基于無(wú)模型控制理論的機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)控制*

馬金平，李剛，宋振東*，何元一，孫乾城

（1. 深圳職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，廣東 深圳 518055；2. 沈陽(yáng)新松機(jī)器人自動(dòng)化股份有限公司 中央研究院，遼寧 沈陽(yáng) 110169）

工業(yè)串聯(lián)機(jī)械臂是目前工業(yè)生產(chǎn)中使用最為普遍的一種工業(yè)機(jī)器人[1]，其控制方法基本采用現(xiàn)代控制理．現(xiàn)代控制理論及其幾大分支，包括線性系統(tǒng)理論、自適應(yīng)控制理論、魯棒控制理論、最優(yōu)控制理論，全部是基于被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型發(fā)展起來(lái)的．然而在實(shí)際的生產(chǎn)中，若想建立精確的串聯(lián)機(jī)械臂的數(shù)學(xué)模型，是十分困難的，當(dāng)機(jī)構(gòu)產(chǎn)生變形或關(guān)節(jié)數(shù)量改變后，數(shù)學(xué)模型也會(huì)相應(yīng)發(fā)生改變，機(jī)械臂往往需要重新進(jìn)行調(diào)試，為機(jī)械臂的使用和精確控制帶來(lái)困難．無(wú)模型自適應(yīng)控制（MFAC）是一種不依賴被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型的控制算法，其完全利用測(cè)得的在線數(shù)據(jù)進(jìn)行控制，自1993年首次提出至今，已經(jīng)逐漸發(fā)展為一套十分系統(tǒng)的控制理論．其收斂性、魯棒性、穩(wěn)定性均已得到嚴(yán)格的證明[2,3]，已經(jīng)在單輸入單輸出、單輸入多輸出、多輸入多輸出系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用[4]．

本文針對(duì)傳統(tǒng) MFAC控制算法，分析了微分先行 PID算法的優(yōu)點(diǎn)，改進(jìn)了原始人造魚群算法，提出改進(jìn)的無(wú)模型控制算法，并進(jìn)行相應(yīng)仿真分析．

1 微分先行PID控制算法

目前工業(yè)上使用最多的控制方法仍然是 PID控制[5]．在PID控制算法中，主要通過(guò)系統(tǒng)輸入、輸出誤差的比例、積分、微分來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制．這是一種不基于受控系統(tǒng)精確數(shù)學(xué)模型的控制算法[6]．當(dāng)受控系統(tǒng)十分復(fù)雜或系統(tǒng)精確數(shù)學(xué)模型無(wú)法獲得時(shí)，PID控制便成為一種十分方便和有效的控制手段．PID控制原理圖如圖1所示．

圖1 PID控制原理圖

假設(shè)系統(tǒng)誤差e(t)可表示為：

其中，r(t)為系統(tǒng)輸入；y(t)為系統(tǒng)輸出．

由以上分析可知，在PID控制過(guò)程中，主要是通過(guò)調(diào)節(jié)控制器參數(shù)kp，ki，kd實(shí)現(xiàn)對(duì)被控系統(tǒng)的控制調(diào)節(jié)．然而，傳統(tǒng)PID控制中，微分環(huán)節(jié)雖然對(duì)系統(tǒng)具備較好的動(dòng)態(tài)性能改善作用，但由于其對(duì)干擾十分敏感，將會(huì)給系統(tǒng)的穩(wěn)定性帶來(lái)較大影響．若控制過(guò)程中，只對(duì)輸出量進(jìn)行微分，而不對(duì)給定值進(jìn)行微分，則被控量的波動(dòng)則相對(duì)變緩，系統(tǒng)震蕩明顯改善．這種對(duì)傳統(tǒng)PID算法的改進(jìn)方法，稱為微分先行PID算法[7]，如圖2所示．

圖2 微分先行PID算法

根據(jù)以上推導(dǎo)結(jié)果，對(duì)一具有延遲的被控對(duì)象進(jìn)行對(duì)比控制仿真，該對(duì)象可表達(dá)為：

令輸入信號(hào)為具有干擾的信號(hào)，其表達(dá)式為：

仿真對(duì)比分析得到的仿真結(jié)果如圖3，圖4所示．

圖3 傳統(tǒng)PID算法

圖4 微分先行PID算法

由仿真結(jié)果可知，微分先行PID算法具有更好的跟蹤特性，延遲更小，更接近目標(biāo)曲線．

2 人造魚群優(yōu)化算法的改進(jìn)

