問題提出教學對學生數學成績和數學情感影響的實驗研究

張 丹，姚一玲，蔡金法

問題提出教學對學生數學成績和數學情感影響的實驗研究

張 丹1，姚一玲2，蔡金法4，3

（1．北京教育科學研究院，北京 100036；2．杭州師范大學 教育學院，浙江 杭州 311121；3．西南大學 數學與統計學院，重慶 400715；4．美國特拉華大學 數學系，紐瓦克 19716）

基于一項縱向研究，考察數學問題提出教學對學生數學學業成績和情感的影響．其中問題提出、問題解決及計算題用于調查學生的數學學業成績，堅毅力和數學比喻任務用于調查學生的數學情感．經過一年的教學實驗研究，發現實驗組學生在數學學業成績和數學情感方面的提高程度都顯著高于控制組學生．特別地，相較于中校和強校，實驗組弱校學生獲得了更多發展．

問題提出；問題解決；數學情感；問題提出教學

發展學生的問題提出意識和能力，無論是在中國的數學課程標準還是全美數學教師聯合會（NCTM）頒布的系列數學課程文件中都被作為課程目標所強調，而且近幾年研究者也越來越重視問題提出的教育價值，也有越來越多的學者把問題提出作為一種教學手段應用于數學課堂教學中．蔡金法等人指出，問題提出能夠提供給學生更多的學習機會，從而促進學生的數學學習[1–2]．那么，在課堂中如何運用問題提出開展教學，以及問題提出教學對學生數學學習的影響及背后的機制仍然需要更多研究來揭示．因此，文章基于一項縱向教學實驗研究，揭示運用問題提出教學對學生數學學習的影響，從而進一步闡釋問題提出的價值．研究問題為：問題提出教學實驗對學生數學學習的影響如何？

1 理論基礎

1.1 問題提出與學生數學學習

問題提出既可以作為課程和教學目標，也可以成為一種教學手段[1]．事實上，問題提出教學早在1945年波利亞的《怎樣解題》一書中就有所體現，他將問題提出視為問題解決過程中的一部分，并舉例說明了如何根據已知條件提出類似問題，以便于解決現有問題或解決對現有問題進行變式的問題[3]．作為一種教學手段，問題提出能夠促進學生的數學學習、創造力，以及數學積極情感的發展[4–8]．自《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確強調要培養學生的問題提出能力以來，無論是教材還是課堂教學都在一定程度上開始突出問題提出的培養目標．但課堂中所使用的有限的問題提出教學大部分是為了問題解決教學服務的，教師更多的是將問題提出作為幫助學生解決問題的工具，而較少關注問題提出教學對學生數學學習過程的其它影響，也很少將問題提出作為一種教學目標或獨立的教學手段應用在教學過程中．

學生的問題提出能力與其問題解決能力之間存在顯著相關性．相較于問題解決，問題提出是一種更為主動的學習方式，學生在自己提出問題后，還可以與同伴的問題進行比較，或解決自己和同伴提出的問題，這些學習任務有助于學生積極和持續地參與到數學學習過程中．而且，盡管不同的學生所提的問題在廣度、綜合程度、挑戰性上有所不同，但他們幾乎都能參與到問題提出的數學活動中，這也有助于激發學生的數學學習興趣和自信心等，學生也普遍反映喜歡這樣的學習方式[1，9–11]．

1.2 從教師問題提出教學的學習到教師問題提出教學的實踐

培養學生發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力是中國數學課程標準的主要目標之一．《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在描述數學學科核心素養時強調，從實際情境中發現和提出問題是學生建模能力，乃至學業質量水平的重要組成要素．課標不僅提倡在課程和教學過程中要涉及更多的問題提出活動，還特別提出要運用問題提出進行數學教學與評估．此外，2020年修訂版標準還指出教師自己需要習慣于發現和提出數學問題，并且要提高為學生創造問題提出學習環境的能力[12]．然而，通過對教材中問題提出內容的分析發現，中國教材中只涉及到很少部分的問題提出任務[13]．研究者還發現，教材中僅有的少部分問題提出任務在內容的分布上也不均勻，主要集中在數與運算部分，而在代數、幾何和測量內容上很少運用問題提出[13]．

