拓?fù)淇臻g中緊致子集的性質(zhì)研究

黃 瑞

（阜陽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽阜陽236037）

點集拓?fù)涫且话銕煼对盒?shù)學(xué)類相關(guān)專業(yè)的必修課程，也是后繼課程，如代數(shù)拓?fù)?、微分拓?fù)?、幾何拓?fù)涞鹊幕A(chǔ)。點集拓?fù)涞难芯繉ο笫峭負(fù)淇臻g，一般地，可以從“開集”、“閉集”、“鄰域”、“導(dǎo)集運算”、“閉包運算”、“內(nèi)部運算”、“基”和“子基”8個角度定義拓?fù)淇臻g，即拓?fù)淇臻g有8種等價的定義，現(xiàn)在的點集拓?fù)浣滩腫1-5]更傾向于從開集角度定義拓?fù)淇臻g。自然而然開集就成為了拓?fù)淇臻g中特殊的子集，除開集之外，拓?fù)淇臻g中還有一些特殊的子集，如閉集、連通子集、連通分支、道路連通子集、稠密子集和緊致子集等。緊致子集作為拓?fù)淇臻g中一類特殊的子集，對其性質(zhì)的研究具有重要意義，文獻(xiàn)[6-7]研究了實數(shù)空間?中的緊致子集的等價刻畫，文獻(xiàn)[8-10]分別研究了度量空間、偽度量空間和超距空間中的緊致性，文獻(xiàn)[11-13]則研究了各種緊致空間及它們相互之間的關(guān)系。本文將類比連通子集的性質(zhì)，系統(tǒng)地研究緊致子集的一些重要性質(zhì)。需要說明的是文中所用的概念、符號同文獻(xiàn)[1]。

1 預(yù)備知識

定義1[1]已知拓?fù)淇臻g(X,Γ)，若(X,Γ)的每一個開覆蓋都存在有限的子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻g(X,Γ)是緊致空間。

定義2[1]已知Y是拓?fù)淇臻g(X,Γ)的子集，若Y作為(X,Γ)的子空間是緊致空間，則稱Y是拓?fù)淇臻g(X,Γ)的緊致子集。

引理1已知拓?fù)淇臻g(X,Γ)，A?Y?X，則A是(Y,Γ|Y)的緊致子集?A是拓?fù)淇臻g(X,Γ)的緊致子集。

證明A是(Y,Γ|Y)的緊致子集?(A,Γ|Y|A)=(A,Γ|A)是緊致空間?A是拓?fù)淇臻g(X,Γ)的緊致子集。

引理2有限集上定義的任意一個拓?fù)淇臻g必是緊致空間。

證明 設(shè)X是包含n個點的集合，Γ為X上的任意拓?fù)洌瑒tΓ?2X，則拓?fù)淇臻g(X,Γ)中至多包含2n個開集，由緊致空間的定義知結(jié)論成立。

引理3若拓?fù)淇臻g有一個有限基，則這個拓?fù)淇臻g必是緊致空間。

證明設(shè)Φ={B1,B2,B3,…,Bn}是拓?fù)淇臻gX的有限基，Λ是拓?fù)淇臻gX的任一開覆蓋，則?A∈Λ，存在ΦA(chǔ)?Φ，使得A=。

令Φ*=，則Φ*?Φ，且Φ*是拓?fù)淇臻gX的有限開覆蓋。?Bi∈Φ*，存在Ai∈Λ，使得Bi?Ai，令Λ*={Ai∈Λ|Bi∈Φ*,Bi?Ai}，則Λ*是Λ關(guān)于拓?fù)淇臻gX的有限子覆蓋，由緊致空間的定義知結(jié)論成立。

由引理2，3易得拓?fù)淇臻g中任意子集都是緊致子集的兩個充分條件。

定理1定義在有限集上的拓?fù)淇臻g中的任意子集都是緊致子集。

定理2若拓?fù)淇臻g存在一個有限基，則該拓?fù)淇臻g中的任意子集都是緊致子集。

證明已知拓?fù)淇臻g(X,Γ)，Φ是(X,Γ)的有限基，?Y?X，則Φ|Y為(Y,Γ|Y)的有限基，由引理3知(Y,Γ|Y)是緊致空間，從而得到Y(jié)是(X,Γ)的緊致子集。

值得注意的是，定義在有限集上和存在一個有限基不是拓?fù)淇臻g中的任意子集都是緊致子集的必要條件，比如，有限補(bǔ)空間?滿足任意子集都是緊致子集，但它既不滿足定義在有限集上，也不滿足存在一個有限基。

引理4[1]緊致空間中的每一個閉集都是緊致子集。

引理5[1]Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是閉集。

引理6[1]設(shè)A是正則空間中的緊致子集，U是A的開鄰域，則存在A的開鄰域V，使得Vˉ?U。

引理7[1]設(shè)拓?fù)淇臻gX是Hausdorff空間，A、B是拓?fù)淇臻gX中兩個無交的緊致子集，則存在A的開鄰域U，B的開鄰域V，使得U∩V=?。

