鋼-混凝土組合梁負彎矩區裂縫寬度數值計算模型

宋愛明, 李志聰, 徐洪濤, 萬 水, 周 鵬

(1.東南大學 交通學院, 南京 211189；2.河北省交通規劃設計院, 石家莊 050011；3.河北科技大學 建筑工程學院, 石家莊 050011)

橋梁結構中混凝土板裂縫的發展不但影響結構美觀，而且會造成開裂截面附近的鋼筋銹蝕，從而直接影響到結構的正常使用和耐久性能. 自鋼筋混凝土結構問世100多年來，國內外學者針對其裂縫寬度的研究較多，對于裂縫發展的諸多影響因素已有統一的看法，但將所有因素統一概括到一個計算模式中難以實現[1-2]. 對于鋼-混凝土連續組合梁的負彎矩區，同樣存在著這樣的問題. 現有的設計規范均按照鋼筋混凝土結構的設計方法來驗算和控制負彎矩區混凝土板的裂縫寬度. 但由于在鋼梁與混凝土板交界面存在抗剪連接件以及界面粘結作用，混凝土板受到鋼梁軸向和彎曲剛度的約束，開裂機理與鋼筋混凝土構件有所區別，這樣的計算方法往往會造成一定的誤差.

目前，各國規范對允許開裂的鋼筋混凝土構件在使用荷載下的裂縫寬度提出了多種計算方法，如依據滑移理論的歐洲模式規范CEB-FIP 2010[3]，依據無滑移理論的美國規范ACI318-11[4]，以及依據綜合理論的中國《混凝土結構設計規范》[5]. 其中，黏結-滑移理論的應用最為廣泛. 然而，由黏結-滑移理論很難得到裂縫寬度的解析解. 此時，采用數值計算方法進行裂縫寬度的計算將是一種行之有效的途徑. 此外，近幾十年來國內外學者對組合梁負彎矩區力學性能進行了大量的試驗研究[6-7]、理論解析[8-9]和數值模擬[10-11]，迄今計算和分析方法已趨于成熟，且能夠較好地為設計服務[12]，但針對組合梁負彎矩區裂縫寬度進行較為精確地數值分析方面鮮有文獻報道. 裂縫寬度作為組合梁負彎矩區一項重要的力學性能評價指標，有必要針對其計算方法展開研究.

鑒于此，本文結合合理的本構關系并綜合考慮多項影響因素，建立了基于黏結-滑移理論的組合梁負彎矩區裂縫寬度數值計算模型，通過相關文獻數據驗證了模型的準確性，并與國內外規范公式計算結果進行了對比分析，以期尋求具有一定可靠性的計算模式為鋼-混凝土組合結構橋梁的設計提供參考.

1 模型本構關系

1.1 材料本構模型

當荷載等級進入裂縫穩定階段時，裂縫間距將保持不變，結構仍處于正常使用狀態下，此時受拉鋼筋未達到屈服荷載，因此可以假設組合梁負彎矩區兩條裂縫間的材料處于線彈性受力階段[1]. 那么可以給出受拉鋼材和混凝土的應力-應變關系為

(1)

式中：σct、σs分別為混凝土和鋼材的應力，εct、εs分別為混凝土和鋼材的應變，Ec、Es分別為混凝土和鋼材的彈性模量.

1.2 鋼筋與混凝土間的黏結-滑移本構關系

鋼筋與混凝土之間粘結滑移關系十分復雜，其對結構開裂后的使用性能起著至關重要的作用，本文采用CEB-FIP 2010[3]給出的黏結-滑移模型，如圖1所示，具體形式為

(2)

圖1 靜載作用下鋼筋與混凝土間的黏結-滑移關系

1.3 鋼梁與混凝土板間的界面剪力-滑移關系

當鋼梁與混凝土板界面剪力與相對滑移成正比，且抗剪連接件所承受的界面剪力沿梁長度方向連續分布時，則有

(3)

式中：υ為鋼梁與混凝土板界面單位長度剪力；ss為界面相對滑移；p為栓釘縱向間距；K為界面抗滑移剛度，K=nsKs，其中ns為每排栓釘個數，Ks為單個栓釘抗剪剛度.

