線性多智能體系統的一致性

景 麗

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

0 引 言

多智能體系統是當今控制領域研究的一個熱點,因其在無人飛行器、機器人系統、傳感器網絡、微電網控制系統等領域具有廣泛的應用前景而受到國內外學者的廣泛關注[1]。多智能體系統是指一群自主的個體通過相互作用而形成的系統[2]。單個的智能體具有自我控制能力,可以與其他智能體進行通信;智能體之間能夠相互協調配合,共同完成任務。這樣的系統在自然界中也是廣泛存在的,如魚群、鳥群等,多智能體系統的思想也是源于自然界這些現象而產生的。

協同一致性是多智能體系統研究首先要解決的關鍵問題,其含義是多智能體系統在分布式控制器的協同作用下其狀態量趨于相同。多智能體系統協同一致性問題是無人飛行器編隊控制、衛星姿態協同控制、電網協同控制的基礎[3-6],目前該問題的相關研究已取得一定的成果。

早期主要研究一階、二階多智能體系統的一致性,目前已就高階多智能體系統的一致性展開研究。由于多智能體系統的一致性與其拓撲結構有關,所以人們研究了有向圖、無向圖多智能體系統一致性和具有切換拓撲結構的多智能體系統的一致性。學者們在研究一致性問題時還從多智能體系統構成角度考慮了系統有無領航者情形。對于具體問題,多智能體系統的漸近一致性、有限時間一致性、固定時間一致性都陸續得到研究。關于飽和受限問題、干擾問題、時滯問題等在研究時也得到考慮。除上述研究外,如何使多智能體系統盡快實現一致性,如何節約通信資源等問題也受到學者們的關注。文獻[7]對二階多智能體系統的一致性算法展開研究,提出了基于二層鄰居信息的一致性算法、非線性算法;文獻[8-10]研究了固定時間、事件觸發的一致性控制問題。

本文分析了一種被文獻廣泛使用的控制器[11-12],其設計思想如下:采用分布式控制策略;單個智能體的控制器設計主要考慮該智能體與其鄰接智能體狀態差值、與系統領航者狀態差值,由這2種因素決定控制器。如果考慮使多智能體系統盡快實現一致性且節約通信資源等,就應該改進這種控制器,因為當某智能體與領航者有通信且可獲得其狀態信息時,該智能體可直接跟蹤領航者的軌跡,不必考慮鄰接智能體的狀態信息。鑒于此,本文提出了一種新的一致性控制算法,研究多智能體系統在該算法作用下的一致性問題。針對一般線性多智能體系統、執行器飽和受限多智能體系統分別提出系統達到狀態一致應滿足的充分條件,并運用Lyapunov穩定性理論加以證明。數值仿真顯示新控制器是有效的。

1 問題描述

多智能體系統由跟隨智能體及領航智能體構成,設跟隨智能體系統動態具有如下形式:

(1)

領航智能體的動態為

(2)

其中:狀態向量x0,xi∈n;系統矩陣A,B是適維矩陣;N表示跟隨智能體的數目。

多智能體系統的一致性通常采用分布式控制器控制實現,控制器如下[11]:

(3)

其中:(aij)N×N是多智能體系統的鄰接矩陣;如果跟隨智能體i為領航智能體的鄰接智能體,那么bi=1,否則bi=0.

本文為系統(1)和(2)設計的分布式控制器如下:

(4)

其中

本文提出系統(1)和(2)在控制器(4)作用下實現狀態一致應滿足的充分條件,并采用Lyapunov穩定性理論,同時結合圖論和矩陣論知識進行相應證明,還研究了當存在執行器飽和時多智能體系統的一致性問題。

假設[13]多智能體系統的通訊拓撲結構中都包含一棵有向生成樹。

引理1[14]扇形區域法:由波波夫(Popov)準則和圓判據,引入無記憶狀態反饋控制器,比較典型的狀態反饋控制器為

u(t)=2kx(t)

并令η(t)=sat(u(t))-kx(t)=sat(2kx(t))-kx(t),則

其中:符號?表示矩陣的克羅內克積;L為多智能體系統拓撲結構的Laplacian矩陣。

2 主要結果

2.1 一般線性多智能體系統的一致性

本部分研究系統(1)和(2)在控制器(4)作用下是否能達到狀態一致的問題。

定理1 考慮系統(1)和(2)及控制器(4)構成的閉環系統,如果存在對稱矩陣P>0,矩陣Q滿足線性矩陣不等式:

(5)

證明 首先將所有智能體的控制器(4)寫成一個矩陣形式:

u={[diag(1-f1,1-f2,…,1-fN)L+F]?I}e

其中ei=xi-x0;e=(e1,e2,…,eN)T。進一步,由于

(6)

其次由式(1)和式(2)可以得到多智能體系統的誤差系統:

(7)

設系統的Lyapunov函數為V=eT(I?P)e,則

將Q=KP-1代入式(5),式(5)可以寫為

上述不等式左右兩端分別乘以I?P,得到

2.2 一階線性多智能體系統的一致性

使用圖論知識進一步可以得到原系統的誤差系統:

(8)

其中F的含義同(2.1)部分,A=diag(a,a,…,a)。

定理2 考慮系統(8)和(4)構成的閉環系統,如果存在對稱矩陣P>0滿足線性矩陣不等式:

(9)

證明 類似定理2.1,過程略。

2.3 飽和多智能體系統的一致性

對于實際的多智能體系統而言,常會遇到執行器飽和問題。本部分研究當執行器出現飽和時,多智能體系統的一致性問題。

設多智能體系統動態:

(10)

其中sat(u)是標準飽和函數[15]。

領航智能體動態仍為式(2),單個智能體系統(11)的控制器為式(4),于是可以得到誤差系統:

(11)

其中控制器u如式(6)。根據引理1處理飽和函數,使用LMI魯棒控制技術等可以得到系統(11)達到一致所需滿足的充分條件,即定理3。

定理3 考慮系統(11)和(4)構成的閉環系統,如果存在對稱矩陣P>0,矩陣Q=KP-1滿足線性矩陣不等式:

(12)

其中

則多智能體系統狀態能達到一致。

設Lyapunov函數V=eT(I?P)e,求函數V對t的導數,在計算過程中使用LMI魯棒控制技術可以得到

根據Schur補引理,式(13)成立,當且僅當

3 結 論

本文研究線性多智能體系統的一致性問題,提出了新的分布式控制策略,給出多智能體系統達到狀態一致所需滿足的充分條件,并依據Lyapunov穩定性理論、圖論和矩陣論知識加以證明。仿真結果顯示文中所給出的控制器設計方案是有效的,與控制器(3)控制效果對比,本文的控制器能較快地使系統達到狀態一致。