一種從拓撲優(yōu)化結(jié)果到拉壓桿模型的自動提取方法研究

喬文正 陳國榮

(1.呂梁學(xué)院建筑系 山西呂梁 033000；2.河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院 江蘇南京 211100)

1 研究背景

拉壓桿模型(strut-and-tie models，簡稱STM)是由類桁架模型發(fā)展而來。它的理論基礎(chǔ)可追溯到塑性理論中連續(xù)體介質(zhì)的極限分析。STM將混凝土梁的力學(xué)行為簡化為一個理想化的鉸接桁架，提供了一個靜力允許的荷載傳遞路徑。眾所周知，拉壓桿模型特別適用于混凝土結(jié)構(gòu)中D區(qū)域的設(shè)計。經(jīng)過眾多學(xué)者的努力，拉壓桿模型已經(jīng)成為一種既適用于B區(qū)域也適用于D區(qū)域的統(tǒng)一的混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計方法[1]。此處B區(qū)域指構(gòu)件中符合伯努力假定的區(qū)域，D區(qū)域指構(gòu)件中截面應(yīng)變呈現(xiàn)非線性變化的區(qū)域，通常是由幾何或靜力不連續(xù)引起的。作為一種混凝土結(jié)構(gòu)的塑性設(shè)計方法，拉壓桿模型被越來越多人所接受并廣泛使用。

混凝土結(jié)構(gòu)中單側(cè)牛腿就是一個典型的D區(qū)域。由于復(fù)雜的應(yīng)力分布，傳統(tǒng)的彈性應(yīng)力跡線法或荷載路徑法很難產(chǎn)生合適的拉壓桿模型。因此，拓撲優(yōu)化逐漸成為一種產(chǎn)生拉壓桿模型的可靠方法。拓撲優(yōu)化是在給定約束條件下，在給定的區(qū)域內(nèi)對材料分布進行優(yōu)化的數(shù)學(xué)方法。隨著拓撲優(yōu)化技術(shù)的不斷發(fā)展，基于性能的漸近結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法(ESO)[2]、經(jīng)典的固體各向同性懲罰方法(SIMP)[3]和基于可移動變形組件(moving morphable components，簡稱MMC)拓撲優(yōu)化方法[4]先后被用來產(chǎn)生拉壓桿模型。

拓撲優(yōu)化在拉壓桿模型中的進一步應(yīng)用，首先要解決如何合理地描述拓撲優(yōu)化結(jié)果，即實現(xiàn)拓撲優(yōu)化結(jié)果和拉壓桿模型的有效銜接。B樣條是貝塞爾曲線的一種一般化，是CAD系統(tǒng)常用的幾何表示方法，可以用來給一般的幾何體精確地建模。基于此，文獻[5]采用B樣條把拓撲優(yōu)化結(jié)果描述成一個參數(shù)化的幾何形狀；文獻[6]在拓撲優(yōu)化的基礎(chǔ)上再進行一次形狀優(yōu)化來自動獲得對拓撲優(yōu)化結(jié)果的圖像描述；文獻[7]提出了一個產(chǎn)生拓撲優(yōu)化結(jié)果骨架的自動化方法；文獻[8]采用一種提取方法將拓撲優(yōu)化結(jié)果描述為類桁架結(jié)構(gòu)，并通過3個性能指標(biāo)來評估拓撲優(yōu)化結(jié)果的優(yōu)劣。文獻[9]將基于優(yōu)化的STM的生成分為拓撲優(yōu)化、拓撲提取和形狀優(yōu)化3個階段。

受文獻[8]的啟發(fā)，以基于MMC的拓撲優(yōu)化[10]為基礎(chǔ)，將一種自動提取的方法應(yīng)用于混凝土單側(cè)牛腿算例。通過算例，闡述了該方法的思路和過程，并證實了其正確性和有效性。

2 自動提取方法

2.1 概述

從拓撲優(yōu)化結(jié)果到拉壓桿模型的提取過程，最重要的是保留它們之間的拓撲一致性。采用一種自動的提取過程，實現(xiàn)從拓撲優(yōu)化結(jié)果到拉壓桿模型的自然過渡。該方法的本質(zhì)是一種基于像素的圖像處理技術(shù)，該過程主要分細化和提取兩個階段。拉壓桿模型的自動提取方法的流程如圖1所示。該方法的數(shù)值實現(xiàn)是在MATLAB中進行。

圖1 自動提取方法流程

2.2 細化階段

細化階段又細分為圖像二值化和圖像骨架化兩個步驟。

2.2.1圖像二值化

傳統(tǒng)隱式的SIMP和ESO方法產(chǎn)生的優(yōu)化結(jié)果是基于有限單元的材料0-1分布，雖然采用懲罰的技術(shù)，但仍然存在過渡的單元，導(dǎo)致存在鋸齒的邊界和灰度單元。在進行圖像骨架化之前，需要通過設(shè)定合理的闕值將優(yōu)化結(jié)果黑白二值化，即用1和0分別表示材料的實體和孔洞。

