縱磁作用下真空電弧單陰極斑點等離子體射流三維混合模擬*

王振興 曹志遠 李瑞 陳峰 孫麗瓊 耿英三 王建華

(西安交通大學, 電力設備電氣絕緣國家重點實驗室, 西安 710049)

真空電弧的特性直接受到從陰極斑點噴射出的等離子體射流的影響, 對等離子體射流進行數值仿真有助于我們深入了解真空電弧的內部物理機制.然而, 磁流體動力學和粒子云網格仿真方法受限于計算精度和計算效率的原因, 無法有效地應用于真空電弧等離子體射流仿真模擬.本文開發了一套三維等離子體混合模擬算法, 并在此基礎上建立了真空電弧單陰極斑點射流仿真模型, 模型中將離子作宏粒子考慮, 而電子作無質量流體處理, 仿真計算了自生電磁場與外施縱向磁場作用下等離子體的分布運動狀態.仿真結果表明, 單個陰極斑點情況下真空等離子體射流在離開陰極斑點后擴散至極板間, 其整體幾何形狀為圓錐形, 離子密度從陰極到陽極快速下降.外施縱向磁場會壓縮等離子體, 使得等離子體射流徑向的擴散減少并且軸線上的離子密度升高.隨著外施縱向磁場的增大, 其對等離子體射流的壓縮效應增強, 表現為等離子體射流的擴散角度逐漸減小.此外, 外施縱向磁場對等離子體射流的影響也受到電弧電流大小的影響, 壓縮效應隨電弧電流的增加而逐漸減弱.

1 引 言

真空電弧是一種特殊的金屬蒸氣放電現象[1],其放電介質來自電極材料的蒸發和電離, 在陽極未活躍時該放電通道完全由陰極表面離散的陰極斑點發射出的等離子體射流組成.每個陰極斑點所能承載的電流取決于電極材料, 當電弧電流超過一定值時, 則需要一定數量的陰極斑點射流共同承擔.作為等離子體物理領域一種常見的放電形式, 真空電弧在真空斷路器[2]、真空鍍膜[3]和航天電推進器[4,5]等應用中都扮演著非常重要的角色.

作為一種重要的等離子體控制手段, 外施縱向磁場對于真空電弧的宏觀形貌及微觀參數分布有著重要的影響[6].國內外研究者針對外施縱磁下真空電弧等離子體進行了大量的實驗與數值仿真研究.Rondeel[7]通過實驗和理論分析發現, 在磁場的作用下, 等離子射流中的電子受磁場作用做減速運動并產生徑向電場, 離子的運動受該徑向電場的影響; Keidar 等[8]建立了大電流真空電弧模型, 仿真解釋了外施縱向磁場與電弧電壓之間的“L”形關系曲線; 王立軍等[9]基于電子和離子雙流體模型建立了大電流情況下真空電弧的magneto-hydrodynamics (MHD)模型, 仿真發現外施馬鞍形分布的縱向磁場能夠更有效地抑制大電流情況下真空電弧的收縮; Jia 等[10]使用MHD 方法建立了外施縱向磁場下考慮陰極處電流密度分布的大電流真空電弧模型, 考慮了陰極斑點分布不均對于真空電弧特性的影響; Wang 等[11]實驗研究了外施縱向磁場對真空電弧等離子體射流的影響, 發現隨著縱向磁場強度的增加, 等離子體射流開始收縮并且其幾何形狀從圓錐形逐漸變為圓柱形.

相比于實驗研究方法, 數值仿真計算因其高效和經濟的特點已經成為了研究等離子體物理問題的重要工具.現有文獻對于外施縱向磁場下真空電弧等離子體的仿真研究大都集中于多個陰極斑點同時存在的情況下[8?10], 而較少地關注單個陰極斑點等離子體射流情況下的物理問題.其原因在于現有的仿真計算方法在處理單個陰極斑點等離子體射流時, 無法有效地平衡計算精度和計算效率二者之間的關系.對于MHD 仿真方法, 當電弧電流較小時, 極板間等離子體密度較低且極不均勻, 碰撞頻率相對較低, 局部區域可能會偏離熱平衡條件從而導致流體假設不再適用.另一種常常采用的等離子體仿真方法是基于第一性原理的粒子云網格(particle-in-cell, PIC) 仿真方法[12].此種方法將電子和離子作為宏粒子考慮, 可以更精確地描述等離子體特性.但是由于要追蹤大量宏粒子的運動信息, 使得仿真計算對于計算機的性能要求較高, 耗時較長, 因此只適合將其應用于時空尺度較小或者等離子體密度較低的物理問題之中.

