框架錨索加固邊坡地震響應的動力計算方法淺析

王 東，劉蕾蕾，余 強，邱 毅，牛家永

(1.四川省公路規劃勘察設計研究院有限公司，成都 610041； 2.西南交通大學 土木工程學院，成都 610031)

在巖土工程領域，預應力錨索通過調動深部巖土體的自身強度來改善淺表層巖土體應力狀態、提高巖土體整體性、增加軟弱面抗滑能力，從而起到加固邊坡、治理滑坡和減小地表沉降的作用[1]。在地震動激勵下，錨固系統往往產生較大的動附加應力，可使錨固系統失效，引發次生災害等，因此如何考慮地震工況下錨索的抗震設計已成為巖土工程師亟待解決的問題[2]。

由大量框架錨索加固邊坡的振動臺模型試驗[3-5]可知，地震時邊坡沿豎直方向存在加速度放大效應，錨索軸力在地震過程中及地震結束時也將發生改變，地震結束時邊坡體可能產生向臨空面的變形等，在邊坡抗震設計時應重視這些因素[6-8]。

本文以傳統錨索設計方法為基礎，結合彈性動力學理論、極限分析上限法和地震時邊坡的滑移量建立框架錨索的自由段軸力地震響應理論解，可分別求解軸力彈性響應值和錨索軸力殘余值。

1 地震作用下錨索軸力響應值

錨索軸力的地震響應值包括彈性響應值和殘余變形值，錨固邊坡在無殘余變形產生時軸力在地震前后的變化量是一致的，可采用結構動力學方程來求解地震作用過程中錨索產生的動應力和錨索的軸力時程曲線。當有殘余變形產生時，錨索軸力在地震結束時刻會產生殘余值，且軸力大于地震開始時刻，需根據剛性塊體滑移理論計算軸力的殘余值，再疊加軸力彈性響應值，得到錨索軸力的地震響應值。

1.1 軸力彈性響應值

在地震作用下，框架錨索結構與邊坡體的變形處于同步動態變化狀態，如圖1所示。因此，錨索軸力的時程曲線可通過聯合框架梁的位移變化量和錨索材料的力-位移關系間接求出[9]。以框架梁的各節點為質量集中中心，每個質量塊的長度為框架梁的縱向間距，將框架梁分為n個質量塊，編號為1、2、…、n，此時框架梁可以視為一個具有n個集中質量的多自由度體系，其位移響應值可通過結構動力學理論求出。

圖1 框架梁與邊坡體相互作用的簡化示意

取框架梁結構中的第j塊，如圖2所示，建立其地震運動方程。假設框架梁第j層相對于坡腳地面的位移可表達為：

uj(t)=ψjzj(t)j=1,2,…,n

(1)

式中：ψj為定義偏轉形狀的位移形函數；uj(t)為第j層相對位移；zj(t)為廣義位移。

則第j層梁體的絕對位移為：

(2)

圖2 第j塊框架梁的動力計算模型

第j層梁體與j+1層間的剪力fSbj，通過層間剛度kj與層間相對位移Δuj=uj-uj+1計算如下：

fSbj=kjΔuj=kj(uj-uj+1)

(3)

其中，層間剛度為:

(4)

式中：EI為框架梁柱的彎曲剛度，kN·m2；lj為第j層梁體的長度，m。

(5)

由于處于彈性變形狀態，框架梁的第j層梁體所受外力為地震慣性力、層間剪力和阻尼力、錨索軸力和坡體反力，在地震作用的某一時刻處于平衡狀態。框架梁體的運動方程可根據虛位移原理建立，外力在質量為mj的第j層框架梁產生δuj的虛位移時，所做的虛功W可表示為：

(6)

層間位移與框架梁第j層虛位移δuj相關，其層間剪力和阻尼力所做的內力虛功為：

(7)

因外力虛功和內力虛功相等，消去δz后可得：

(8)

令

(9)

則式(8)可化為標準型式的運動方程：

(10)

框架梁縱梁和橫梁的截面尺寸分別為a×b和c×b，框架結構的密度為ρk，縱梁從上到下被分成了n段，則

(11)

式中：j=2,3,…,n-1，其中

(12)

式中：H為邊坡高度，m；sh、sv分別為錨索框架梁的水平間距和豎直間距，m；hi為第i塊土體錨頭距坡腳的豎直距離，m。

框架梁第j層的位移值可通過求解上述方程得到，將位移響應值帶入式(13)可求得錨索軸力的彈性響應值。

(13)

式中：ΔTj(t)為錨索軸力的地震響應增量，N；lfj為第j孔錨索自由段長度,m；Ej為第j孔錨索的彈性模量，MPa；Aj為第j孔錨索的橫截面積，m2；α為錨索的錨固傾角，(°)。