對于基于MMC的拓撲優(yōu)化，由于顯式的特性，優(yōu)化結(jié)果是純黑白的，即非黑即白。因此，理論上黑白二值圖像和優(yōu)化結(jié)果在本質(zhì)上是一樣的。

2.2.2圖像骨架化

運用圖像處理的細化算法[11]，可以從黑白二值圖像中生成具有單像素寬度的骨架曲線。該細化算法的基本思想即迭代地刪除位于邊緣的像素，直到在不改變拓撲的前提下沒有多余的像素可以被刪除，從而生成具有單像素寬度的骨架曲線。

2.3 提取階段

提取階段可細分為形成候選結(jié)點圖、最終結(jié)點圖和拉壓桿模型3個步驟。

2.3.1形成候選結(jié)點圖

在單像素寬度的骨架線中，通過自身和周圍的8個相鄰像素的取值來確定這個像素點是否為候選節(jié)點。大體來說，從某一像素出發(fā)，至少要形成3條不同的線路情況，該像素點被確定為候選結(jié)點，所有的候選結(jié)點形成候選結(jié)點圖。

2.3.2形成最終結(jié)點圖

由于形成的候選結(jié)點可能在局部相距較近，所以，應(yīng)該采用適當(dāng)?shù)囊?guī)則對其進行簡化。一般來說，如果某兩個結(jié)點相互距離小于一個容許值(取構(gòu)件較大邊長的5%)，這兩個結(jié)點則簡化為一個結(jié)點，即它們的中點所在的結(jié)點，如此重復(fù)進行，直到所有的點之間的距離大于這個容許值，并根據(jù)簡化后的結(jié)點形成最終結(jié)點圖。

2.3.3形成拉壓桿模型

要形成最終的STM，需要確定這些結(jié)點的連接關(guān)系。首先，通過骨架線來識別不同的洞口，具體的識別過程(詳見文獻[6])。然后，將洞口和結(jié)點信息結(jié)合起來，以洞口中心點為中心，按順時針方向?qū)⑴c該洞口有關(guān)的結(jié)點依次連接，使其在添加荷載和支座結(jié)點后形成最終的拉壓桿模型。

3 單側(cè)牛腿算例

由于篇幅所限，本文直接采用文獻[4]中的單側(cè)牛腿算例，并在此基礎(chǔ)上采用自動提取方法形成合適的STM?；炷羻蝹?cè)牛腿的幾何尺寸和荷載信息如圖2所示。

圖2 混凝土單側(cè)牛腿

在拓撲優(yōu)化過程，采用48個可移動變形組件，通過求解體積約束下最小柔度目標(biāo)的優(yōu)化問題，得到單側(cè)牛腿的最優(yōu)拓撲。最優(yōu)化求解器采用著名的移動漸近線方法，通過197次迭代，得到最終的拓撲優(yōu)化結(jié)果。該結(jié)果的圖像像素為333×825，拓撲優(yōu)化結(jié)果和黑白二值圖如圖3所示。

圖3 拓撲優(yōu)化結(jié)果和黑白二值圖

由于采用基于MMC的拓撲優(yōu)化方法，優(yōu)化結(jié)果具有清晰的邊界，而且相比于SIMP和ESO方法，優(yōu)化求解效率較高。

形成的骨架圖和候選結(jié)點圖如圖4所示。通過算法自動得到11個候選結(jié)點(用藍色方形點表示)。此處結(jié)點簡化容許值為135 mm，意味著紅色圓圈內(nèi)相互靠近的結(jié)點需要進行簡化。將11個候選結(jié)點簡化為8個結(jié)點，并添加荷載和支座結(jié)點后形成最終結(jié)點。最后，利用洞口和洞口周邊結(jié)點信息，按逆時針方向依次連接各洞口周邊結(jié)點。最終結(jié)點圖和拉壓桿模型見圖5。經(jīng)過簡化后的最終結(jié)點用圓點表示，方形框內(nèi)的結(jié)點為荷載和支座結(jié)點。各最終結(jié)點平面坐標(biāo)見表1。

表1 最終結(jié)點的平面坐標(biāo)

圖4 骨架圖和候選結(jié)點圖

圖5 最終結(jié)點圖和拉壓桿模型

需要指出的是，通過自動提取方法產(chǎn)生的拉壓桿模型往往并不能直接使用，需要進行人為的變動。其因在于這些模型并不滿足靜力平衡條件，有時甚至是幾何可變體系，需要添加必要的桿件來形成幾何不變體系。這種變動可能因人而異，此處并沒有給出經(jīng)過人為修改的拉壓桿模型圖。

4 結(jié)語

基于圖像處理技術(shù)，提出了一種由細化和提取兩個階段構(gòu)成的自動提取方法，實現(xiàn)了拓撲優(yōu)化結(jié)果與拉壓桿模型有效銜接，并且能夠最大限度地減少人為干預(yù)。在基于可移動變形組件的拓撲優(yōu)化結(jié)果的基礎(chǔ)上，通過單側(cè)牛腿算例闡述了該方法的思路和過程，并證實了其正確性和有效性。