最近越來越多的研究者開始關注混合等離子體仿真方法(hybrid plasma simulation), 以解決某些特定物理問題仿真中存在的計算精度與仿真效率之間的矛盾[13?15].混合仿真方法可以靈活地將不同類型的粒子建模為宏粒子或者流體, 還可以針對物理問題在不同區域采用不同的建模方法, 使得其可以在保留特定粒子動力學效應的前提下平衡仿真模型的效率和準確性.但是, 此種仿真方法尚處于探索階段, 并無成熟的商業軟件可用, 為相關研究帶來了困難.

本文的目的是通過混合等離子體仿真方法研究外施縱向磁場對真空電弧單陰極斑點等離子體射流特性的影響.第2 節首先介紹了真空電弧單陰極斑點等離子體射流物理模型, 在模型中將離子作宏粒子考慮而電子作無質量流體處理, 同時考慮了電弧電流產生的自生磁場, 然后介紹了本課題組開發的一套等離子體混合仿真代碼的數學模型及其推進步; 第3 節展示了不同外施縱向磁場強度下的仿真計算結果; 第4 節從能量守恒的角度理論分析了外施縱向磁場對于單陰極斑點等離子體射流擴散半徑的影響, 驗證了仿真結果的正確性; 第5 節為本文的結論部分.

2 真空等離子體射流建模

2.1 物理模型與假定

模型的建立基于如下假定:

1)等離子體射流完全電離, 極板間等離子體僅包括離子和電子兩種帶電粒子, 不考慮中性粒子的作用;

2)等離子體是準中性的, 因此給定離子的電荷密度, 可以確定電子密度;

3)在求解區域中, 等離子體參數滿足le? d,τe? te, 其中le為電子平均自由程, d 為電極間距,τe為電子平均碰撞時間, te為電子從陰極運動到陽極所需時間, 因此在仿真模型中用流體理論來近似描述電子輸運過程;

4)仿真模型中忽略了電子的慣性分量, 電子被認為是無質量流體, 并且其溫度保持恒定[16];

5)在本模型中“陰極斑點”不是真正的陰極斑點, 而是略微高于真實陰極斑點的等離子體射流的截面, 模型中其僅作為等離子體射流源存在, 不考慮近陰極斑點區域等離子體產生的細致過程, 下文為了描述方便, 仍稱之為陰極斑點, 并且針對不同大小的電弧電流和外施磁場, 陰極斑點的大小均保持不變;

6)不考慮陰極斑點的運動.

真空電弧單陰極斑點等離子體射流模型如圖1所示, 等離子體射流由陰極表面的陰極斑點噴射出的電子和離子組成.電子和離子從陰極斑點發射出后擴散至極板間, 在向陽極運動的過程中同時伴隨著沿徑向的擴散運動.根據實驗測量結果[17], 在真空電弧中陰極斑點噴射出的離子的動能為40—60 eV, 而離子的溫度只有0.5—1.5 eV, 所以離子的運動更多體現的是粒子特性.而電子則剛好相反, 其熱速度要遠大于其漂移速度, 所以電子的運動更多體現的是氣體特性.因此在我們的仿真模型中, 將離子當作宏粒子處理, 而電子則當作流體處理.

圖1 物理模型示意圖Fig.1.The schematic of physical model.

2.2 數學模型

電子被當作無質量流體, 其動量方程用下式描述:

式中ne, me, ve和e 分別代表電子數密度、電子質量、電子速度和電子電荷; Pe是電子壓力; j 是電流密度; σ 是等離子體電導率; E 和B 分別為電場強度和磁感應強度.(1)式等號右邊的最后一項代表電子和離子之間碰撞阻力的影響[18].