群智能優(yōu)化算法是一種不依賴被控對(duì)象數(shù)學(xué)表達(dá)式的全局優(yōu)化算法．其中，人造魚群優(yōu)化算法是群智能算法中性能較好的一種．該算法是模擬自然界魚類群居行為而提出的一種優(yōu)化算法．其中包括尋食、集合、跟隨、任意運(yùn)動(dòng)等四個(gè)基本搜索步驟．這種算法對(duì)局部最優(yōu)具有非常優(yōu)越的逃離特性，對(duì)優(yōu)化初始值及參數(shù)具有不敏感性，具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性[8]．在全局尋優(yōu)過(guò)程中，不依靠目標(biāo)函數(shù)的梯度，對(duì)函數(shù)解析表達(dá)式無(wú)要求，具有收斂速度快、效率高等特點(diǎn)．

在魚群算法中，魚群尋食是一種感知食物濃度后，自發(fā)向食物濃度高的地方前進(jìn)的現(xiàn)象．其數(shù)學(xué)表達(dá)為：設(shè)搜索域內(nèi)人造魚的起始方位為Xi，任意選取一個(gè)方位Xj．若YiδYi，則人造魚向圓心方位游動(dòng)一次，否則重復(fù)尋食步驟，如圖5（b）所示；魚群跟隨的數(shù)學(xué)表達(dá)為：設(shè)搜索域內(nèi)人造魚的起始方位為Xi．搜索域內(nèi)魚總數(shù)目為nf，Xj是食物濃度最大的人造魚所在的方位，此時(shí)最大食物濃度用Yj表示．若Yj/nf>δYi，則朝該方位游動(dòng)一次，否則重復(fù)尋食步驟，如圖5（c）所示．

圖5 人造魚自然動(dòng)作的數(shù)學(xué)表達(dá)

在原始的人造魚群算法中，任意動(dòng)作采用隨機(jī)前進(jìn)一步的方法，這種方法不具有目標(biāo)性，常常會(huì)降低收斂速度．因此本文提出以具有快速搜索局部最優(yōu)解的虎克（HOOKE）搜索法取代隨機(jī)搜索．從而提高當(dāng)代迭代的目標(biāo)性，提高收斂速度．為了檢測(cè)本問(wèn)題提出的改進(jìn)方法的有效性，本文選取4個(gè)算法性能測(cè)試函數(shù)，進(jìn)行性能測(cè)試，測(cè)試函數(shù)圖像如圖6所示．

圖6 性能測(cè)試函數(shù)

分別用2種算法進(jìn)行全局尋優(yōu)，種群數(shù)量45，迭代代數(shù)99，測(cè)試共進(jìn)行35，當(dāng)?shù)玫降慕馀c理論最優(yōu)解之間的相對(duì)誤差不大于0.002時(shí)，停止迭代，測(cè)試結(jié)果見(jiàn)表1．

表1 測(cè)試結(jié)果

由測(cè)試仿真結(jié)果可知，本文提出的算法在迭代時(shí)收斂速度更快，尋優(yōu)成功率明顯高于原始算法．

3 無(wú)模型控制算法的改進(jìn)

無(wú)模型控制是一種不基于被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型的控制方法．相比現(xiàn)代控制理論，對(duì)于無(wú)法獲得精確數(shù)學(xué)模型的控制對(duì)象具有更好的控制效果．

以單輸入單輸出的非線性離散時(shí)間系統(tǒng)為例，系統(tǒng)可以由式（10）表示：

式中，y(k),u(k)為k時(shí)刻系統(tǒng)的輸入和輸出；ny,nu為系統(tǒng)的未知階數(shù)；f(…)為未知的非線性函數(shù)．

單輸入單輸出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)線性模型和控制輸入準(zhǔn)則函數(shù)可由式（11）表示：

這里假設(shè)Δu(k)≠0，一定存在一個(gè)變量φ(k)，使得Δy(k+1)=φ(k)Δu(k)，且，稱φ(k)為系統(tǒng)的偽偏導(dǎo)數(shù)：

由式（11）及式（12）可得：

由于φ(k)是偽偏導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上是未知的，因此MFAC中采用其在線估計(jì)值φ?(k)代替，由此可得系統(tǒng)控制算法表達(dá)式：

