線性系統的根軌跡分析平臺設計

德州學院能源與機械學院 孫秀云

根軌跡作為一種經典的分析方法，經常被用來進行線性系統分析。但是對于復雜系統手繪根軌跡非常困難，針對這個問題，本文利用MATLAB中的GUI設計了根軌跡仿真分析平臺。線性系統的傳遞函數可以表示為，一般多項式形式、乘積多項式形式和零、極點三種形式，本文所設計的仿真分析平臺可以繪出三種傳遞函數表示的系統根軌跡，還可以零極點改變對系統根軌跡的影響。該仿真平臺很大程度上減少了線性系統根軌跡分析的工作量，也使根軌跡的分析結果變得更加直觀。

線性系統的閉環特征根決定系統性能，當系統參數發生變化時，閉環特征根也會生成相應的根軌跡，所以根軌跡與系統性能之間也有著比較密切的聯系。根軌跡是經典控制理論中，分析和設計線性定常系統最常用的圖解方法，特別在進行多回路高階系統的分析時，應用根軌跡法比用其他方法更加方便，因此，根軌跡在工程實踐中獲得了廣泛的應用。

對于低階的系統，我們可以利用解析的方法直接求出閉環特征根隨系統參數變化的曲線，但是對于高階系統，我們很難手繪出其根軌跡，尤其是在課堂上講解時，更是不可能短時間繪出一個復雜系統的根軌跡。為了便于在課堂上快速繪制出系統根軌跡，便于講解根軌跡對系統性能的影響，本文設計了線性系統根軌跡仿真分析平臺。

1 系統設計

本文所設計的根軌跡仿真分析平臺，根據設定的線性系統模型，可以快速地繪制出該系統的根軌跡曲線。這樣學生在課堂上就可以方便地根據根軌跡曲線分析系統的性能，從而對系統進行設計。

線性系統的傳遞函數模型有多種表達形式，一般包括：分子和分母為s一般多項式形式、分子和分母為s乘積多項式形式和零、極點形式這三種。該仿真平臺對于每一種形式都可以任意設定系統參數，從而確定出不同系統的傳遞函數模型，而且對于傳遞函數的每一種形式均可以快速地繪制出根軌跡。這就在很大程度上減少了線性系統根軌跡分析的工作量，也使課堂上根軌跡的分析變的更加直觀。本仿真平臺總體主界面如圖1所示。

1.1 一般多項式傳遞函數描述的系統根軌跡

對于分子分母為s一般多項式的傳遞函數，按照分子分母多項式的形式進行程序的編程和根軌跡的繪制。在界面中設置四個可編輯文本框，程序加在所放置的繪圖按鈕的回調函數callback下，且必須在句柄后輸入根軌跡所顯示的軸位置即axes。首先在該子界面的可編輯文本框中輸入所要繪制的開環傳遞函數的分子分母的系數，輸入后在可選擇按鈕中選擇所需繪制根軌跡圖形樣式，操作完成就會在右邊軸中顯示出所要求的根軌跡圖形。隨著光標移動可以顯示出所指該點的開環增益、閉環極點、最大超調量和自然振蕩角頻率。

圖1 根軌跡仿真平臺主界面

圖2 一般多項式形式繪制根軌跡界面

輸入傳遞函數參數，程序運行后的效果圖2所示。圖中根軌跡上黑點處的開環增益為54，閉環極點是-0.0674+2.971i，最大超調量為107，自然振蕩角頻率為2.97rad/s。因此，可以得出系統穩定時開環增益Kg<53。

繪制根軌跡按鈕的回調函數編寫如下：

圖3 零、極點形式繪制根軌跡界面

圖4 乘積多項式形式繪制根軌跡界面

1.2 零極點描述的系統根軌跡分析

零極點形式傳遞函數描述的系統可以根據繪制根軌跡規則手繪出近似根軌跡曲線，但是不能繪制出精確根軌跡，尤其是對于高階系統很難手繪出其精確根軌跡曲線。本文設計了根據零極點形式快速繪出根軌跡的仿真程序，實現程序和一般多項式形式類似，程序界面如圖3所示。運行該程序時，只要輸入系統的零極點，仿真程序就會快速繪制出根軌跡曲線，運行效果如圖3所示。