電子被當作理想氣體:

式中, kB是玻爾茲曼常數, Te是電子溫度.電子和離子之間的碰撞頻率 νei、等離子體電導率 σ 分別為[19]:

式中, lnΛ 為庫侖常數, Zi為離子平均電荷.

離子作為宏粒子考慮, 其位移由運動方程決定, 加速度由洛倫茲力決定:

式中, mi, xi, qi和vi分別代表離子質量、離子位移、離子電荷和離子速度.(6)式等號右邊的最后一項和電子動量方程(1)式中的對應項平衡.

電子密度和離子密度滿足電中性條件:

電子和離子是電流的載體, 電流密度與電子和離子運動速度之間的關系為

電流密度由安培環路定律給出, 其中位移電流項被忽略(達爾文靜磁近似):

式中μ0為真空磁導率.磁場的演變遵循法拉第電磁感應定律:

除了上面方程中的安培環路定律(9)式和電磁感應定律(10)式, 麥克斯韋方程組還另外包括磁通連續性原理和高斯定律兩個方程.在本文的仿真模型中, 磁場被儲存在仿真網格的網格面上, 并且直接在網格面上計算其變化.因此當磁場按照電磁感應定律計算時, 在數值上磁場將會保持為舍入誤差內的無散度場, 滿足了磁通連續性原理[20].由于電中性方程(7)式, 高斯定律滿足 ? ·D =0.

(1)式—(10)式就是等離子體混合算法所包含的泛定方程, 在每個時間步結束后需要更新并代入下個時間步的變量包括離子的速度信息和位置信息( vi,xi)及磁感應強度(B).代碼推進采用蛙跳格式, 離子速度存儲在時間整點上, 離子位置和磁感應強度則存儲在時間半點上.在t = n 時間步時變量信息為(), 程序執行步驟如下.

同時基于離子的位置信息及電中性條件(7)式,獲得t = n 時刻的離子數密度和電子數密度及t = n + 1/2 時刻的電子數密度

2)使用t = n – 1/2 時刻的磁感應強度Bn?1/2計算電流密度 jn?1/2:

3)采用預測-修正算法[21]分兩步推動磁感應強度從 Bn?1/2到 Bn+1/2, 首先是預測步.計算t =n 時刻的電子速度(*號是由于此處使用了t =n – 1/2 時刻的電流密度 jn?1/2代替 t = n 時刻的電流密度 jn, 從而導致等號左右兩端時間步不匹配):

計算t = n 時刻的電場強度 En?:

使用t = n 時刻的電場強度 En?推動磁感應強度從Bn?1/2到 Bn?:

4)修正步.使用t = n 時刻的磁感應強度Bn?計算電流密度 jn:

計算t = n 時刻的電場強度 en:

使用t = n 時刻的電場強度 En推動磁感應強度從 Bn?1/2到 Bn+1/2:

5)更新離子速度.首先使用t = n+1/2 時刻的磁感應強度 Bn+1/2計算電流密度 jn+1/2:

然后計算t = n+1/2 時刻的電場強度E(n+1/2)?(*號是由于此處使用了t = n 時刻的電子速度

使用Boris 算法更新離子速度從

t = n 時間步結束后, 離子速度、離子位置和磁感應強度的信息從更新到了仿真計算進入下一個時間步.程序的執行框圖如圖2 所示.

2.3 邊界條件

圖2 程序執行步驟Fig.2.Execution steps of the program.

