基于Bezier曲線生成3D打印分層路徑

尹海濤，葉春生

(華中科技大學(xué) 材料成形與模具技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430074)

3D打印起源于20世紀(jì)80年代，是為滿足模型制作以及快速成型的需求而推出，現(xiàn)已經(jīng)成為計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和快速制造的通用技術(shù)平臺(tái)，3D打印可用于陶瓷、金屬和聚合物類材料生產(chǎn)，且可實(shí)現(xiàn)高效無模成形[1-5]，因而在醫(yī)療、汽車、航空航天和建筑領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

3D打印技術(shù)將三維模型切片成二維平面，對(duì)每一層二維平面進(jìn)行打印，逐層疊加形成三維模型。切片過程使用一系列在特定位置且相互平行的平面與三維模型相交，從而得到模型在這些高度上的切點(diǎn)并形成一條或多條閉合路徑，閉合路徑的精度影響著二維平面的打印精度，從而影響整個(gè)三維模型的精度。劉恒、朱心雄[6]提出了STL模型的分層鄰接排序快速切片算法，徐敬華、盛紅升[7]提出了基于鄰接拓?fù)涞牧餍尉W(wǎng)絡(luò)模型層切多連通域構(gòu)建方法，張琪、孟正大[8]提出了基于三角片分割的包圍盒樹構(gòu)造方法，使用上述方法可以快速生成有序的路徑切點(diǎn)序列，但是上述切片層路徑是直接將有序切點(diǎn)連接形成，會(huì)因三維模型數(shù)據(jù)文件的缺陷等原因，造成切面層路徑不夠光滑。Bezier曲線具備光滑連接特性，被廣泛應(yīng)用于自由曲線曲面造型中[9-10]。本文使用三次Bezier曲線來生成3D打印中切面層路徑。

1 Bezier曲線的定義

Pi(i=0,1,2,…,n)是曲線的n+1個(gè)控制點(diǎn)，n次Bezier曲線函數(shù)的表達(dá)式為：

(1)

式中，控制點(diǎn)Pi決定Bezier曲線具體走向；Bi,n(u)則是n次Bernstein基函數(shù)：

(2)

2 基于Bezier曲線的路徑規(guī)劃

2.1 計(jì)算Bezier曲線的控制頂點(diǎn)

在3D打印中，每一個(gè)切片層的分層路徑是與其他層路徑不相交的閉合曲線。為了光滑分層路徑，本文采用閉合曲線方程。首先通過切片算法得到路徑切點(diǎn)，切點(diǎn)是分層路徑上的點(diǎn)，而Bezier曲線的求解是通過確定控制頂點(diǎn)來完成的，所以需要先計(jì)算出Bezier曲線的控制頂點(diǎn)。

根據(jù)每兩個(gè)頂點(diǎn)作為一個(gè)Bezier曲線的端點(diǎn)(即起始點(diǎn)和終止點(diǎn))，并由這兩個(gè)頂點(diǎn)結(jié)合相鄰的其他兩個(gè)頂點(diǎn)求得和這兩個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Bezier曲線的控制點(diǎn)，然后根據(jù)端點(diǎn)和控制點(diǎn)繪制一條過兩個(gè)頂點(diǎn)的Bezier曲線。

如果把三階Bezier曲線(見圖1)中的P0和P3視為原始數(shù)據(jù)，只要找到P1和P2兩個(gè)點(diǎn)(稱其為控制點(diǎn))，就可以根據(jù)三階Bezier曲線公式計(jì)算出P0和P3之間平滑曲線上的任意點(diǎn)。

圖1 三階Bezier曲線圖

所以平滑問題變成了如何計(jì)算2個(gè)原始數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的控制點(diǎn)的問題。步驟如下。

1)第1步：粗直線連接圖2中相鄰的原始數(shù)據(jù)點(diǎn)P0、P1、P2、P3，計(jì)算出各線段的中點(diǎn)(Ai)，細(xì)直線連接相鄰的中點(diǎn)。

圖2 原始數(shù)據(jù)點(diǎn)線段中點(diǎn)圖

需要計(jì)算P1(x1,y1)和P2(x2,y2)之間的控制點(diǎn)，P0(x0,y0)是前一個(gè)需要經(jīng)過的點(diǎn)，P3(x3,y3)是下一個(gè)需要經(jīng)過的點(diǎn)，A0(xc1,yc1)、A1(xc2,yc2)、A2(xc3,yc3)表示點(diǎn)與點(diǎn)之間連線的中點(diǎn)。可用代碼表示為：

double xc1 = (x0 + x1) / 2.0;double yc1 = (y0 + y1) / 2.0;

double xc2 = (x1 + x2) / 2.0;double yc2 = (y1 + y2) / 2.0;

double xc3 = (x2 + x3) / 2.0;double yc3 = (y2 + y3) / 2.0;

2)第2步：根據(jù)圖3中相鄰2條粗直線長度之比，也就是L1/L0=d1/d0這個(gè)比例，分割其中點(diǎn)之間細(xì)直線連線，標(biāo)記分割點(diǎn)。計(jì)算位于Ai連接線段上面的Bi。

圖3 分割點(diǎn)標(biāo)記圖

k1、k2表示線段比例，B1(xm1,ym1)、B2(xm2,ym2)表示中點(diǎn)連線上的比例分割點(diǎn)。代碼表示為：

double len1 = sqrt((x1-x0) * (x1-x0) + (y1-y0) * (y1-y0));

double len2 = sqrt((x2-x1) * (x2-x1) + (y2-y1) * (y2-y1));

double len3 = sqrt((x3-x2) * (x3-x2) + (y3-y2) * (y3-y2));

double k1 = len1 / (len1 + len2);double k2 = len2 / (len2 + len3);

double xm1 = xc1 + (xc2 - xc1) * k1;double ym1 = yc1 + (yc2 - yc1) * k1;

double xm2 = xc2 + (xc3 - xc2) * k2;double ym2 = yc2 + (yc3 - yc2) * k2;