由于教材只涉及到很少部分的問題提出任務，有研究者試圖探索能夠幫助教師運用問題提出進行教學的方法和更多的素材．由蔡金法發起的一項縱向研究主要關注教師如何運用問題提出開展數學教學．目前為止，他們發現教師如果對問題提出以及運用問題提出進行教學的信念有了改變，那么他們在問題提出以及運用問題提出進行教學的能力方面都會有明顯的提升[14-15]．因此，研究中涉及到的教師也參與并學習了如何提出問題以及如何運用問題提出開展數學教學．

1.3 促進教師運用問題提出教學的策略

盡管數學課程標準將學生發現和提出問題能力的培養視為重要目標，但目前的課程中依然只涉及較少的問題提出活動，這也影響了教師在教學實踐中設計和實施問題提出教學任務．另一方面，鑒于問題提出的重要教育價值，課堂實施不能等待課程完善后才開始，而應幫助教師開發問題提出的教學資源并進行實施．為此，蔡金法提出了促進教師開展問題提出教學的3個策略：（1）幫助教師修改已有的教學資源，為學生創建問題提出機會；（2）在課程材料中包含問題提出的案例以支持教師的教學和學生的學習；（3）鼓勵學生自己提出不同難度問題來拓展問題提出任務的范圍[16]．這些策略既克服了問題提出教學任務不足的難點，同時又不會增加教師的過多負擔．

首先，在教師已有教學資源基礎上開發或創建問題提出機會，這有助于教師從“傳統教學”方式（這里指不包含或很少包含問題提出活動的教學）順利過渡到以問題提出為重要手段的新的教學方式．而且從自己熟悉的教學資源中設計問題提出學習任務，會因為相對節省工作量和容易操作而使教師更愿意嘗試．教師可分析教材或其它教學資源中數學問題的形式，通過刪除部分條件或結論來創建問題提出任務，也可以將自己已經準備好的問題情境提煉出來，鼓勵學生嘗試提出問題．也就是說，在采用問題提出進行教學的初期，教師可將原本設計的教師提問的機會轉移給學生，鼓勵他們自己提出問題，將學生從較為被動的問題解決者變為更為主動的問題提出者．

其次，在學習材料中包含問題提出案例，既可以幫助教師設計有關問題提出的活動，又便于學生先閱讀和理解他人的案例，然后再提出自己的問題．雖然課程標準和數學教材中都有問題提出活動或任務，但對教師和學生而言，問題提出仍然是較為陌生的學習任務．因此，在學習材料中提供問題提出的案例，有助于教師和學生初步了解問題提出的方式和問題呈現的形式．

最后，學生自己提出角度和難度等不同的問題，既能鼓勵學生主動思考條件和問題之間的關系，還能促使學生集中注意力提出更高認知要求的數學問題[16]．從不同角度或難度提出不同問題有助于學生多角度、更深入地思考問題情境，而且問題提出的過程同時也是學生思考解決方案的過程，因此，提出更為復雜的問題同時也是培養學生問題解決能力的有效方式[17]．此外，教師也可通過學生提出的問題了解學生的數學理解類型和水平，從而設計更有針對性的教學[15]．

基于以上策略，實驗研究采用在教師已有教學資源基礎上開發或創建問題提出機會，鼓勵學生自己提出角度、難度等不同的數學問題，從而達到為學生提供更多學習機會的目的．

2 研究設計

2.1 樣本及實驗過程

（1）樣本．

為了驗證運用問題提出教學對學生數學學習的影響，項目采用實驗組與對照組的形式開展研究．其中，實驗組來自3所程度不同學校（強校、中校、弱校）的四年級學生，相對應的對照組同樣來自另外3所程度不同學校的四年級學生．這里對學校強弱的劃分，主要參照了學校所在區域質量檢測的成績．初始樣本數量為1?307人，刪掉前后測共同缺失的17人，并刪除缺少至少兩個任務數據的樣本22人，共刪除39人，剩余的有效樣本總數為1?268人（表1）．隨后用均值填補缺失值．