對于陰極側, 陰極斑點作為等離子體源, 其有效半徑設置為R = 1 mm, 陰極側除陰極斑點之外的區域設置為吸收邊界.計算區域陰極側的電子溫度設置為Te= 2.5 eV, 離子溫度為Ti= 0.5 eV, 離子初速度在軸向上分量vi0, 離子初速度為1.0 ×104m/s, 離子平均電荷取Zi= 1.85.假定陰極斑點處電流密度j0和離子密度n0分布均勻, 滿足如下條件:

式中: I0是陰極斑點總電流; γ 為電極侵蝕率, 取35 μg/C (電極選為純銅觸頭); vi0為離子初速度在軸向上的分量.對于磁感應強度, 由陰極側電流密度分布計算磁矢位 A 來給出其第一類邊界條件:

對于陽極側, 假定其在現有條件下還不活躍,沒有向極板間噴射金屬蒸氣, 被看作是電流和粒子收集器.整個陽極表面看作是一個等電位面, 在陽極和等離子體之間有一個陽極鞘層, 陽極鞘層的電壓降用下式表示[22]:

式中: φsh表示陽極鞘層電壓; jth表示隨機電子電流密度, 和電子溫度相關; je表示電子電流密度.

3 仿真結果

在本文中, 模擬區域大小為20 mm × 20 mm ×10 mm, 陰極和陽極分別位于z = 0 和z = 10 mm處, 陰極斑點被設置在陰極中心, 外施縱向磁場在整個仿真區域中均勻分布.

三維空間的離子數密度分布如圖3 所示.電弧電流為30 A, 無外施縱向磁場(Bz= 0 mT).從圖3可以看到, 等離子體射流在離開陰極斑點后呈錐形擴散狀, 離子數密度從陰極到陽極逐漸減小, 且射流中心的離子數密度大于射流邊緣處的離子數密度.對于單陰極斑點的等離子體射流來說, 由于電荷電流較小, 所以其自生磁場對等離子體射流的影響較弱.所以等離子體射流的形狀受離子初始噴射角的影響較大.

圖3 三維空間離子數密度分布Fig.3.The distribution of ion number density in 3D space.

由于在本文中只考慮了單個陰極斑點等離子體射流, 因此等離子體參數在x-z 平面和y-z 平面具有相同的對稱分布, 因此在圖4 中僅展示了電流和自生磁場在x-z 平面的分布.在圖4(a)中軸向電流的方向從陽極指向陰極, 由圖3 可知在等離子體射流從陰極向陽極運動的過程中, 作為電流載流體的等離子體橫截面逐漸增大, 所以在圖4(a)中可以觀察到軸向電流密度從陰極到陽極逐漸減小.值得注意的是, 等離子體射流電流密度分布可能與等離子體密度分布不同.原因是等離子體密度分布主要和離子與電子的位置有關, 而電流密度的分布則主要受電子的漂移速度影響.在真空電弧中, 由于電中性條件, 電子和離子的密度相同, 但是由于離子電流只占總電流的10%[23], 因此從(8)式中可以計算得到電子的漂移速度約為離子的11 倍.

圖4(b)展示了方向與平板電極平行的等離子體射流自生環向磁場, 其方向遵守右手螺旋定則.從圖中可以看到磁場分布和等離子體射流的錐形分布相對應, 在軸線上(x = y = 0)自生磁感應強度為0, 并且磁感應強度從中軸線上到仿真區域的徑向邊界先上升后下降.這是由于等離子體電流通道并未占據整個仿真區域, 所以自生磁感應強度的最大值出現在等離子體射流邊緣處.

圖4 (a) 軸向 電流密度分布; (b)自生磁感應強度分布I = 30 A, Bz = 0 mTFig.4.(a) The distribution of axial current density; (b) the distribution of self-generated azimuthal magnetic field I =30 A, Bz = 0 mT.

圖5 在I= 30 A 時不同外施縱磁條件下離子數密度分布 (a) Bz = 0 mT; (b) Bz = 25 mT; (c) Bz = 50 mT;(d) Bz = 75 mTFig.5.Ion number density distributions under different external AMFs at I= 30 A: (a) Bz = 0 mT; (b) Bz = 25 mT;(c) Bz = 50 mT; (d) Bz = 75 mT.

