撓性航天器多目標魯棒姿態控制的DPSO算法實現

王夢菲，張軍,*

1. 北京控制工程研究所, 北京 100190 2. 空間智能控制技術國家級重點實驗室，北京 100190

由于未建模動態和建模的不確定性，標稱模型下設計的控制器在實際中性能會出現偏差。在軌時航天器常受到內外干擾作用，特別是帶有大型撓性子結構的現代航天器，其撓性結構易受干擾激發產生振動，嚴重影響姿態指向精度和穩定度，甚至導致航天器失穩，如美國的Explore I[1]。因此，大型撓性航天器高精度、高穩定度姿態控制是一個熱點問題也是控制界的難題。

文獻[2-4]研究了經典PID控制方法在撓性航天器姿態控制中的應用；當模型存在不確定性、未建模模態發生振動以及耦合振動發生變化時，其控制性能下降，且PID控制對外部干擾的魯棒性也有待加強。文獻[5]針對結構振動，基于狀態反饋設計了時間最優的LQR控制器，但不適合高頻范圍內未建模模態的振動抑制，且不能滿足模型不確定性時的魯棒控制。文獻[6]改進了自適應滑模控制方法，最大限度地減少了不確定性、擾動和柔性動態坐標測量等帶來的困難，并在一定程度上改善了滑模控制固有的抖振現象。文獻[7]證明了基于姿態角和角速度的反饋對于大范圍攝動的穩定性，并針對含參數不確定性和未建模動態的姿態控制系統，設計了基于線性矩陣不等式(linear matrix inequality, LMI)的魯棒H∞控制器。文獻[8]針對撓性航天器姿態機動問題，以姿態達到目標角度且保持穩定的時間為適應度值，將粒子群優化(particle swarm optimization, PSO)算法與黃金分割控制等結合，設計了一種離線控制器；相對于常規的控制方法，該方法的優點在于：可根據系統實際動力學特性和控制要求選擇最優機動路徑，實現姿態快速機動和穩定。文獻[9-11]將神經網絡、模糊控制理論應用于姿態控制系統設計；但模糊控制效果往往依賴于操作者經驗；為提高可靠性，神經網絡一般需在線學習，受星載計算機限制。

上述撓性航天器姿態控制方法大多是針對單一控制目標而設計的，但在工程實際中，控制系統的設計需考慮魯棒性、快速性、精度和執行機構輸出飽和等多目標要求，這就屬于典型的多目標設計問題，關于此類問題的研究較少。

針對上述多目標魯棒控制問題，本文在自適應PSO算法中加入變異操作，提出一種差分粒子群優化(differential particle swarm optimization, DPSO)算法，以提高粒子的多樣性和搜索性能；同時將該算法與魯棒D-穩定極點約束以及Pareto最優結合，涉及的數學公式較少，設計靈活。相比于傳統帶極點配置的LMI方法，本文方法不受特定指標和約束模式的限制，可避免凸優化過程，并減小求解的保守性[12]。相對于文獻[13-14]提到的借助特征結構配置的參數化方法，本文優化過程無需將多目標轉化為一個加權目標函數，可避免加權系數的選擇困難，特別是多目標存在矛盾關系的情況；而且文獻中方法需將指標轉化為特定的參數化形式，對參數攝動敏感度的優化無法保證系統魯棒穩定。本文方法適用的指標形式更廣，能實現所允許的參數不確定范圍內的魯棒D-穩定；可為大型撓性航天器魯棒控制器設計提供一種思路。

1 撓性航天器動力學模型

帶有一對太陽翼的航天器姿態動力學方程可表示為[15]：

(1)

本文僅考慮航天器姿態定向保持和姿態鎮定情況，假設姿態為小角度，此時姿態運動學為

(2)

Tg=Agθ

(3)

(4)

(5)

考慮模型不確定性，矩陣A、B可表示為[16]：

式中：下標0表示為標稱系統下的矩陣；D、F1和F2為適當維數的常矩陣；Δ為未知矩陣且滿足ΔTΔ≤I。忽略二階不確定項并只考慮轉動慣量的不確定性可得：

(6)

式中：d∈[0,1)，當d=0時系統不存在不確定性；

diag[4(J22+J33),3(J11+J33),J11+J22]