表1 實驗項目的樣本信息

（2）實驗過程．

這一研究是一項為期3年的追蹤實驗研究（四年級到六年級），這里只報告第一年以問題提出為主要教學手段的教學實驗．具體過程和方式如下．

首先，項目組實驗教師參與了為期3天的問題提出工作坊，通過集體備課，整體設計了四年級的問題提出任務．問題提出任務的設計流程為：思考重點單元的核心要點，搭建單元學習任務的基本框架；根據核心要點找到問題提出的關鍵點，圍繞核心要點設計問題提出學習任務；設計基于學生經驗、有一定挑戰性的問題情境，并設計恰當的提示語鼓勵學生問題提出；預設學生可能提出的問題及解決方法，反思問題提出任務的合理性并適當調整．

在四年級一個學年中，教師先后在認識更大的數及數位、大數的讀寫及比較大小、平移與平行、角的度量、三位數乘兩位數、有趣的算式、乘法分配律、商不變的規律、小數的意義、小數的數位、小數的加減法、三角形邊的關系、字母表示數等內容中實施了19課時的問題提出教學；同時鼓勵學生完成了“尋找生活中的速度問題”“栽種蒜苗中的問題”的兩次長作業．“尋找生活中的速度問題”持續了一周，首先鼓勵學生收集生活中有關速度的素材，在此基礎上根據這些素材每人提出一個數學問題．比如一位同學根據“獵豹奔跑時的最高速度可以達到110千米/時”，提出了一個數學問題：“如果獵豹保持最高時速10秒，它可以奔跑多少千米？”學生提出問題后分小組交流問題并解決，然后小組推選出一個問題將其修改為更為挑戰的數學問題．比如上面的問題經過小組討論后修改為：“一只獵豹想吃羚羊，它們相距100米．獵豹的速度為110千米/時，藏羚羊的速度為80千米/時．如果獵豹追了藏羚羊10秒，藏羚羊也逃跑了10秒，此時獵豹追上藏羚羊了嗎？”最后，小組把修改后的問題分享給全班的同學，大家共同嘗試解決．

“栽種蒜苗中的問題”這個活動源于教材，鼓勵學生去栽蒜苗，收集和分析數據．首先讓孩子在家里進行了第一次栽蒜苗活動，并組織學生分享交流．學生發現蒜苗生長受到很多因素的影響，于是統一變量，購買同一批的大蒜，各組在教室同一地點統一嘗試水培蒜苗．各小組觀察記錄了本組蒜苗1~14天每兩天的高度數據．圍繞著這些數據，學生紛紛提出數學問題．比如“第14天哪組的蒜苗長得最高，哪組長得最矮？相差多少？”“第4組的蒜苗從哪天開始超過了第2組的蒜苗？”“第14天每組蒜苗的高度都不一樣，怎么描述蒜苗高度的一般情況？”在此基礎上，學生們通過一周的時間利用畫條形統計圖、折線統計圖、計算平均數等方法嘗試解決提出的問題．

2.2 工具及編碼說明

研究中使用5套工具調查學生的數學成績和數學情感．數學成績包括3套試題：問題解決、問題提出、計算問題；數學情感包括兩套問卷：堅毅力、數學比喻．由于這里只呈現實驗組和對照組被試在整體得分上的前后測差異，所以只對整體定量評分標準進行簡要說明，其它具體編碼方式將不再贅述．