綜上所述，地震作用下錨索軸力的彈性響應值可通過以下3個步驟求得：

1) 將框架結構和邊坡結構的材料參數和形狀參數代入式(11)、(12)中，求出框架體系的集中質量分布狀態。

2) 根據給定的框架梁形函數、框架梁各層的剪切剛度和粘滯阻尼系數，由式(8)、(10)求出地震作用下的動力方程，從而得到框架梁各節點位置處的動位移時程曲線。

3) 將位移響應值代入式(13)中，計算得到錨索軸力的彈性響應值，得到時程曲線。

1.2 軸力殘余值

假定框架錨索加固邊坡的潛在滑動體為剛性塊體，滑動模式如圖3所示。圖3中，ob段為預應力施加后的第j孔錨索自由端長度，記為lfj；bb′段為剛性塊體在地震作用下產生的滑移量，記為x；∠bob′為錨索傾角變化值，記為Δα；剛性塊體滑移導致第j孔錨索自由段長度變為lfj′，可得錨索自由段的長度變化量為：

(14)

圖3 潛在滑體滑移示意

因錨索自由段長度變化引起的軸力增量ΔTi為:

(15)

式中：E為錨固體自由段的彈性模量，MPa；A為錨固體自由段的橫截面積，m2；Ti為錨索的初始預應力，N；θ為滑裂面與水平面的夾角，(°)。

錨索軸力殘余值時程曲線可按如下3個步驟求得：1) 采用極限分析上限法獲得框架錨索加固邊坡的臨界屈服加速度kc，本文采用文獻[10]中的臨界屈服加速度進行分析；2) 對于輸入的地震動時程曲線，將超過kc的部分進行二次積分，求得錨固邊坡的永久位移值，即為殘余變形值；3) 根據式(15)求邊坡不同高度處錨索殘余軸力時程曲線。

2 振動臺試驗結果對比

為驗證本文提出方法的合理性和正確性，將其計算結果與框架錨索振動臺模型試驗測試結果進行比較。振動臺模型試驗現場照片如圖4所示。模型高1.2 m，由滑體、軟弱面和基巖組成，滑體的粘聚力和內摩擦角分別為1.2 kPa和25°，重量為11.4 kN，滑動面與水平面的傾角為33°，采用框架錨索結構加固，從上至下共4排錨索，設計錨固力為0.6 kN，錨固傾角為10°，振動臺模型試驗詳細描述見文獻[11]。

圖4 振動臺試驗模型

在振動臺模型試驗中，首先將地震加速度時程數據輸入到控制系統中，通過控制臺下方的作動器實現臺面的往復運動，從而施加地震力。以0.564g的人工波為計算工況，取坡腳自由場處的加速度時程曲線為輸入地震荷載曲線，如圖5(a)所示，對超過臨界加速度0.5g的部分進行二次積分，得到邊坡滑動體的殘余位移時程曲線，如圖5(b)所示，殘余位移時程曲線即為錨索自由端處剛性塊體在地震作用下產生的滑移量x，將滑移量x和相關參數帶入式(15)中可求得坡底處錨索(文獻[11]中標注為J1)的軸力殘余值隨時間的變化量，如圖5(c)所示。試驗中軸力殘余值可根據地震結束時刻錨索時程曲線相對于初始值的偏移量確定。由圖5(c)可知計算得到的殘余軸力值為3 N，與試驗中J1錨索測得的2.5 N較為接近。由于未考慮邊坡發生殘余變形時邊坡整體臨界加速度的改變，所以計算得到的響應值偏大。

(a) 輸入地震荷載曲線

(b) 坡體殘余變形曲線

(c) 錨索殘余軸力時程曲線

在框架錨索加固邊坡的軸力彈性響應值計算中，給定ki=120 kN/m、mi=2.4 kg，并假設框架梁的形函數ψ沿高程呈線性分布，通過公式(8)、(9)可得：

將以上值帶入式(10)得：

(16)

已知地震記錄的采樣時間間隔Δt=0.002 s，采用動力反應的數值計算方法求解公式(16)彈性階段的廣義位移時程曲線，進而獲得坡腳處錨索的軸力彈性響應值，以上過程通過Matlab編程實現。將錨索軸力彈性響應時程曲線與軸力殘余值時程曲線疊加便可得到錨索軸力實際的地震響應時程曲線。振動臺模型試驗測得的錨索軸力時程曲線與計算得到的時程曲線的對比如圖6所示。由圖6可以看出，兩者的時程曲線吻合度較好，軸力殘余值和軸力響應峰值均較為接近，計算值略大于實測值，但差異不大，據此證明該計算方法是合理的和正確的，當缺少試驗數據或數據出現偏差時，用本文提出的計算方法可較準確計算錨索在地震作用下的動態響應時程曲線。

圖6 錨索軸力計算結果與振動臺試驗實測值對比

3 結論

1) 基于多自由度體系的集中質量法，求解框架體系的集中質量分布狀態；結合框架梁形狀參數、剪切剛度和粘滯阻尼系數，得到各節點的動位移時程曲線，進而得到錨索軸力彈性時程曲線。

2) 通過采用極限分析上限法求解錨固邊坡體的臨界屈服加速度，對超過臨界屈服加速度部分進行積分,求出邊坡體的殘余變形時程曲線，進而求得錨索軸力隨時間的變化值，即錨索軸力殘余值的時程曲線。

3) 將計算值與振動臺模型試驗結果進行了對比分析，驗證了文中建立的地震作用下框架錨索軸力響應值計算方法的有效性和準確性。