當不考慮撓性模態時，e12、e13、e21、e31均為零矩陣。

證明：首先推導矩陣相加求逆結果，如對于矩陣M有(M+ΔM)-1=Μ-1+N，其中ΔM為不確定項，N為待求解的矩陣。將等式兩邊分別左乘M+ΔM得：

于是

(M+ΔM)-1=Μ-1-(MΔM-1Μ+Μ)-1

同理可推導：

保留ΔM的一次項，近似可得

(M+ΔM)-1=Μ-1-M-1ΔMM-1

那么忽略二階不確定項，考慮轉動慣量的不確定性有：

記

(7)

同理可得：

(8)

(9)

由式(7)～(9)可得式(6)。得證。

2 魯棒控制器智能優化設計

2.1 智能優化算法介紹

(1)PSO算法

PSO算法是一種受鳥群覓食啟發的隨機搜索算法[17]，具有結構簡單、參數少和搜索速度快等優點，已廣泛應用到自然科學和工程科學多個領域。該算法中速度和位置更新如下。

式中：k(k=1,2,…,G)為當前迭代次數，G為最大迭代次數；vi和xi分別為第i個粒子的速度和位置向量，取值區間分別為[vmin,vmax]和[xmin,xmax]，i∈{1,…,N}，N為群體個體總數；pi和g分別為個體及全局極值，pbest(i)、gbest為對應的適應度值；c1、c2為加速常數即學習率；r1、r2為[0，1]范圍隨機數；w(k)=wmax-k(wmax-wmin)/G為慣性權重，取值區間為[wmin,wmax]。

(2)差分進化(differential evolution, DE)算法

DE算法是一種魯棒性較強的隨機搜索算法，其基本思想來源于遺傳算法，這里選取差分進化算法DE/rand/1/bin策略，種群參數定義同上述PSO算法，關鍵步驟如下[18-19]。

1)變異,計算變異向量:

υi(k+1)=xl1(k)+F(k)·[xl2(k)-xl3(k)]

2)交叉，計算試驗變量：

式中：交叉算子CR=0.3×[1+rand(0,1)]；randb(j)表示產生[0,1]之間隨機數發生器的第j個估計值；rnbr(i)∈(1,2,…,D)表示一個隨機選擇的序列，以確保ui至少從υi中獲得一個參數。

3)選擇，DE算法按照貪婪準則將試驗向量ui(k+1)與當前種群中的目標向量xi(k)進行比較，較優的向量將在下一代種群中出現。

(3)DPSO算法

DPSO算法在PSO算法的基礎上加入DE算法的變異操作，在保證粒子群朝著好的方向發展的同時增加了粒子的多樣性，提高粒子的全局搜索能力，有效避免了早熟至局部最優解的情況[20]。算法流程和部分參數定義同PSO算法，其速度和位置更新如下。

(10)

F(k)定義同DE算法，r3為[0，1]范圍內的隨機數，xU(k)和xL(k)為當代粒子中的較優和較劣解，以保證粒子向有益的方向發展。

2.2 多目標約束描述

由于撓性模態難以觀測或直接測量，本節參考文獻[7]，采用姿態角和角速度反饋設計控制器，下面關于多目標約束的描述建立在此基礎上。

考慮轉動慣量的不確定性和未建模動態、各種干擾對系統的影響，以及避免控制飽和的現象，本節在控制器設計時加入魯棒D-穩定約束，并對控制能量和內外干擾抑制相關指標進行優化。極點約束和兩個典型優化指標的顯示表達以及Pareto最優理論描述如下。

2.2.1 魯棒D-穩定

(1)含撓性模態

設穩定裕度參數為h(h<0)，那么式(5)系統對應如圖1所示，魯棒D-穩定實現為：

(11)

式中：K∈Rm×n為相應維數的反饋增益矩陣，在優化的過程中視為已知，此時控制輸入u=BKy；ε>0為標量。優化時可將標稱系統下的撓性模態極點限制在一定變化范圍內，如實部區間為[a1,a2](a1,a2<0)，虛部絕對值區間為[b1,b2](b1,b2>0)。

圖1 極點配置區域(1)Fig.1 Pole assignment region(1)

