帶交換和跳躍的一維雙向自驅動系統的仿真研究

費大智，郝慶一

（安慶師范大學數理學院，安徽安慶246133）

自驅動粒子系統是研究非平衡態系統的一類簡單而又富有代表性的模型。這類模型的常用形式就是非對稱排他過程（Asymmetric Simple Exclusion Processes,ASEP），ASEP模型最早由兩位以色列數理生物學家麥克唐納和吉布斯于1968年提出，并用于模擬生物高聚合動力學[1]；之后被很多學者進行了擴展和延伸，應用于蛋白質合成、分子馬達、行人、車輛交通等運輸系統的研究中[2-4]。

本文考慮一維ASEP模型，在這個自驅動系統中，有兩種粒子，一種粒子向右移動，另一種粒子向左移動，兩種粒子相遇時，可以換位，而且后面的粒子可以跳過前方粒子。這種換位行為在行人流中經常遇到，跳躍行為在行人和車輛交通中也可理解為繞行超越或換道超車。在分子馬達實驗觀測中有學者發現有的分子馬達在遇到障礙物時，也會發生類似的跳躍行為以越過障礙物。

1 模型

在總長度為L的一維格鏈上，隨機分布著密度分別為ρ1和ρ2的右向行駛粒子和左向行駛粒子。在第一個子時間步，隨機選擇一個格點i（1≤i≤L），按照下列規則更新位置（規則示意圖如圖1所示）：

（Ⅰ）若i格點為空，則該格點保持不動。

（Ⅱ）若i格點被右行粒子占據，則按下列規則更新：

①i+1格點為空，粒子跳入i+1格點；

②i+1格點被左行粒子占據，左行粒子和右行粒子以概率k交換；

③i+1格點被粒子占據，i+2格點為空，且i格點粒子未與i+1格點粒子發生交換，粒子以概率r1跳至i+2格點。

（III）若i格點被左行粒子占據，按下列規則更新：

①i-1格點為空，粒子跳入i-1格點；

②若i-1格點被右行粒子占據，則左行粒子和右行粒子以概率k交換；

③若i-1格點被粒子占據，i-2格點為空，且i格點粒子未與i-1格點粒子發生交換，粒子以概率r2跳至i-2格點。

（IV）每個子時間步隨機選取一個格點按以上規則更新，L個子時間步更新合成為一個完整的時間步更新，系統采用周期性邊界。

圖1 模型更新規則示意圖

2 模擬與分析

這里分別給出改變左右粒子密度比、跳躍概率、交換概率的計算機模擬結果。在模擬中，取L=200，時間步T取20 000～100 000。為了便于分析研究，在本模型中左右雙向運動的粒子跳躍概率和交換概率都相同。

2.1 不同密度比

圖2為跳躍概率r=0.9，交換概率k=0.5，左右粒子密度比例ρ1：ρ2分別為1∶9、2∶8、3∶7、4∶6、5∶5下的系統密度-流率圖?？梢钥闯鲎笥伊Ｗ訑盗吭浇咏绂?∶ρ2為3∶7、4∶6、5∶5時，系統流率就越大。這是因為兩種粒子的數量相對接近時，粒子之間發生交換和跳躍的幾率變大，從而導致系統流率增大。左右粒子數量差距較大時，如ρ1∶ρ2為1∶9、2∶8，隨著系統粒子密度的增大，系統流率在高密度處反而降低。此時由于粒子數量差距較大，系統密度增大，系統中會出現數量大的同向粒子彼此相連，此時跳躍規則和交換規則對系統流率的影響較小，系統發生堵塞，從而導致系統流率降低。

2.2 不同跳躍概率

圖3和圖4為粒子密度比率ρ1∶ρ2=1∶1，跳躍概率r分別為0.1、0.3、0.5、0.7、0.9時的系統密度-流率圖，圖3中粒子的交換概率k=0.5，圖4中粒子的交換概率k=0.6?？梢钥闯鱿到y流率隨著系統密度的增大而增大，但圖像只在系統處于中段密度區（0.3＜ρ＜0.8）時有分離，在低密度區（ρ≤0.3）和高密度區（ρ≥0.8）不同交換概率k下的圖像趨于重合。下面分析這種情況出現的原因。

圖2 不同粒子比率下的流率-密度圖

圖3 不同跳躍概率下的流率-密度圖

圖4 不同跳躍概率下的流率-密度圖

系統處于低密度區時，粒子數較少且系統采取隨機更新，系統選取到空格概率較高，兩粒子相鄰的概率較低，這些都導致跳躍規則失效，因此在低密度區不同跳躍概率下的系統流率區分不明顯；

系統處于中段密度區時，增大粒子跳躍概率可以讓系統流率增大，此時粒子數較低密度區更多，且系統有充足的空格讓粒子跳躍，跳躍概率增大，系統流率增大；

系統處于高密度區時，粒子數最多，但空格較少，這導致粒子無法跳躍，因此在高密度區不同跳躍概率下的系統流率區分不明顯。

2.3 不同交換概率

圖5為左右粒子密度比ρ1∶ρ2=1∶1，左右粒子跳躍概率r=0.1，交換概率k分別為0.1、0.3、0.5、0.7、0.9時的系統密度-流率圖?？梢?，隨著k的增大，系統流率增大，增速變快，流率峰值處于系統最大密度處。

圖5 不同交換概率下的流率-密度圖

2.4 系統回滯現象

下面探討該系統是否存在回滯現象[5-6]。為此，采用從低密度開始逐步增加系統密度和從高密度開始逐步減少系統密度兩種方式計算系統流率。在相同參數條件下，得到兩條流率-密度曲線。這里取L=200，時間步T取20 000～100 000。

圖6～9是不同參數下的系統流率-密度圖。可以看出，相同參數下兩條曲線幾乎重合，沒有形成回滯環，由此可知該系統沒有出現回滯現象。

圖6 左右粒子比率1∶9，跳躍概率0.9，交換概率0.1下的流率-密度圖

圖7 左右粒子比率1∶9，跳躍概率0.9，交換概率0.3下的流率-密度圖

圖8 左右粒子例3∶7，跳躍概率0.5，交換概率0.5下的流率-密度圖

圖9 左右粒子比例3∶7，跳躍概率0.9，交換概率0.5下的流率-密度圖

3 結論

綜合上述結果，我們得出以下結論：①兩種粒子的比例越接近，系統流率越大；②在密度位于中段區域時（0.3＜ρ＜0.8），粒子跳躍概率越高，系統流率就越大；③對向粒子交換概率越大，系統流率就越大，流率-密度曲線由非單調轉變為單調遞增；④該系統沒有出現回滯現象。這些結論對行人、車輛交通等自驅動系統的理解是有幫助的，也將有助于對非平衡態系統性質的理解。