利用整體思想巧解方程（組）與不等式（組）

文王 萍

利用整體思想解方程（組）或不等式（組），是指對問題的整體結構進行分析，發現問題的整體性結構特征，再用“集成”的眼光，考慮將其中某些數或式看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的、有意義的整體處理，使方程（組）或不等式（組）化繁為簡，從而快速有效地解決問題。下面圍繞整體思想方法列舉幾道題，供同學們學習時參考。

一、整體代入

【分析】此題我們一般會用代入消元法消去x，但計算較復雜。如果將方程①變形為3x+6y=y+21，即3（x+2y）=y+21，再將方程②整體代入，即可快速解決問題。

解：由①，得3x+6y=y+21，

即3（x+2y）=y+21。③

將②代入③，得3×8=y+21，

解得y=3。

將y=3代入②，得x=2。

二、整體換元

【分析】直接用代入消元法或加減消元法求解，運算量比較大，也容易出錯。如果把方程中的x+3y 和x-y 分別看作一個整體，通過整體換元即可解決問題。

例4解方程：144x2+6x-5=0。

【分析】這是一元二次方程，可用配方法或因式分解法求解，但計算量大且容易出錯。可設6x=y，將系數的絕對值化小，從而使題目簡單化。通過整體換元將原方程化成4y2+y-5=0，解出y，從而求出x。

三、整體加減

【分析】本題可用加減消元法解出x、y 的值，代入x-y 求值即可解決。但仔細觀察，方程①②中x、y 的系數是顛倒的，這樣的方程組我們稱之為輪換式方程組。可以通過②-①得到2x-2y=-2，從而求得x-y的值。

解：由②-①，得2x-2y=-2，

解得x-y=-1。

【分析】這是一個含參數的方程組問題，用代入消元法或加減消元法解出

將x、y代入不等式組中，得到關于m的不等式組，從而求出不等式組的解集，并得出m的整數值。然而通過再次觀察，我們不難發現方程①②可通過整體加減直接得到不等式組，從而快速地解決此題。

解：由①+②，得3x+y=3m+4，