圖5 展示了電弧電流為30 A 時不同外施縱向磁場強度(0, 25, 50, 75 mT)下離子數密度在x-z平面的分布.從圖中可以看出, 在同等電弧電流情況下, 隨著縱向磁場強度的增加, 離子密度分布在徑向的擴散變得越來越小, 射流形狀逐漸由錐形被壓縮成圓柱形.這說明外施縱向磁場對離子的徑向擴散有抑制作用, 隨著縱向磁場磁感應強度的增加,縱向磁場對等離子體射流的壓縮效應越來越強.

圖6 展示了電弧電流為30 A 時, 不同外施縱向磁場強度下軸線上(x = y = 0)從陰極到陽極的離子數密度變化.從圖6 可以看到, 不同外施縱向磁場情況下, 離子數密度的最大值相同且均出現在陰極表面, 然后從陰極到陽極逐漸降低.同時與圖5相對應, 施加縱向磁場后, 離子徑向擴散減少導致等離子體被壓縮, 使得軸線上離子數密度升高.并且外施縱向磁場越大, 軸線上離子數密度越高.在陰極斑點附近(z = 0—0.5 mm), 離子數密度的變化趨勢受縱向磁場的影響不明顯.

圖6 不同外施縱磁條件下軸線上離子數密度變化Fig.6.Ion number density distributions along the axis under different external AMFs.

圖7 展示了電弧電流為30 A 時, 外施縱向磁場分別為0 mT 和50 mT 時, 離子沿x 正方向的速度在x-z 平面的相空間分布.從圖中的粒子分布可以看到, 在外施縱向磁場的作用下單陰極斑點等離子體射流沿徑向的擴散減少, 說明外施縱向磁場對等離子體射流的擴散起到了很強的束縛作用, 這一現象和圖5 中的離子數密度分布相對應.同時觀察離子沿x 方向的速度分布可以看出, 在外施縱向磁場的作用下, 離子沿徑向速度的絕對值也因受到限制而變小.

圖8 展示了外施縱向磁場為75 mT 時不同電弧電流大小 (30, 60, 90, 120 A)下離子數密度在x-z 平面的分布.從圖中可以看到, 當外施縱向磁場強度不變時, 隨著電弧電流的逐漸增大, 等離子體射流的形狀逐漸從圓柱形變成錐形, 離子在徑向上的擴散逐漸增多.這說明對于單陰極斑點等離子體射流來說, 增大電弧電流可以抑制外施縱向磁場對于等離子體射流的壓縮效應.

可以用軸線上陽極處離子密度和陰極處離子密度的比值來衡量外施縱向磁場對等離子體射流的壓縮效應.不同情況下陽極處離子數密度與陰極處離子數密度的比值如圖9 所示.當無外施縱向磁場時, 等離子體射流的擴散不受影響, 不同電弧電流所對應的比值幾乎相等.在同等電弧電流情況下, 隨著縱向磁場強度的增加, 軸線上陽極處離子數密度與陰極處離子數密度的比值也隨之變大.由于電弧電流相同時陰極處離子數密度一致(圖6),這說明陽極處離子數密度隨著外施縱向磁場的增大而逐漸升高.由此可知縱向磁場對等離子體射流的壓縮效應會隨著縱向磁場強度的增加而越來越強.在同等外施縱向磁場情況下, 隨著電弧電流的逐漸增大, 比值隨之變小.這說明電弧電流的升高會抑制縱向磁場對等離子體射流的壓縮效應.

圖7 不同外施磁場條件下離子沿x 方向速度在x-z 平面的相空間分布Fig.7.Phase diagram of ion velocity along x-direction in x-z plane under different external AMFs.

圖8 在Bz = 75 mT 時不同電弧電流條件下離子數密度分 布 (a) I = 30 A; (b) I = 60 A; (c) I = 90 A; (d) I =120 AFig.8.Ion number density distributions with different arc currents at Bz = 75 mT: (a) I = 30 A; (b) I = 60 A; (c) I =90 A; (d) I = 120 A.

圖9 軸線上陽極處離子數密度與陰極處離子數密度的比值Fig.9.The ratios of the ion number density at the anode to that at the cathode on the axis.