研究表明，對于集中或均布荷載作用下的組合梁負彎矩區的滑移大小及分布規律基本一致，因此本文采用集中荷載下的滑移和滑移應變來作為代表工況. 對于跨中單點加載，界面滑移表達式[13]可表示為

(4)

目前，國內外相關標準及研究文獻所采用的方法得到的栓釘連接件抗剪剛度差異較大. 當滑移值小于0.2 mm時，荷載-滑移曲線近似呈線性，對應的剪力均值約為0.45倍的栓釘抗剪承載力，基本位于近似線性與非線性分界處[14]. 本文采用文獻[15]的方法，即定義滑移量為0.2 mm時的割線模量為栓釘的抗剪剛度，計算式為

(5)

式中ds為栓釘直徑.

2 數值計算模型的建立

鋼筋混凝土梁的裂縫寬度取決于多種因素，其中鋼筋和混凝土之間的粘結質量以及粘結作用的有效區域影響最為顯著[16]. 對于鋼-混凝土組合梁，鋼梁與混凝土板間的界面剪力和滑移是負彎矩區開裂截面分析的重要因素[17]，而現階段負彎矩區裂縫寬度的計算模型往往采用鋼筋混凝土結構中的方法. 本文將結合上節給出的本構關系，并綜合考慮上述因素建立組合梁負彎矩區裂縫寬度的數值分析模型.

2.1 裂縫截面處鋼筋應力

鋼梁與混凝土板間的界面滑移效應對連續組合梁負彎矩區力學性能影響較大，但在裂縫截面處的鋼筋應力分析中往往直接采用材料力學方法來計算受拉鋼筋應力[18]，即

(6)

式中：M為開裂截面處的彎矩；Icr為開裂位置的截面慣性矩，即鋼梁和鋼筋所形成的組合截面慣性矩；y0r為鋼筋形心至組合截面中性軸的距離.

當考慮組合梁界面滑移效應時，本文根據文獻[18]中的計算方法，計算裂縫截面處鋼筋應力計算公式為

(7)

(8)

(9)

式中：εr0為完全組合截面的鋼筋應變，εs為滑移應變.

2.2 裂縫間距計算

在近些年的國內外試驗研究中發現，混凝土板內橫向鋼筋的間距對組合梁負彎矩區的裂縫間距影響較大[16,19]，文獻[12]認為橫向鋼筋的間距和組合梁綜合力比是影響負彎矩區裂縫間距的最主要因素，并給出了經試驗驗證的計算模型，表達式為

(10)

式中：la為橫向鋼筋間距；Rp為綜合力比，Rp=Arfry/Asfsy，其中fry、fsy分別為鋼筋和鋼梁的屈服強度. 本文根據該模型進行分析.

2.3 結構的單元劃分及平衡關系

組合梁負彎矩區混凝土板裂縫寬度數值模型的建立基于裂縫的穩定階段，即裂縫間距不再變化[16]. 此外，由于裂縫出現的隨機性與復雜性，在理論分析前有必要對所求解問題進行適當的簡化. 因此，作如下假定：1) 混凝土板主裂縫發生在負彎矩最大位置處，即跨中截面；2) 混凝土板裂縫具有線性三角輪廓.

將一個母單元定義為兩條相鄰裂縫之間的部分，長度為平均裂縫間距lcr，可將半跨組合梁劃分為k個母單元，基于有限差分法將任意母單元lcr, j離散為m+1個節點，即等分為m個子單元Δx，結構的單元劃分如圖2所示. 根據鋼筋混凝土結構裂縫寬度的數值計算方法[20]，當混凝土板子單元的劃分長度足夠精細時，可按照圖3所示微分段dx的受力情況進行分析，其中鋼筋與混凝土間的黏結-滑移關系、鋼梁與混凝土板間的界面剪力-滑移關系以及單元邊界條件均在圖中示出，則根據力的平衡條件得到如下關系式:

Audσu=?πτududx，

(11)

Abdσb=?πτbdbdx，

(12)

Aeffdσc=?nuAudσu?nbAbdσb-υdx.

