steps when three bilayer networks adopt individual alert behavior 2

特別地，與個體警覺行為1 時情況類似，當采取個體警覺行為2 時，若a較大則在流行病傳播初期會出現一個較高峰值（見圖3中a=1.0 時的曲線峰值），此時網絡中處于感染態的有意識個體比例偏高，在流行病傳播初期這些個體在產生警覺性后通過與大量非警覺性個體接觸傳播流行病，而這些非警覺性個體并無流行病相關意識且防護能力較弱，隨著流行病在網絡中不斷傳播，警覺性個體比例隨著有意識個體數量的增加而提高，流行病的傳播規模逐漸穩定。

因為BA 網絡具有無標度特性，所以在網絡中存在少數度較大的個體，當其被流行病感染時會通過與大量鄰居個體接觸而加快流行病在網絡中的傳播，體現出BA 網絡的脆弱性。WS 網絡由于節點的度分布較均勻，其流行病傳播速度比同等規模的BA網絡更慢。因此，當采用WS-WS 網絡時，個體警覺行為對流行病的抑制作用比采用BA-BA 網絡更明顯。當采用BA-WS 網絡時，由于僅信息傳播層為WS 網絡，信息意識傳播速度較同等規模的BA 網絡更慢，使得上層信息傳播網絡中具有信息意識的個體比例較少，造成具有警覺性意識的個體比例也較少，因此，當采取個體警覺行為1 時，若a較小，則BA-WS 網絡在傳播初期的峰值較BA-BA 雙層網絡更高（見圖2（a）和圖2（b））；當采取個體警覺行為2時，若a較大，則BA-WS 網絡在傳播初期的峰值較BA-BA 雙層網絡更高（見圖3（a）和圖3（b））。

圖4～圖6 分別為BA-BA、BA-WS 和WS-WS 3 種雙層網絡中不同個體警覺行為對傳播閾值的影響。

圖4 BA-BA 網絡采用不同個體警覺行為對流行病閾值的影響Fig.4 The influences of BA-BA network with different individual alert behaviors on epidemic threshold

圖5 BA-WS網絡采用不同個體警覺行為對流行病閾值的影響Fig.5 The influences of BA-WS network with different individual alert behaviors on epidemic threshold

圖6 WS-WS網絡采用不同個體警覺行為對流行病閾值的影響Fig.6 The influences of WS-WS network with different individual alert behaviors on epidemic threshold

可以看出：在3 種雙層網絡中，當采取個體警覺行為1 時，隨著有意識個體警覺性概率a的增大，流行病爆發閾值會降低；當采取個體警覺行為2 時，隨著有意識個體警覺性概率a的減小，流行病爆發閾值會降低。本文提出的兩種基于個體警覺行為的接觸策略均可通過提高流行病爆發閾值有效抑制流行病爆發。由于BA 為非均勻網絡，其傳播閾值遠小于WS 網絡［22］，因此當物理接觸層為BA 網絡時，其流行病傳播閾值較物理接觸層為WS 網絡更小。由圖4～圖6 還可以看出：當采取個體警覺行為1 時，若a減小則流行病傳播規模減小，流行病傳播閾值升高，而隨著a增大，個體警覺行為1 對流行病傳播規模的影響減小，流行病閾值降低；當采取個體行為2時，若a增大則流行病傳播規模減小，流行病傳播閾值升高，而隨著a減小，個體警覺行為2對流行病傳播規模的影響減小，流行病閾值降低。由上述分析可知，基于個體警覺行為的接觸策略能有效抑制流行病傳播。

3 結束語

考慮到流行病傳播時個體警覺性對其接觸行為的影響，本文提出一種基于個體警覺行為的雙層網絡傳播模型。分別建立下層物理接觸網絡和上層信息擴散網絡，設計警覺個體避免與非警覺個體接觸以及警覺個體避免與警覺個體接觸兩種接觸行為策略，并在3 種雙層網絡模型中研究上述行為策略對流行病傳播的影響。仿真結果表明，該模型中兩種基于個體警覺狀態的接觸行為策略能有效降低流行病傳播規模，提高流行病爆發閾值。后續將研究自適應雙層網絡模型，通過引入節點自適應斷邊重連策略，進一步探索信息擴散對流行病傳播的抑制作用。