明辨易錯(cuò)點(diǎn) 關(guān)鍵看本質(zhì)

文余葉軍

方程與不等式是有效刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問題的重要工具，是培養(yǎng)良好素養(yǎng)的有效載體，因此一直是中考考查的重要內(nèi)容。它們?cè)谥锌荚囶}中的定位以簡(jiǎn)單題和中等難度題為主，主要從概念、解法和應(yīng)用三個(gè)方面進(jìn)行考查。下面就同學(xué)們?cè)诜匠膛c不等式學(xué)習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行辨析，透過本質(zhì)抓住解題的關(guān)鍵，以幫助大家更好地掌握知識(shí)。

一、分式方程解的特殊性

【錯(cuò)解】A。

【錯(cuò)誤原因】此題選項(xiàng)A 錯(cuò)誤是因?yàn)闆]有驗(yàn)根，只看到“解為正數(shù)”，忽視了方程是否有解。分式方程本身隱含的條件是分母不為0。此題是要在有解的前提下滿足正整數(shù)的條件，缺一不可。

【正解】解分式方程得x=4-m，

∵該分式方程有解，

∴x≠2，即4-m≠2，

∴m≠2。

∵分式方程的解為正數(shù)，

∴x=4-m＞0，

∴m＜4。

又∵m為正整數(shù)，

∴m的值為1，3。

故選C。

【點(diǎn)撥】本題考查的本質(zhì)是正確理解分式方程正根的概念。利用等式性質(zhì)，可得到整式方程；利用不等式可得到m 的取值范圍，又因?yàn)閙 為正整數(shù)，所以得到兩個(gè)正整數(shù)解。在解題時(shí)，我們一定要考慮分式方程有意義。

二、一元二次方程實(shí)數(shù)根的情況

例2已知關(guān)于x 的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0 有實(shí)數(shù)根，則m 的取值范圍是（ ）。

【錯(cuò)解】A。

【錯(cuò)誤原因】沒有理解一元二次方程“有實(shí)數(shù)根”包含“有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”和“有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”，以至于缺少一種情況。只有對(duì)一元二次方程根的判別式情況真正理解，才能避免出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤。

【正解】∵關(guān)于x 的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有實(shí)數(shù)根，

∴Δ=4+4（m-2）≥0，

∴m≥1。

故選C。

【點(diǎn)撥】此題考查用根的判別式判斷方程根的情況，解題的關(guān)鍵是明確當(dāng)一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，b2-4ac≥0。同時(shí)考查了不等式的解法，是對(duì)不等式解的意義的靈活應(yīng)用。此類題應(yīng)緊扣根的判別式的符號(hào)與一元二次方程根的關(guān)系，明辨題意，正確求解。

三、不等式組解集的確定

【錯(cuò)解】-1＜x＜3。

【錯(cuò)誤原因】如果在解不等式時(shí)出錯(cuò)，就會(huì)直接導(dǎo)致解集的公共部分出錯(cuò)。另一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是找解集的公共部分時(shí)記錯(cuò)規(guī)律，或通過數(shù)軸畫圖找公共部分時(shí)，方向畫反，均可能造成錯(cuò)解。

【正解】解不等式①，得x＜1。

解不等式②，得2（2x+1）＜5（x+1），

4x+2＜5x+5，

x＞-3。

在數(shù)軸上表示不等式①②的解集：

由圖可知，不等式組的解集是-3＜x＜1。

【點(diǎn)撥】首先解每個(gè)不等式，兩個(gè)不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集。解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，找解集的規(guī)律：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到。用數(shù)形結(jié)合思想，畫數(shù)軸找一元一次不等式組的公共部分，是最形象直觀、不易出錯(cuò)的好方法。