隱藏在等量關(guān)系中的不等關(guān)系

文李蘇萍

數(shù)學通常用數(shù)字與符號來描述事物，從某種角度看，屬于形式科學。當我們將概念或生活中的情境轉(zhuǎn)化為用數(shù)學語言來表述時，因觀察的角度和描述的方式不同，往往會涉及多種關(guān)系。如方程是表示相等關(guān)系的，但在學習方程概念、性質(zhì)以及運用過程中，經(jīng)常也會涉及不等關(guān)系，如果能挖掘出這種隱性的關(guān)系，就可以較全面透徹地理解問題。

一、藏在方程的概念中

例1關(guān)于x的一元二次方程（k-4）x2-2x+1=0 在實數(shù)范圍內(nèi)有解，求k的范圍。

解：根據(jù)題意，得

解這個不等式組，得

【點評】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其中二次項系數(shù)不為0 是對其形式上的必要補充。很多同學對括號內(nèi)的補充內(nèi)容重視不足，解題時經(jīng)常忽視。從此以后，對概念中“隱藏”在括號內(nèi)的條件，我們在解題時要格外留意。

∴0＜t≤7 且t為整數(shù)，故將t=1、2、3、4、5、6、7代入。

當t=1時，m=12；當t=4時，m=3。

所以12+3=15。

【點評】本題乍一看，是求無理方程的解，但其中二次根式中被開方數(shù)的取值范圍才是解題關(guān)鍵，是容易被忽視的“隱藏條件”。可利用被開方數(shù)大于等于0 和m為正整數(shù)這些題目中的隱藏條件，將x的值變?yōu)橛邢蘅赡埽僖灰蝗≈凋炞C，從而求出所有m的值。

由上述兩題我們可以發(fā)現(xiàn)，由于方程概念的嚴謹性，方程本身就含有不等關(guān)系。

二、藏在數(shù)的實際意義中

例3小明用12 元買軟面筆記本，小麗用21元買硬面筆記本。已知每本硬面筆記本比軟面筆記本貴1.2 元，小明和小麗能買到相同數(shù)量的筆記本嗎？

解：設(shè)軟面筆記本每本x元，則硬面筆記本每本（x+1.2）元。

經(jīng)檢驗，x=1.6是所列方程的解。

但按此價格，他們都買了7.5 本筆記本，不符合實際意義。

答：小明和小麗不能買到相同數(shù)量的筆記本。

【點評】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，但題目中隱藏了不等關(guān)系，即實際生活中，筆記本的數(shù)量只可以是正整數(shù)，它排除了分數(shù)、負數(shù)、無理數(shù)等可能。所以用方程解決問題往往需要雙重檢驗：第一，檢驗方程的解是否符合方程本身的特征；第二，檢驗方程的解是否符合實際意義。

例4如圖1，某農(nóng)場老板準備建造一個矩形羊圈ABCD。他打算讓矩形羊圈的一面完全靠著墻MN，墻MN可利用的長度為25m，另外三面用長度為50m的籬笆圍成（籬笆正好全部用完，且不考慮接頭的部分）。農(nóng)場老板想將羊圈ABCD的面積建造成320m2，他的這個想法能實現(xiàn)嗎？為什么？

圖1

解：不能。

根據(jù)題意，得

因此，圍成的矩形羊圈的面積不可能為320m2，農(nóng)場老板的想法不能實現(xiàn)。

【點評】本題涉及一元二次方程的運用，其中農(nóng)場老板的想法是否可行是由一元二次方程根的情況來決定的。本題中，由一元二次方程根的判別式b2-4ac＜0 得出方程沒有實數(shù)根，反映成實際生活，即農(nóng)場老板的想法不可能實現(xiàn)。

圖2

圖3

圖4

【點評】本題的難點在于先在變中找不變，再根據(jù)不變找出變化的范圍。如圖4，隨著△ABC繞著點C旋轉(zhuǎn)，各線段、圖形的面積的大小也在不斷地變化，但PQ=PB+BQ、△PBC∽△CBQ這樣的關(guān)系卻始終沒變。再運用“消元”思想，將兩個關(guān)系“合二為一”，得出PB、PQ的等量關(guān)系式。此時，可根據(jù)方程的特征，將其看作是含參數(shù)a的一元二次方程，再利用根的判別式這個較隱蔽的不等關(guān)系，得出a的取值范圍，從而得解。

數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科，對于同一個問題的表述有時涉及多種數(shù)量關(guān)系。這些關(guān)系有些較為明顯，有些較為隱蔽。這就需要同學們平時解題時，做個勤于思考、善于挖掘的有心人。