“方程”備考指南

文崔 德

方程是刻畫現實世界數量關系的重要數學模型，在全國各地區中考試題中，考查的內容是比較一致的，即以解法為重要內容，以應用為主要載體，突出考查對方程基礎知識的理解、對基本技能的把握，考查建模能力，凸顯方程的工具性，強化應用意識。下面通過對近幾年各地區中考中有關“方程”的一些典型試題進行分析，以期對同學們的中考復習有所幫助。

一、關注核心概念的考查

例1 （2020·上海）如果關于x的方程x2-4x+m=0 有兩個相等的實數根，那么m的值是________。

【分析】由一元二次方程根的判別式為0，列出關于m 的方程即可得出答案。

解：∵關于x 的一元二次方程x2-4x+m=0有兩個相等的實數根，

∴（-4）2-4?1?m=0，

解得m=4。

【點評】本題考查的是一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式的含義是解題的關鍵。

二、關注思想方法的考查

例2（2019·四川內江）若x、y、z 為3y2+z2的最大值是________。

【分析】利用加減消元法或代入消元法消去一個未知數，找到x 與z，y 與z之間的關系，則可以將代數式x2-3y2+z2化成只含有一個未知數的二次三項式，最后用配方法求出代數式的最大值。

當z=-5 時，代數式x2-3y2+z2取最大值26。

【點評】此題圍繞消元和化歸，考查了解方程的本質方法。

三、關注學習過程的考查

例3（2018·吉林）如圖是學習方程應用時，老師板書的問題和兩名同學所列的方程。

根據以上信息，解答下列問題。

（1）冰冰同學所列方程中的x 表示__________________，慶慶同學所列方程中的y表示__________________；

（2）在兩個方程中任選一個，寫出它的等量關系；

（3）解（2）中你所選擇的方程，并回答老師提出的問題。

【分析】只有真正明確第（1）問中所設未知數x、y 表示的含義，才能正確寫出第（2）問中的相等關系，進而得出實際問題中的解。

解：（1）x 表示甲隊每天修路的長度，y表示甲隊修路400米所需時間或乙隊修路600米所需時間。

（2）冰冰用的等量關系是：甲隊修路400 米所用時間=乙隊修路600 米所用時間；

慶慶用的等量關系是：乙隊每天修路的長度?甲隊每天修路的長度=20米。（任選一個即可。）

答：甲隊每天修路的長度為40米。

【點評】此題模擬課堂的學習情境，重點考查對所設未知量意義的理解，體現了對學習過程的考查。

四、關注數學文化的考查

例4（2020·江蘇揚州）《九章算術》是中國傳統數學的重要著作之一，奠定了中國傳統數學的基本框架。其中記載著一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1 丈（1 丈=10 尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3 尺，試問折斷處離地面多高？答：折斷處離地面________尺高。

【分析】此題取材于蘇科版數學教材八年級下冊第86 頁例1，運用勾股定理建立方程可以解決。

解：設折斷處離地面x尺。

根據勾股定理，得x2+32=（10-x）2，

解這個方程，得x=4.55。

答：折斷處離地面4.55尺。

【點評】此題直接呈現《九章算術》中的問題，我們能明顯感受到以方程為工具在解決實際問題中的價值，折射出我國數學文明的源遠流長。

五、關注建模能力的考查

例5（2020·山東菏澤）2020 年史上最長的寒假結束后，學生復學。某學校為了增強學生體質，鼓勵學生在不聚集的情況下加強體育鍛煉，決定讓各班購買跳繩和毽子作為活動器材。已知購買2根跳繩和5個毽子共需32元；購買4根跳繩和3個毽子共需36元。

（1）求購買一根跳繩和一個毽子分別需要多少元；

（2）某班需要購買跳繩和毽子的總數量是54，且購買的總費用不能超過260 元；若要求購買跳繩的數量多于20根，通過計算說明共有哪幾種購買跳繩的方案。

【分析】本題主要考查二元一次方程組、一元一次不等式的應用。

解：（1）設購買一根跳繩需要x 元，一個毽子需要y元。答：購買一根跳繩需要6元，一個毽子需要4元。

（2）設學校購進跳繩m 根，則購進毽子（54-m）個。

根據題意，得6m+4（54-m）≤260，

解這個不等式，得m≤22。

又m＞20，且m為整數，

∴m=21或22。

∴共有兩種購買跳繩的方案：

方案①：購買跳繩21根；

方案②：購買跳繩22根。

【點評】分析問題中數量之間的相等或不等關系，構建方程或不等式模型是解決實際問題的關鍵。