（1）問題解決測試卷：包含4個問題，每個問題都要求被試寫出答案及其解決過程．需要說明的是，前后測的第一題不同，但屬同類型問題．根據表2中的評分標準進行評分．

表2 問題解決任務的評分標準

（2）問題提出測試卷：包括4個問題，每一個問題都需要學生提出3個難度不同的問題．其中前測試卷的第2、3兩題與后測試卷的2、3兩題相同，前后測試卷的第1、4兩題分別屬于同類型但不相同的問題，因此在研究中僅分析第2、3題．被試所提出的每一個問題都包含9個方面的編碼：數學特征、與題目的關聯性、可解性、語言復雜性、語義復雜性、數學復雜性、新穎性、情境、數學表達．最后，再根據被試在每個任務上的總體表現給出一個整體的定量評分，標準如表3．

表3 問題提出任務的定量評分標準

（3）計算題：包含16道多項選擇題，答對記1分，答錯記0分．

（4）堅毅力問卷：包含12個問題，每個問題的選項都是從1“非常不符合”到5“非常符合”的五級量表．其中有7個問題為反向題，其余5個問題為正向題．將反向題的計分方式轉換后，在每一個問題上的得分越高，表示被試的數學學習堅毅力越好．

（5）數學比喻問卷：包含3個任務，分別要求參與者將數學比作一種動物、食物和顏色，并說明原因．通過被試的3個比喻，根據表4中的評價標準進行評分，得分越高表示被試越喜歡數學．

表4 將數學進行比喻的任務的評分標準

3 結果

表5表示實驗組和對照組學生分別在5類任務上的均值及其前后測差異（括號中為標準差）．實驗組中，學生在計算題和問題提出任務上的后測表現顯著高于前測，并且在兩個數學情感任務，即堅毅力和數學比喻任務上有顯著提高．但在問題解決任務上，實驗組學生的前后測無顯著差異．

表5 實驗組學生分別在5個任務上的均值及其前后測差異

注：*表示<0.05，**表示<0.01，***表示<0.001（下同）

為了進一步揭示問題提出對學生數學成績和情感的影響作用，對實驗組和控制組學生的前后測差值（即1學年前后的表現差值）進行了比較分析．結果表明，實驗組學生在問題解決（<0.001）、問題提出（<0.001）、計算題（<0.001）、以及數學比喻任務（<0.05）上的增長程度顯著高于控制組學生．但在堅毅力任務上的增長程度，兩組學生無顯著差異．

表6為實驗組3類學校學生在5個任務上的前后測差異．整體來看，弱校學生在問題解決和兩個數學情感任務上的提高程度要高于強校和中校，但在問題解決和計算題上強校和中校學生的提高程度要好于弱校學生．

表6 實驗組3類學校學生在5個任務上的前后測差異

為了進一步考察問題提出教學對不同學生數學學業表現和情感的影響作用，分別將實驗組和對照組學生在前測各個任務上的表現進行排名，并分別取在各個任務上排名最前和最后25%學生的變化程度進行分析（表7）．首先，在實驗組，除了排名前25%學生在計算題上的前后測無顯著差異外，在其它4個任務（問題解決、問題提出、堅毅力、比喻問題）上的前后測均存在顯著差異．然而，排名前25%學生在問題解決和問題提出上的前測均值要顯著高于后測，即他們在這兩個任務上的表現有明顯下降．

表7 實驗組前測前后25%學生在5個任務上的前后測均值及其差異

注：5個任務的分值范圍（問題解決：0~16；問題提出：0~8；計算題：0~16；堅毅力：0~5；數學比喻：0~5）

其次，對實驗組和對照組在5個任務上分別排名前后25%學生的前后測差值進行了比較（表8）．結果發現，實驗組前后25%學生在問題解決、問題提出以及計算題上的前后測差值存在顯著差異，其中排名后25%學生在這3個任務上的提高程度顯著高于排名前25%的學生．但在數學情感兩個任務上的變化程度均無顯著差異．同時，對照組的前后25%學生在5個任務上的變化程度也均無顯著差異．也就是說，問題提出教學對排名靠后學生的數學學業表現有更為顯著的積極影響，而對排名靠前學生的數學學業表現及數學情感影響作用相對來說較低．