(13)

式中：dσu、dσb分別為混凝土板內上、下層鋼筋的應力增量，τu、τb分別為上、下層鋼筋黏結應力，Au、Ab分別為上、下層鋼筋的面積，du、db分別為上、下層鋼筋直徑，nu、nb分別為上、下層鋼筋數量，dσc為受拉區混凝土應力增量，Aeff為有效受拉區混凝土面積，dx為混凝土板子單元長度，?或±取決于圖3所示的子單元位置.

圖2 結構單元劃分

由式(11)和式(12)可得到上、下層鋼筋的應力分配系數ξ為

(14)

當裂縫位置處上、下層鋼筋的滑移量分別為su和sb時，根據混凝土板裂縫具有線性三角輪廓的假設，有

(15)

式中hu、hb分別為上、下層鋼筋上表面至鋼梁與混凝土界面的距離.

結合式(2)和式(15)，可得到應力分配系數的新形式為

(16)

因此，受拉混凝土的應力增量可表示為

(17)

(a) 母單元左半跨 (b) 母單元右半跨

2.4 裂縫寬度計算模型

2.4.1 子單元迭代方程

在混凝土板產生裂縫后，縱向鋼筋和混凝土之間存在著應變差，從而產生相對滑移ds(x)/dx，可表示為

εs(x)-εc(x)+εsh.

(18)

式中：us(x)、uc(x)分別為縱向鋼筋與受拉混凝土的變形，εs(x)、εc(x)分別為縱向鋼筋與受拉混凝土的應變，εsh為混凝土收縮應變.

當裂縫之間受拉鋼筋和混凝土均處于彈性階段，且子單元長度Δx內的黏結應力均勻分布時，對于第j個母單元，可基于有限差分法通過i截面的應力、滑移條件得到i+1截面上的應力、滑移值[21]，即存在如下等式:

(19)

(20)

εsh)Δx.

(21)

2.4.2 裂縫寬度計算

根據黏結-滑移理論，混凝土板裂縫的開展寬度等于該裂縫左右兩側鋼筋與混凝土的相對滑移量之和，則負彎矩作用下組合梁混凝土板的裂縫寬度可表示為

(22)

以第j個母單元x=(j-1)lcr端的邊界條件作為初始迭代條件，可表示為

(23)

以x=jlcr端的邊界條件作為迭代收斂控制條件，即

(24)

此外，將母單元中鋼筋與混凝土相對滑移為0時作為迭代過程中母單元左右兩跨的過渡條件，即

(25)

迭代過程及裂縫寬度計算流程如圖4所示. 通過給出開裂截面的初始滑移值ssu,0并不斷調試，即可預測在一定載荷水平下，組合梁負彎矩的裂縫寬度. 具體步驟如下：

1) 輸入基本信息和數據. 根據式(10)計算平均裂縫間距lcr，選取半跨結構根據裂縫間距劃分k個母單元和m個子單元；以第j個母單元為研究對象，根據式(7)計算開裂截面處鋼筋應力σs,0，并按照式(23)取開裂截面處混凝土應力σc,0=0.

2) 初設開裂截面位置即第i=0號節點處鋼筋和混凝土之間的滑移值ssu,0. 根據式(2)計算第i+1號子單元上鋼筋與混凝土之間的黏結應力τsu,i；根據式(3)計算第i+1號子單元上鋼梁與混凝土板界面的單位長度剪力υi.

3) 分別根據式(19)～(21)計算i+1號節點處的鋼筋應力σsu,i+1、混凝土應力σcu,i+1以及鋼筋和混凝土之間的滑移值ssu,i+1.