將式（11）及式（15）聯(lián)立，即可得到為偏導(dǎo)數(shù)的估計(jì)算法公式：

由以上推導(dǎo)可得：

由于 PID控制在工業(yè)應(yīng)用中具有廣泛的使用性，因此將這種PID控制技術(shù)與無(wú)模型控制有機(jī)融合．對(duì)于微分先行PID控制器，在式（17）推導(dǎo)出的控制算法中，選取代價(jià)函數(shù)如下式：

在當(dāng)前系統(tǒng)回路中，計(jì)算此時(shí)所有可選控制器的代價(jià)函數(shù)值，通過(guò)比較數(shù)值大小，自主識(shí)別最佳控制器．將最佳控制器替換當(dāng)前系統(tǒng)回路中的控制器，并記錄最佳控制器中的PID參數(shù)．然而在傳統(tǒng)無(wú)模型控制算法那中，PID參數(shù)整定代價(jià)函數(shù)的最優(yōu)值是將所有代價(jià)函數(shù)計(jì)算出來(lái)進(jìn)行比較而得，這種算法將浪費(fèi)大量時(shí)間、占用大量系統(tǒng)資源．為了改善這一缺點(diǎn)，本文利用改進(jìn)人工魚群算法對(duì)代價(jià)函數(shù)進(jìn)行智能全局尋優(yōu)，將顯著提高系統(tǒng)效率．這里本文規(guī)定一個(gè)定義：對(duì)于已知的輸入輸出信號(hào)(ui,yi)以及任意一個(gè)控制器ki，如果存在ri，使得系統(tǒng)可以給出與輸入輸出信號(hào)(ui,yi)相同的數(shù)據(jù)，則本文稱ri為虛擬輸入信號(hào)．虛擬輸入信號(hào)可用式（19）表達(dá)：

對(duì)于PID控制器：

改進(jìn)后的無(wú)模型控制算法步驟如下：

（1）初始化．

①設(shè)定備選 PID控制器參數(shù)范圍：Kp,Ki,Kd；

②設(shè)定改進(jìn)魚群算法參數(shù)；

③設(shè)定采樣時(shí)間Δt，t=nΔt；

④仿真時(shí)間tf，計(jì)算總步數(shù)q=tf/Δt；

⑤當(dāng)前控制器為k，代價(jià)函數(shù)V=(ki,Z,nΔt)．

（2）u(nΔt),y(nΔt)記為系統(tǒng)中任意時(shí)刻的輸出信號(hào)及輸出信號(hào)．

（3）利用本文提出的優(yōu)化算法計(jì)算初始控制器的虛擬輸入信號(hào)ri(nΔt)．計(jì)算所有控制器虛擬輸入信號(hào)的代價(jià)函數(shù)V= (ki,Z,nΔt)，采用改進(jìn)人造魚群優(yōu)化算法尋找能使代價(jià)函數(shù)得到最小值的然后在全域中搜索能夠使代價(jià)函數(shù)獲取最小值的Kp,Ki,Kd．

（4）替換當(dāng)前控制器，記k=kl．

（5）令n=n+1．

（6）若n≥q，停止；否則從第二部繼續(xù)執(zhí)行．

4 仿真分析

在數(shù)值計(jì)算軟件中完成數(shù)值仿真．其中，被控對(duì)象為具有二自由度的工業(yè)型機(jī)械臂，其系統(tǒng)表達(dá)式、采樣時(shí)間、仿真時(shí)間、輸入信號(hào)分別為：

對(duì)于原始無(wú)模型控制算法，控制跟蹤誤差曲線如圖7（a）所示；對(duì)于本文提出的改進(jìn)無(wú)模型控制算法，跟蹤誤差曲線如圖7（b）所示．

圖7 仿真結(jié)果

從圖7的仿真結(jié)果中可以看出，傳統(tǒng)無(wú)模型控制算法具有較好控制效果，理想曲線與實(shí)際跟隨曲線誤差較小，但仍存在可見(jiàn)誤差．本文將微分先行PID算法、人工魚群算法、無(wú)模型控制算法三者結(jié)合，自適應(yīng)的全局尋優(yōu)PID控制參數(shù)，在相同情況下進(jìn)行仿真，得到如圖7（b）所示的跟蹤誤差曲線．對(duì)比圖7（a）及圖7（b）可以發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)后的無(wú)模型控制算法在控制的精度上有明顯提高，控制更加穩(wěn)定，魯棒性更好．