數學教學中的反例教學

強調數學教學中的反例教學是因為：

首先 從認識論的角度來看：我們知道，認識過程是由淺入深，由點到面的，不可能一學就懂，一懂就透，而是曲折中前進的。在每個概念的建立過程中，都有正確與錯誤的理解對立。糾正了理解上片面和錯誤，認識就前進了。因此，教師在講課中，常可利用對比的方法來鮮明地突頭事物的本質特性，也就是不僅從正面講清概念、定義、定理、公理、推論或公式等的內涵，還應該啟發學生從反面揭示認識上容易產生的混淆和錯誤，弄清概念、定義、定理、公理、推論或公式等的外延，外延經常是通過反例來實現的。

其次 從當前教材和教師的一般狀況來看，目前全國使用的中學數學統編教材，都是從正面闡述概念、定義、定理、公理、推論或公式，教師在講課中也多半是由正面教學，因此，學生也就往往習慣于從正面理解和思考，這不利于開拓思路，發展智力，倘若我們教師能在緊扣教材，吃透教材的基礎上，適時地引導學生對比地從正反兩個方面去理解知識，這無疑對學生加深理解，活躍思維都是積極的，有效的。要做到這些，就要用到反例教學。

再次，從學生的實際狀況來看，他們學習概念、定義、定理、公理、推論或公式等時，犯了混淆不清的錯誤幾乎是一種普通現象，這多半是由一些心理因素所致。比如學生在學習新知識時，一些舊有知識的“經驗”干擾，思維定勢的干擾，負遷移的干擾等，要排除這些干擾，反例教學是一種極有力的手段，常可起到事半功倍的效果。

以下就從四了方面具體地來談談反例在數學教學中的作用。

一、反例是反駁的有力手段

我們知道，要證明一個命題正確，必須經過嚴密的證明了。所以反例是反駁最有力手段。

例1 命題“能被1和它自己本身整除的非1自然數是質數”。

正確嗎？思考，若正確，，須嚴格證明，似乎不大好說、這時可考慮能否找到一個反例來否定其正確性，若找到了，命題的正確性就被反駁了，這比嚴格的證明容易得多。

答：因為非1的自然數4、6、8、9等也能被1和它自己本身整除，但它們都不是質數，所以上述命題錯誤。

進而讓學生考慮，對上述命題怎樣修改，才能正確，這樣就能使學生明白質數的準確概念以及嚴謹的數學語言的重要性。所謂差之毫厘失之千里。

現在在各類數學考試中選擇題所占比例很大，占了全卷的150分中的60分，這類題是給出四個答案，其中只有一個答案是準確的。要求選擇出其中唯一正確的答案。用舉反例的方法——排除法正是處理這類題目的有效方法。

我們可以對以上四個答案逐一判斷。因為這四個答案中，僅有一個正確，那么否定了其它三個答案，剩下的就是正確答案。要否定一個答案，只需要舉出它的一個反例即可。

若是答案（A），那么當x=3時，分母無意義，不成立;而當x=2時，分母為零，也無意義，所以（B）也不成立，從而（C）也就不成立。否定了（A）、（B）、（C）答案，余下的是唯一正確的答案只有（D）了，所以答案應選擇（D）。

二、反例是加深理解的重要手段

學生在新學的一個概念、定義、定理、公理、推論或公式時往往側重于記憶其結論：不注意分析具體條件而生搬硬套，因此教師在講清概念、定義、定理、公理、推論或公式等的條件，結論、實際意義及應用范圍的基礎上，若能根據學生的認知狀況，適當地舉一些反例，往往會起到加深理解知識的重要作用。

三、反例是糾正錯誤的有效工具

利用反例引起學生對一些問題錯誤解法的警覺，是教學中大量采用的極其有效的方法。

這種反例常常比正面講述公式印象深刻，顯然，反例對正確理解數學概念，鞏固地掌握定義、公理、定理、推論或公式，預防和糾正錯誤都有重大作用。

但值得注意的是，使用反例教學一般應在學生對新概會有了初步認識以后，若一開始就正反例并舉，反而會適得其反。

四、活躍思維離不開反例

由前面的部分，我們看到了構造反例對加深概念、定義、定理、公理、推論或公式等的理解能起到至關重要的作用，更重要的是構造反例的本身就是一個積極的思維過程，反例構造得巧妙，常使問題變得簡捷明快，取得出奇制勝的效果。

例3 講述“原命題等價于逆命題”是否成立時，我們常采用學生熟悉的事物來作反例，說明不成立。

原命題 逆命題

1 小狗是會跑的 會跑的是小狗（舉反例，如牛、馬等）

2 被5整除的數的個位是5（如20） 個位是5數能被5整除

通過上兩例可說明原命題和逆命題不等價，如果教師再引導學生就自己熟悉的事物或所學過的命題仿寫原命題、逆命題構造反例，可進一步加深對原、逆命題的理解，又能激發學習興趣，促進思維發展。

例4 在平面幾何里，學生學過如下定理：

在同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線平行，

學生對這個定理的印象深刻，也就受這個定理的影響，發生負遷移，不看在“同一平面內”的條件，想當然地把這個定理類推到空間中去：“垂直于同一平面的兩條平面平行”的謬論。教師舉反例時，可以用張開的課本“立”在桌面上，張開的書面都可以看作不同的平面，桌子也看作一個平面，可以看到立起來的書的每一頁所在平面都與桌面垂直，但它們是相交的，并不一定平行。

也就是說，學生如果采用舉反例的方法，可以輕松判斷“垂直于同一直線的兩條直線平行”、“垂直于同一平面的兩條平面平行”是錯誤的命題。進而知道二維平面上的定理，不能想當然的推到三維空間去，并且在構造反例的過程中，將有利于學生提高空間想象能力，加深對立體幾何中的概念、定義、定理、公理、推論和公式的理解。

總之，反例教學可以貫穿于教學工作的始終，是我們數學教學中的一個重要的、必不可少的教學手段，應當引起廣大教學工作者的足夠重視。

云南省鎮雄縣大灣中學 孫學湘