4) 設置i=i+1，并重復步驟3，直到i=m時停止初設滑移值ssu,0的第t=1次迭代運算. 根據控制條件式(24)，如果得到的混凝土應力σc,m=0或者在容許誤差范圍內，則直接根據式(22)給出裂縫寬度計算值；如果σc,m≠0或者超過容許誤差，則根據圖4中的修正方法來修正初始滑移值ssu,0，并繼續第t=t+1次迭代運算，即重復步驟2～4，直到得出合適值.

圖4 裂縫寬度迭代計算流程圖

3 計算模型試驗驗證

為驗證本文數值模型的準確性，選取文獻[8]中試驗梁SCB1-1的靜載測試數據進行對比分析，并通過MATLAB軟件對圖4所示的裂縫寬度迭代計算流程進行編程實現. 采用本文模型得到的最大裂縫寬度與試驗值對比情況如圖5所示. 由圖5可知，隨著荷載等級的增加，裂縫寬度不斷增長，并且在達到試驗梁屈服荷載(70%Fu，即700 kN)之前，本文模型得到的裂縫寬度與試驗結果吻合較好. 此外，圖5給出了不考慮鋼梁與混凝土板之間界面滑移效應時的模型計算值，可以看出此時計算得到的最大裂縫寬度將比考慮界面滑移效應時增大10%左右，且該比例隨荷載等級的提高而有所增長，因此在組合梁負彎矩區的實際設計中，對裂縫寬度進行驗算時不應忽略界面滑移效應的影響.

圖5 裂縫寬度計算值與試驗值對比

4 規范公式計算結果對比

目前國內外鋼-混凝土組合梁橋的相關規范均建議采用軸心受拉構件對連續梁中支點處的混凝土裂縫寬度進行驗算. 為進一步驗證本文數值計算模型的正確性及國內外設計規范所建議公式的適用性，本文將模型計算值及相關文獻試驗數據與各規范中最大裂縫寬度計算公式所得結果進行了對比，包括美國公路橋梁設計規范AASHTO-LRFD[22]、歐洲混凝土結構模式規范CEB-FIP-2010[3]、歐洲鋼和混凝土復合結構設計規范EN 1994-1-1[23]、日本鋼結構和復合結構設計規范JSCE[24]、中國公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規范JTG 3362—2018[25]以及中國混凝土結構設計規范GB 50010—2010 (2010)[5].

本文采用文獻[8]中試驗梁SCB1-1及文獻[26]中試驗梁SCB1、SCB3的構造參數及裂縫寬度實測數據進行分析，將通過不同方法得到的組合梁負彎矩區最大裂縫寬度計算結果列于表1，各模型計算結果與實測值對比情況列于表2，并將統計分析結果列于表3. 由表中數據分析可知，按照各國行業標準中的軸心受拉構件計算方法得到的結果與試驗數據存在的偏差較大. 采用本文數值計算模型所得結果與實測值吻合度較高，離散系數極小，可為設計過程中組合梁負彎矩區裂縫寬度的驗算提供參考.

表1 采用不同方法得到的裂縫寬度計算結果

表2 縫寬度計算結果與實測值對比

表3 裂縫寬度計算結果統計分析

5 結 論

1)綜合考慮鋼筋和混凝土間的黏結應力-滑移關系、鋼梁與混凝土界面的滑移效應、混凝土收縮應變以及拉伸硬化效應等因素，基于黏結-滑移理論建立了靜力荷載作用下鋼-混凝土組合梁負彎矩區裂縫寬度數值計算模型.

2)采用MATLAB軟件編程實現裂縫寬度的迭代計算，通過與相關文獻數據進行對比分析可知，在組合梁達到屈服荷載前，本文模型得到的結果能夠較好地模擬裂縫寬度的發展過程，與試驗結果吻合較好；不考慮鋼梁與混凝土板間界面滑移效應時計算得到的裂縫寬度比考慮界面滑移效應時增大10%左右.

3)通過與各國規范中按照軸心受拉構件計算方法得到的結果進行對比分析可知，按照規范推薦公式得到的結果與試驗值偏差較大，采用本文數值計算模型所得結果與實測值吻合度較高，離散系數極小，進一步驗證了模型的準確性和適用性.