引理8[1]已知拓?fù)淇臻gX,則下列條件等價：

（1）拓?fù)淇臻gX是不連通空間；

（2）拓?fù)淇臻gX中存在兩個非空的開集A、B，滿足A∪B=X,A∩B=?；

（3）拓?fù)淇臻gX中存在兩個非空的閉集A、B，滿足A∪B=X,A∩B=?；

（4）拓?fù)淇臻gX中存在既開又閉的非空真子集。

引理9設(shè)Y是拓?fù)淇臻g(X,Γ)中的非空連通子集，A、B是拓?fù)淇臻gX中的無交開（閉）集，且Y?A∪B，則或者Y?A或者Y?B。

證明A、B是拓?fù)淇臻g(X,Γ)中的無交開（閉）集，則A∩Y、B∩Y就是連通空間(Y,Γ|Y)中的開（閉）集，且(A∩Y)∩(B∩Y)=?,(A∩Y)∪(B∩Y)=(A∪B)∩Y=Y。由引理8知，要么A∩Y=?，要么B∩Y=?。若A∩Y=?，則B∩Y=Y，即Y?B；若B∩Y=?，則A∩Y=Y，即Y?A。

2 緊致子集的性質(zhì)

2.1 緊致子集的并是緊致子集的充分條件

定理3設(shè)A、B是拓?fù)淇臻g(X,Γ)中的緊致子集，則A∪B是(X,Γ)的緊致子集。

證明設(shè)Λ是由拓?fù)淇臻g(X,Γ)中的開集作成的A∪B的開覆蓋，則Λ也是緊致子集A和B的開覆蓋，于是Λ存在關(guān)于緊致子集A的有限子覆蓋Λ1，關(guān)于緊致子集B的有限子覆蓋Λ2，易見Λ1∪Λ2就是Λ關(guān)于A∪B的有限子覆蓋，即A∪B是(X,Γ)的緊致子集。

由定理3的證明易得下面的定理。

定理4撲空間中有限個緊致子集的并仍是緊致子集。

注：拓?fù)淇臻g中無限個緊致子集的并未必是緊致子集。

例1{[n,n+1]|n=1,2,3,…}是實數(shù)空間?中的緊致子集族，但[n,n+1]=[1,+∞)不是實數(shù)空間?中的緊致子集。

2.2 緊致子集的交是緊致子集的充分條件

定理5拓?fù)淇臻g中緊致閉子集族的交仍是緊致子集。

證明設(shè){Aγ}γ∈Γ是拓?fù)淇臻gX中的緊致閉子集族，令=A，易見A是拓?fù)淇臻gX中的閉集。取γ0∈Γ，則A?Aγ0，于是A∩Aγ0=A是緊致空間Aγ0中的閉集，由引理4知A是拓?fù)淇臻gX的子空間Aγ0中的緊致子集，再由引理1知A是拓?fù)淇臻gX中的緊致子集。

定理6Hausdorff空間中緊致子集族的交仍是緊致子集。

證明設(shè){Aγ}γ∈Γ是Hausdorff空間X中的緊致子集族，由引理5知{Aγ}γ∈Γ是Hausdorff空間X中的緊致閉子集族，再由定理5知結(jié)論成立。

定理5、6給出了緊致子集族的交仍是緊致子集的兩個充分條件。一般地，拓?fù)淇臻g中緊致子集的交未必是緊致子集。

例2已知拓?fù)淇臻gX是實數(shù)空間?和平庸空間{0,1}的積空間，證明Y1=((0,1]×{0})∪({0}×{1})和Y2=([0,1)×{0})∪({1}×{1})是積空間X中的緊致子集，并說明Y1∩Y2不是積空間X中的緊致子集。

證明積空間X中的開集形如A×{0,1}，其中A是實數(shù)空間?中的開集。設(shè)Λ是由積空間X中的開集構(gòu)成的Y1的任意開覆蓋，對于Y1中的點{0}×{1}，存在Λ中的開集A0×{0,1}，使得{0}×{1}∈A0×{0,1}，其中A0是實數(shù)空間?中包含0的開集，易見{0}×{0}∈A0×{0,1}。對于Y1中的點{x}×{0}，x∈(0,1]，存在Λ中開集Ax×{0,1}，使得{x}×{0}∈Ax×{0,1}，其中Ax是實數(shù)空間?中包含x的開集，易見{x}×{1}∈Ax×{0,1}。