表8 實驗組和對照組排名前后25%學生的前后測差值的差異分析

注：“–”表示學生前后測的均值差

4 討論

目前關于問題提出的研究大部分都限于理論分析或調查研究，較少有研究將問題提出作為一種教學手段，考察其對學生數學學習和教師專業發展的作用．而有研究者指出，問題提出不僅可以作為數學教學目標，同時也可作為一種教學手段來促進學生的數學學習[1]．因此，這里將問題提出作為一種教學手段考察其對學生數學學習的影響作用．經過一年的教學實驗，實驗組學生從前測到后測在數學成績上有顯著提高，而且值得注意的是，這一影響對不同成績表現的學生有著不同的作用．此外，實驗組學生不僅在數學學業成績上有顯著改進，還在數學情感上有明顯提升，這一結果非常鼓舞人心．由于這是一個為期3年的跟蹤研究，后續的實驗結果也將更加讓人期待．從第一年的結果來看，學生在數學成績和情感上均有顯著提高，其中主要的原因是問題提出教學為學生提供了更多的學習機會．但限于篇幅，詳細的實驗方法和過程將在未來做進一步報告．

此外，研究還采用兩種角度分析了問題提出教學對不同學業表現學生的影響程度．一種是根據學校的整體水平，將其劃分為強校、中校和弱校，另一種則是選取在各個任務上表現最好和最差的25%學生進行對比．整體來看，問題提出教學對學校水平較弱的學生或學業表現相對較差學生的影響更為顯著．可能的原因主要有兩個方面：一是程度較弱學生改進的空間更大，因此實驗效果也就更為明顯；二是問題提出教學能夠讓學生積極參與到教學活動中，尤其可以促進程度較弱學生的課堂參與，從而對他們的數學學習及數學情感都產生了積極的影響作用．這一分析也會在未來兩年的實驗結果產生后加以進一步驗證．

研究基于數學學習結果的綜合性[18–19]，采用5類任務測試教學實驗效果．結果表明，多種類任務測試不僅可行而且非常必要，尤其需要將學生的非認知因素納入到考察范圍中，從認知和非認知兩個綜合層面考察學生的學習結果[13，20]．

[1] 蔡金法，姚一玲．數學“問題提出”教學的理論基礎和實踐研究[J]．數學教育學報，2019，28（4）：42–47．

[2] CAI J, HWANG S, JIANG C, et al. Problem-posing research in mathematics education: Some answered and unanswered questions [M] // Mathematical Problem Posing. New York, NY: Springer, 2015: 3–34.

[3] POLYA G. How to solve it: A new aspect of mathematical method [M]. Princeton: Princeton University Press, 1945: 20–57.

[4] CRESPO S. Learning to pose mathematical problems: Exploring changes in preservice teachers’ practices [J]. Educational Studies in Mathematics, 2003, 52 (3): 243–270.

[5] KNOTT L, OLSON J, ADAMS A, et al. Task design: Supporting teachers to independently create rich tasks [M] // Margolinas C. Task design in mathematics education. Oxford, UK, 2013: 599–608. doi. http://hal.archives-ouvertes. fr/hal-00834054

[6] Leung S S, Silver E A. The role of task format, mathematics knowledge, and creative thinking on the arithmetic problem posing of prospective elementary school teachers [J]. Mathematics Education Research Journal, 1997, 9 (1): 5–24.

[7] YUAN X, SRIRAMAN B. An exploratory study of relationships between students’ creativity and mathematical problem-posing abilities [M] // SRIRAMAN B, LEE K H. The elements of creativity and giftedness in mathematics advances in creativity and giftedness. Sense Publishers, 2011: 142.