1.3 乘積多項式傳遞函數描述的系統根軌跡

傳遞函數的分子和分母均為多項式乘積表達式時，且多項式不是零極點形式，這樣的傳遞函數稱為乘積多項式的傳遞函數。這種表達形式和零極點繪制方法有所不同，所以本文又設計了按照乘積多項式形式繪制根軌跡曲線的仿真程序，實現方法也是和一般多項式設計方法一樣，最終仿真界面如圖4所示。輸入傳遞函數參數，運行結果如圖4所示，從圖4中可以看出該系統的根軌跡為一個圓。

2 零極點變化對系統根軌跡的影響

在經典控制理論中，控制系統設計的重要評價取決于系統的單位階躍響應，由階躍響應可以很容易地求出系統的各項性能指標。但是，在系統初步設計過程中，重要的方面往往不是如何求出系統的階躍響應，而是如何根據已知的閉環零極點去定性地分析系統的性能。根據根軌跡就可以得到系統的閉環極點，那么當系統開環零極點變化的時候，閉環系統零極點如何變化，對系統性能分析有著重要作用。利用該仿真系統，可以很容易分析開環系統的零極點對根軌跡的影響。

2.1 增加開環零點對根軌跡的影響

如果給定的原線性控制系統函數為G(s)=k/s(s^2+4s+5)，用我們設計的圖形用戶界面進行MATLAB仿真，繪制該線性系統的根軌跡。過程如圖5所示。

（1）打開GUI設計的主界面，根據傳遞函數形式選擇“乘積多項式形式”按鈕，單擊進入“乘積多項式形式”子界面。

（2）按照所給定的傳遞函數參數，在子界面可編輯文本框中填入數據。

（3）選擇所要繪制根軌跡圖形樣式，單擊“根軌跡繪圖”按鈕。

（4）在s平面中畫阻尼比0.707線和振蕩角頻率為1.5rad/s的圓的根軌跡圖。選擇根軌跡2后，總體運行界面如圖5所示。

如果在原線性控制系統上增加一個開環零點后的線性控制系統函數為G(s)=k(s+1)/s(s^2+4s+5)，用圖形用戶界面進行MATLAB仿真，在s平面中畫阻尼比0.707線和振蕩角頻率為1.5rad/s的圓的根軌跡圖。選擇根軌跡2后，總體運行界面如圖6所示。

通過原線性控制系統與增加零點后的系統根軌跡圖形的仿真結果可以看出：

圖5 原線性控制系統函數根軌跡

圖6 增加零點后的控制系統根軌跡

圖7 增加零點后的系統根軌跡

增加開環零點后，在實軸上的根軌跡的分布發生變化。

在增加開環零點后，根軌跡漸近線的條數發生變化。

增加開環零點后，若系統的某個開環極點和增加的開環零點重合或者相近，那么它們就構成了一對開環偶極子，可以相互抵消。于是，可以給系統添加一個零點以抵消損失系統性能的極點。

在開環零點增加以后，系統根軌跡圖將向左移動，這對于系統的動態性能來說很有利。并且系統所加的零點離虛軸越近，它對整個系統的影響就越大。

2.2 增加開環極點對根軌跡的影響

如果在原線性控制系統上增加一個開環極點后的線性控制系統函數為G(s)=k/s(s-1)(s^2+4s+5)，用圖形用戶界面進行MATLAB仿真，在s平面中畫阻尼比0.707線和振蕩角頻率為1.5rad/s的圓的根軌跡圖。選擇根軌跡2后，總體運行結果如圖7所示。

通過原線性控制系統與增加極點后的線性控制系統根軌跡圖形的仿真結果比較可以得出：

（1）增加開環極點后，在實軸上的根軌跡的分布發生變化。

（2）增加開環極點的數量會改變系統根軌跡的漸近線。增加開環極點將改變根軌跡的分支數。

（3）在開環極點增加以后，系統根軌跡圖將向右挪動，這對于系統的動態性能來說是不利的。因此，系統所加的極點離虛軸越近，它對整個系統的影響就越大。

總結：本文主要應用MATLAB的GUI設計了根軌跡仿真平臺，該平臺可以讓用戶在實際操作中更直觀，更高效地繪制出系統的根軌跡。在主界面中設置3個按鈕，分別是一般多項式形式、乘積多項式形式和零、極點形式三種按鈕，運用MATLAB中的函數對每一個主界面按鈕進行函數編程，這樣在運行時點擊相關按鈕就可以跳轉至對應的子界面；然后再分別在每個子界面中根據所需要的內容進行界面設計和相應的程序編輯。該仿真平臺人機交互界面簡潔，操作方便，使根軌跡繪制不再那么復雜繁瑣，便于對線性控制系統的性能分析研究，也會大大提高課堂效率。