4 討 論

通過以上的仿真結果可以發現, 外施縱向磁場會壓縮等離子射流, 抑制離子沿徑向的擴散使得等離子體射流的擴散半徑減小, 同時這種壓縮效應不僅和外施縱向磁場的強度有關, 而且和電弧電流的自身大小有關.該模擬結果和Wang[11]在實驗中觀察到的現象一致.在本節中, 我們從能量守恒的角度對外施縱磁對等離子體射流的壓縮效應進行理論分析.

如圖3 所示, 離子從陰極斑點噴射出之后呈圓錐形擴散.其軸向速度使其從陰極向陽極運動, 其徑向速度使其向四周擴散.在單陰極斑點等離子體射流情況下, 由于電弧電流較小, 所以可以忽略自生環向磁場對其的影響.等離子體和磁場的總能量由3 部分組成: 電子能量、離子能量、磁場能量.其中電子能量主要由電子溫度決定(在真空電弧中電子的熱速度遠大于其漂移速度), 假設電子溫度不變, 則電子能量保持恒定.離子能量由離子沿徑向速度的動能和沿軸向速度的動能組成, 又由于外施縱向磁場對軸向速度沒有影響, 可以認為離子的軸向速度在整個過程中保持不變.所以等離子體射流在外施縱向磁場中的運動過程可以簡化為離子的徑向動能和等離子體磁場能量之間的相互轉換過程.對于陰極斑點附近一個長為Δz 的等離子體圓柱(Δz 取值極小), 由能量守恒可得:

式中, M0為該等離子體圓柱的質量, vr0為離子初始徑向速度, r0為陰極斑點半徑, vr為離子徑向速度, r 為等離子體射流半徑.從圖7 中可以發現, 在外施縱磁作用下, 離子的徑向速度在陰極斑點附近最大.隨著等離子體射流的逐漸擴散, 等離子體射流半徑逐漸增大, 離子的徑向速度也逐漸變小.所以當滿足vr= 0 時, 等離子體射流半徑r 取到最大值.將vr= 0 和(31)式代入(30)式可得:

由于等離子體射流半徑最大值r 遠大于陰極斑點半徑r0, 所以由(32)式可得:

將陰極斑點處離子密度n0的表達式(24)式代入(33)式可得:

從(34)式中可以發現等離子體射流半徑的最大值r 和外施縱向磁感應強度Bz的取值成反比,體現為縱向磁場對等離子體射流有壓縮效應, 當外施縱向磁場的強度值增大時, 等離子體射流的擴散半徑會減小.同時從(34)式中還可以發現, 在外施縱向磁場強度不變Bz的情況下, 電流密度j0的增大可以減弱外施縱向磁場對等離子體射流的壓縮效應, 該結論與仿真結果與圖9 相對應.

5 結 論

本文基于三維混合等離子體仿真方法建立了外施縱向磁場下真空電弧等離子體射流仿真模型,模型中將離子作為宏粒子考慮, 而電子作為無質量流體處理, 仿真計算了單陰極斑點等離子體射流在自生電磁場與外施縱向磁場共同作用下等離子體的分布運動狀態.仿真結果如下.

1)單陰極斑點等離子體射流在離開陰極斑點后呈錐形擴散至極板間, 離子密度從陰極到陽極快速下降.在本文的仿真條件下(30 A ≤ I ≤ 120 A),等離子體射流產生的自生磁場不會對等離子體射流本身產生顯著的影響.

2)外施縱向磁場對等離子體射流的擴散有壓縮效應.在外施縱向磁場的作用下, 離子沿徑向的運動受到抑制, 其徑向速度變小導致等離子體射流的擴散半徑變小, 同時使得沿軸線上的離子密度升高.

3)外施縱向磁場對等離子體射流的壓縮效應與外施縱向磁場的強度值及等離子體射流自身的電流大小有關.在等離子體射流自身電流大小不變的情況下, 當縱向磁場強度值逐漸增大時, 壓縮效應逐漸增強; 在外施縱向磁場強度值不變的情況下, 當等離子體射流自身的電流逐漸變大時, 壓縮效應逐漸減弱.

作者衷心感謝鞍山師范學院的王虹宇教授在計算方法方面的幫助.