[8] National Council of Teachers of Mathematics. Principles and standards for school mathematics [M]. Reston, VA: NCTM, 2000: 20–30.

[9] NICOLAOU A A, PHILIPPOU G N. Efficacy beliefs, problem posing, and mathematics achievement [J]. Focus on Learning Problems in Mathematics, 2007, 29 (9): 308–317.

[10] ?AKAY H, BOZ N. The effect of problem posing oriented analyses-II course on the attitudes toward mathematics and mathematics self-efficacy of elementary prospective mathematics teachers [J]. Australian Journal of Teacher Education, 2010, 35 (1): 59–75.

[11] 張丹，劉曉．“問題引領學習”的構建及單元教學研究[J]．數學教育學報，2018，27（5）：42–47．

[12] 中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]．北京：人民教育出版社，2020：4–10．

[13] ?CAI J, JIANG C. An analysis of problem-posing tasks in Chinese and U.S. elementary mathematics textbooks [J]. International Journal of Science and Mathematics Education, 2017, 15 (8): 1?521–1?540.

[14] ?CAI J, CHEN T, LI X, et al. Exploring the impact of a problem-posing workshop on elementary school mathematics teachers’ problem posing and lesson design [J]. International Journal of Educational Research, 2020 (102): 101–404.

[15] ?LI X, SONG N, HWANG S, et al. Learning to teach mathematics through problem-posing: Teachers’ beliefs and performance on problem posing [J]. Educational Studies in Mathematics, 2020 (105): 325–347.

[16] 許天來，蔡金法．作為教學目標和教學手段的數學問題提出[J]．小學教學（數學版），2019（10）：9–14．

[17] ?CAI J, HWANG S. Learning to teach through mathematical problem posing: Theoretical considerations, methodology, and directions for future research [J]. International Journal of Educational Research, 2019 (1): 1.

[18] ?CAI J. A cognitive analysis of US and Chinese students’ mathematical performance on tasks involving computation, simple problem solving, and complex problem solving [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1995 (7): 1–151.

[19] ?CAI J. What research tells us about teaching mathematics through problem solving [M] // LESTER F. Research and issues in teaching mathematics through problem solving. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 2003: 241–254.

[20] 姚一玲．學生主觀幸福感及其對數學成績的影響[D]．上海：華東師范大學，2016：193．

Exploring the Impact of Teaching through Problem Posing on Students’ Mathematical Performance and Disposition

ZHANG Dan1, YAO Yi-ling2, CAI Jin-fa4, 3

(1. Beijing Academy of Educational Sciences, Beijing 100036, China; 2. College of Education, Hangzhou Normal University, Zhejiang Hangzhou 311121, China; 3. School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China;4. Department of Mathematics, University of Delaware, Newark DE 19716, USA)

This paper is part of a longitudinal study examining the impact of teaching through problem posing on students’ mathematical performance and disposition. Mathematical performance is measured using tasks involving problem posing, problem solving, and computation. Mathematical disposition is measured using items related to mathematical perseverance and metaphors. This paper reports on initial findings after 1 year of the experiment. It was found that students in the experimental group performed significantly better than students in the control group. In particular, students from below average schools tended to gain the most over the course of the 1-year experiment.

problem posing; problem solving; mathematical disposition; teaching mathematics through problem posing

G420

A

1004–9894（2021）01–0032–05

張丹，姚一玲，蔡金法．問題提出教學對學生數學成績和數學情感影響的實驗研究[J]．數學教育學報，2021，30（1）：32-36．

2021–01–02

北京市教育科學“十三五”規劃2018年重點課題——小學數學“問題引領學習”的教學實踐研究（CADA18066）；西南大學引進人才（教育部“長江學者”講座教授）計劃項目（SWU118118）

張丹（1972—），女，北京人，教授，主要從事數學課程與教學論研究．蔡金法為本文通訊作者．

[責任編校：周學智、陳漢君]