綜上，Λ還是由積空間X中的開集構(gòu)成的Y1*=[0,1]×{0,1}的一個開覆蓋。又[0,1]，{0,1}分別是實數(shù)空間?和平庸空間{0,1}中的緊致子集，則Y1*=[0,1]×{0,1}是積空間X中的緊致子集，于是Λ存在關(guān)于Y1*=[0,1]×{0,1}的有限子覆蓋Λ1。顯然Λ1也是Λ關(guān)于Y1的有限子覆蓋，故Y1=((0,1]×{0})∪({0}×{1})是積空間X中的緊致子集。

同理可得Y2=([0,1)×{0})∪({1}×{1})也是積空間X中的緊致子集。易見Y1∩Y2=(0,1)×{0}，而(0,1)不是實數(shù)空間?中的緊致子集，故Y1∩Y2也不是積空間X中的緊致子集。

2.3 緊致子集的閉包是緊致子集的充分條件

定理7設(shè)A是正則空間(X,Γ)中的緊致子集，Y?X，滿足A?Y?，則Y是正則空間(X,Γ)中的緊致子集。

證明設(shè)Λ是由正則空間(X,Γ)中的開集作成的Y的一個開覆蓋，又A?Y，則Λ也是緊致子集A的開覆蓋，于是Λ存在關(guān)于A的有限子覆蓋Λ*={A1,A2,A3,…,An}，其中Ai∈Λ,i=1,2,3,…,n。

令U=，則U是正則空間(X,Γ)中的開集，且A?U，即U是A的開鄰域，由引理6知，存在A的開鄰域V，使得A?V??U。

又Y?，故，即Λ*也是Λ關(guān)于Y的有限子覆蓋，因此Y是正則空間(X,Γ)中的緊致子集。

由定理7易見正則空間中緊致子集的閉包仍是緊致子集。下面給出拓?fù)淇臻g中緊致子集的閉包不是緊致子集的例子。

例3已知正整數(shù)集?+，定義Γ={E??+|1∈E}∪{?}，易見(?+,Γ)是拓?fù)淇臻g。令A(yù)={1}，則A是(?+,Γ)中的緊致子集，證明Aˉ不是(?+,Γ)中的緊致子集。

證明(?+,Γ)中的開集是?和包含1的正整數(shù)集?+的子集，即(?+,Γ)的每一個非空開集都包含1，故(?+,Γ)不是正則空間。

(?+,Γ)中的閉集是?、?+和不包含1的正整數(shù)集?+的子集，即包含1的閉集只有?+，因此Aˉ=?+。令A(yù)1={1},A2={1,2},A3={1,3},A4={1,4}，…，則Λ={A1,A2,A3,…}是由(?+,Γ)中的開集構(gòu)成的?+的一個開覆蓋，顯然Λ不存在關(guān)于?+的有限子覆蓋，因此(?+,Γ)不是緊致空間，從而Aˉ=?+不是(?+,Γ)中的緊致子集。

2.4 緊致子集的交是連通子集的充分條件

定理8已知U是拓?fù)淇臻g(X,Γ)中的開集，Ω是由(X,Γ)中的緊致閉集構(gòu)成的集族，若A?U，則存在Ω的有限子集族{A1,A2,A3,…,An}，使得Ai?U。

證明取∞?X，令X*=X∪{∞}，Γ1={E*?X*|X*-E*是X中的緊致閉集},則Γ*=Γ∪Γ1∪{X*}是X*的一個拓?fù)?，且稱緊致空間(X*,Γ*)是(X,Γ)的一點緊化空間[1]。

?A∈Ω，A是(X,Γ)中的緊致閉集，故X*-A∈Γ1?Γ*。

又U∈Γ?Γ*，故X*-U是緊致空間(X*,Γ*)中的閉集，由引理4知X*-U是(X*,Γ*)中的緊致子集。

定理9設(shè)Ω是Hausdorff空間(X,Γ)中的非空緊致子集族，若Ω中任意有限個非空緊致子集的交都是(X,Γ)中的連通子集，則A是(X,Γ)中的連通子集。

證明由引理5知Ω是(X,Γ)中的非空緊致閉子集族，從而得到A是(X,Γ)中的閉集，再由定理5知A是(X,Γ)中的緊致子集，故A是(X,Γ)中的緊致閉集。

3 結(jié)束語

緊致子集是拓?fù)淇臻g中一類特殊的子集，文中分別研究了拓?fù)淇臻g中任意子集是緊致子集、緊致子集的交是緊致子集和緊致子集的并是緊致子集的充分條件。類比連通子集的性質(zhì)，定理7給出了在正則空間中若一個子集被“夾在”緊致子集和這個緊致子集的閉包之間，則該子集是緊致子集，從而得到正則空間中緊致子集的閉包仍是緊致子集，同時還給出了拓?fù)淇臻g中緊致子集的閉包不是緊致子集的一個具體例子。文章的最后利用拓?fù)淇臻g的一點緊化空間證明了拓?fù)淇臻g中緊致閉子集族的一個性質(zhì)，由此給出Hausdorff空間中緊致子集族的交是連通子集的一個充分條件。