3)第3步：平移細(xì)直線連線，使其分割點(diǎn)B1、B2與相對(duì)的原始數(shù)據(jù)點(diǎn)P1、P2重合，得到中點(diǎn)連線平移圖(見圖4)。

圖4 中點(diǎn)連線平移圖

4)第4步：調(diào)整平移后細(xì)直線連線的端點(diǎn)與原始數(shù)據(jù)點(diǎn)的距離，通常縮減40%～80%，本文縮減50%，效果如圖5所示。

圖5 端點(diǎn)調(diào)整圖

C1(ctrl1_x, ctrl1_y)、C2(ctrl2_x, ctrl2_y)表示最后得到的控制點(diǎn)，smooth_value表示平滑值K，取值[0,1]。代碼表示為：

ctrl1_x = xm1 + (xc2 - xm1) * smooth_value + x1 - xm1;

ctrl1_y = ym1 + (yc2 - ym1) * smooth_value + y1 - ym1;

ctrl2_x = xm2 + (xc2 - xm2) * smooth_value + x2 - xm2;

ctrl2_y = ym2 + (yc2 - ym2) * smooth_value + y2 - ym2;

使用上述方法，在切片過程中得到m+1個(gè)閉合數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi(i=0,1,…,m)。本文平滑值K取為0.5，在經(jīng)過控制頂點(diǎn)計(jì)算之后得到2m+2個(gè)控制頂點(diǎn)Ci(i=0,1,…,2m+1)。

2.2 求解Bezier曲線并光滑路徑

經(jīng)典的n次Bernstein基函數(shù)是由n+1個(gè)n次多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成的線性無關(guān)的函數(shù)組，用Bn,i(t)來表示其中的第i個(gè)，則

(3)

式中，i=0,1,…,n；t∈[0,1]。

每一個(gè)n次的Bernstein基函數(shù)都可以用2個(gè)相鄰的n+1次Bernstein基函數(shù)的線性組合來表示，即Bernstein基函數(shù)具有升階公式

(4)

式中，i=0,1,…n。

有了Bernstein基函數(shù)，并且給定了控制頂點(diǎn)以后，就可以用這兩者的線性組合來定義Bezier曲線。這里用Qi(i=0,1,…,n)來表示n次Bezier曲線的控制頂點(diǎn)，用pn(t)表示n次Bezier曲線，則

(5)

由式5可知，Bezier曲線由控制頂點(diǎn)和Bernstein基函數(shù)共同確定，又由于曲線中所采用的Bernstein基函數(shù)的次數(shù)取決于控制頂點(diǎn)的數(shù)量，而一旦次數(shù)確定，Bernstein基函數(shù)便固定下來，因此可以說，Bezier曲線的形狀是由控制頂點(diǎn)唯一確定的。

本文在平面描述中采用有序插入點(diǎn)策略，設(shè)定特定的步長決定曲線的疏密程度，從而表示一條在二維切面層的曲線。在Bezier曲線的每個(gè)分段上求解一定數(shù)目點(diǎn)的坐標(biāo)，加入到路徑切點(diǎn)坐標(biāo)中的相應(yīng)位置中，然后順序連接切點(diǎn)生成路徑。

3 試驗(yàn)與驗(yàn)證

3.1 設(shè)備情況

課題組自主開發(fā)的微噴射3D打印設(shè)備如圖6所示。該設(shè)備主要由4部分組成，分別是鋪粉機(jī)構(gòu)、粘結(jié)劑噴射機(jī)構(gòu)、機(jī)械運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)和控制系統(tǒng)[11-12]。控制系統(tǒng)又分為硬件系統(tǒng)和軟件系統(tǒng)兩部分。

圖6 3D打印設(shè)備

3.2 試驗(yàn)所用材料

試驗(yàn)打印的三維模型為一個(gè)齒輪，試驗(yàn)采用FZR-10型號(hào)的純氧化鋯陶瓷粉末，粉末的粒度控制在1 μm左右。

3.3 結(jié)果分析

使用連續(xù)打印模式，采用0.1 mm的層間距，每層打印3次。打印成形的樣品如圖7所示。

圖7 齒輪樣品

總的來說，成形樣品的表面輪廓清晰，成形精度較高，能夠看出輪廓曲線整體的光滑。但由于粘結(jié)劑黏度的不足，相對(duì)應(yīng)粘結(jié)區(qū)域黏度不夠造成部分脫落而導(dǎo)致極少數(shù)位置存在小缺口，而由于噴射裝置電動(dòng)機(jī)存在起驟停，產(chǎn)生抖動(dòng)造成極少量毛刺。

4 結(jié)語

本文針對(duì)微噴射3D打印中分層路徑粗糙問題，提出使用三次Bezier曲線優(yōu)化路徑形成的方法，首先通過二維切面的有序切點(diǎn)求出Bezier曲線控制頂點(diǎn)，然后根據(jù)所求得控制頂點(diǎn)確定Bezier曲線的基函數(shù)從而求得確定的Bezier曲線。采用有序插入點(diǎn)策略，設(shè)定特定的步長決定曲線的疏密程度，在曲線所經(jīng)切點(diǎn)之間求解一定數(shù)目的頂點(diǎn)，加入到路徑切點(diǎn)原始序列的相應(yīng)位置，順序連接從而表示一條在二維切面層的Bezier曲線。該方法能夠使原本粗糙的切面路徑變得光滑。