證明：參考文獻[16]，考慮不確定性和保證系統一定的魯棒穩定裕度有：

P[(A0+ΔA)+(B0+ΔB)KC]+

[(A0+ΔA)+(B0+ΔB)KC]TP-hI<0

式中：P為對稱正定矩陣。記Y=P(A0+B0KC)+(A0+B0KC)TP-hI，則有

Y+PDΔ(F1+F2K)+

(F1+F2K)TΔT(PD)T<0

上述矩陣不等式對所有滿足ΔTΔ≤I的不確定矩陣Δ成立，當且僅當存在ε，使得

Y+εPDDTP+ε-1(F1+F2K)T(F1+F2K)<0

應用矩陣的Shur補性質，可以等價為：

上式左右同乘矩陣diag{P-1,I}，并記X1=P-1，便可得到式(11)，得證。

(2)不含撓性模態

針對不確定系統，對給定區域D，若存在對稱矩陣X1、X2和標量ε1、ε2>0同時滿足：

圖2 極點配置區域(2)Fig.2 Pole assignment region(2)

(12)

(13)

式中：A0、B0、C不含撓性模態信息且此時C為是單位陣；此處X1可不等于X2，ε1可不等于ε2，以減小保守性。則該不確定系統為魯棒D-穩定。證明過程同式(11)。

2.2.2 (內外)干擾抑制能力

式中：Ac=A+BKC。建立從w到y的傳遞函數矩陣Gyw(s)，那么根據H2控制理論思想，用‖Gyw(s)‖2定義干擾對輸出影響的大小[13]：

2.2.3 控制能量

現代航天器多以動量輪或控制力矩陀螺為姿態控制執行機構，為防止因執行機構飽和而導致的系統性能變差或失穩現象，需加入控制能量約束。直接將飽和非線性因素加入控制器設計會帶來分析困難，所以參考文獻[13]，基于航天器姿態定向保持時姿態角偏差和姿態角速度均為小量的特點，通過優化‖K‖2的值來盡可能減少控制能量‖u‖。記

f2(K)=‖K‖2

2.2.4 Pareto最優原則

一般優化指標之間的關系難以確定，且不乏相互沖突的情況，因此無法找到多目標均為最優的唯一解，只能找到在多目標間平衡的次優解，此時需應用Pareto最優解的概念。假設存在性能指標函數f1(x),…，fs(x)(s≥2)，其中x為搜索空間φ中的向量，與K對應，有如下定義：

x=[K(1,1),…,K(1,n),K(2,1),…,

K(2,n),…,K(m,n)]

Pareto最優解：如果不存在同時滿足下式的x∈φ，那么x*∈φ則為Pareto最優解或非劣解(此解不唯一)[21]：

(14)

(15)

如果存在滿足上述條件的解x，那么則稱該解Pareto占優于解x*。

創建由粒子每代更新產生的非劣解和占優解組合而成的外部解集；因為想得到每個指標都相對較優而不是某單個指標最優的解，所以為了提高算法的快速性，不按擁擠度法[12]而是按距離評價法更新該解集，保留距離較小的解。做歸一化處理，對應x的距離d(x)定義如下：

式中：maxfs和minfs分別表示第s個目標函數在外部解集中取得的最大和最小值。以s=2為例，如圖3所示。

圖3 距離評價法Fig.3 Distance evaluation

2.3 多目標魯棒控制器設計流程

基于DPSO算法的控制器設計步驟如下。

步驟1：初始化粒子群。包括算法參數和位置、速度向量，其中初始位置向量由PID控制下的增益矩陣和LMI方法下求得的幾組反饋增益矩陣定義，初始速度向量為零向量；初始化粒子i(i=1,2,…，N)的歷史最優位置pi和最優值p1best(i)和p2best(i)并選取第一個粒子為全局最優粒子，對應位置g和最優值g1best和g2best。迭代次數k=1，且xU(k)=xL(k)=x1(k)。

步驟2：更新粒子速度和位置。k=k+1；按式(10)更新速度和位置，并做邊界條件處理；判斷是否滿足魯棒-D穩定極點約束，若滿足進入步驟3，否則進入步驟6。

步驟3：更新個體粒子最優解和全局最優解。計算個體粒子適應度值(性能指標)f1(xi),f2(xi)，按Pareto占優更新最優解；將每個粒子當代更新的非劣解和占優解存入外部解集。

步驟4：更新外部解集。計算解集中每個解對應的距離，找到距離最短的解，然后將其他解對應的適應度值與該解比較，保留下非劣解和占優解；判斷保留下的解的個數是否大于集合上限N，若是，進入步驟5，否則剔除距離較大的部分解。

步驟5：計算xU(k)和xL(k)。計算各粒子的適應度值f1(xi),f2(xi)，并求取所有粒子適應度值的平均值；將每個粒子對應的適應度值與平均值比較，在Pareto占優的粒子中任選一個將其解作為xU(k)，在剩余粒子中任選一個將其解作為xL(k)；當不存在Pareto占優的粒子時，xU(k)=xL(k)，取任意粒子位置向量。

步驟6：判斷是否滿足k≤G，如滿足返回步驟2，否則進入步驟7。

步驟7：畫圖，并定義仿真參數。

3 仿真校驗

以某大型航天器為例，取其一對翼板的前兩階撓性模態進行控制器設計和仿真。標稱系統轉動慣量、耦合系數、帆板撓性約束模態角頻率對角陣和阻尼系數分別為：

圖2中參數α=50°，h1=-0.2，h2=-0.02；撓性模態極點相關參數h=-0.001，a1=-0.03，a2=-0.001 5，b1=0.25，b2=0.35。優化算法參數取值如表1所示；以控制能量為適應度值為例，PSO、DE和DPSO三種算法的對比優化結果見圖4。

從圖4可看出DE算法進化較慢，PSO算法過早收斂，容易陷入局部極值，本文提出的DPSO算法尋優能力最好，因此采用DPSO算法進行多目標優化。圖5為基于Pareto最優原則的多目標優化結果，可以看出在距離評價法下，外部解集中的非劣解集合接近Pareto前沿[12]。

表1 三種算法下參數設置

圖4 三種算法下進化曲線Fig.4 Evolution curve under three algorithms

圖5 外部解集Fig.5 Set of external solutions

為驗證本文控制器的魯棒性能、干擾抑制能力和控制能量優化效果，仿真時不妨取轉動慣量(不同于J)和外部干擾為：

圖8所示為三軸姿態受到的干擾作用，圖9～圖11為閉環系統仿真結果。由圖9知航天器姿態穩定時間相對于PID控制減小，基本不超過100 s；在300 s后，PID控制姿態誤差在1.35×10-4(°)以內，而本文方法下姿態誤差在6.2×10-5(°)以內，減小了約54%，說明對干擾進行了有效抑制；圖10顯示在本文仿真算例下，兩種方法控制力矩相差不大，本文方法控制力矩峰值約為6.99N·m，PID控制峰值約為8.42N·m；由圖11知，本文控制方法下的航天器前兩階撓性模態振動幅度與PID控制相當，且處于較小的量級，其中與姿態耦合作用較強的第一階撓性模態振動衰減更快，在100 s左右接近穩定(比PID快約250 s)。綜上，本文方法對航天器高精度高穩定度魯棒姿態控制具有良好的效果。

圖 6 極點配置結果(圖中線條與圖2對應)Fig.6 Result of pole assignment

圖7 開閉環系統奇異值曲線Fig.7 Singular value of open-loop and closed-loop system

圖8 姿態干擾Fig.8 Attitude interference

圖9 姿態角Fig.9 Attitude angle

圖10 控制力矩Fig10 Control torque

圖11 撓性模態位移Fig.11 Flexible modal displacement

4 結束語

本文針對大型撓性航天器的高精度高穩定度姿態控制問題，將改進智能算法、現代控制理論和多目標Pareto最優思想結合，提出一種基于輸出反饋和DPSO算法的多目標魯棒控制器設計方法，并推導了含轉動慣量不確定性的系統模型和魯棒D-穩定的LMI表達。主要結論如下：

1)相較于DE算法和PSO算法，本文提出的DPSO算法尋優效果更好。在魯棒區域極點約束下，利用DPSO算法和Pareto最優原則，對控制能量和魯棒性能進行優化得到的控制器實現了閉環系統的魯棒D-穩定，且起到了一定的振動抑制作用。

2)仿真驗證了本文方法的有效性。在本算例中，相對于PID控制，本文方法下系統響應速度較快，其中第1階撓性模態振動衰減時間減少約250 s，控制力矩峰值減小約1.43N·m，姿態穩態誤差減小約54%。

3)將智能優化與現代控制理論結合，涉及的數學公式和參數較少，靈活性較強。本文方法彌補了經典PID控制在不確定系統模型下魯棒性能以及抗干擾能力的不足；減小了帶極點配置的LMI方法在多指標約束凸優化問題中的求解保守性；也能避免傳統方法將多目標轉化為加權指標函數時，由于多目標關系難以確定而導致的加權系數選擇困難。

4)本文智能優化方法還可應用到更多復雜以及非線性系統控制參數優化問題上，為大型撓性航天器魯棒控制器設計提供一種思路。