基于分數階本構模型的隧道工后固結沉降

鄢豪杰， 鄭俊杰， 潘 雨， 陳鵬飛

(華中科技大學 土木與水利工程學院， 湖北 武漢 430074)

隨著我國城市建設的發展，越來越多的城市開始了地鐵的建設，為居民出行帶來了極大的便利。然而由于地鐵線路走向需要綜合考慮政治、經濟等多方面因素，因此往往不可避免的需要建在軟黏土地層中，導致隧道在開挖完成后很長時間內仍然會發生較大的沉降，長期沉降甚至會占到總沉降量的30%～90%[1]，如不能對此部分沉降加以分析和控制，極有可能會引起隧道結構的變形甚至破壞，造成嚴重的經濟損失，因此非常有必要對隧道開挖完成后的長期沉降進行深入研究。

Terzaghi[2]通過對芝加哥地鐵的長期監測，提出土體孔隙水壓力消散產生的固結導致了隧道的工后沉降。張冬梅[3]將隧道工后固結問題簡化為有側限的單向壓縮問題，并利用三元件模型預測了上海地鐵1號線的長期沉降，但部分測點存在較大的誤差。魏綱[4]針對張冬梅[3]文中的不合理之處，假定盾構隧道開挖引起的初始超孔隙水壓力分布為三角形分布、隧道襯砌為不排水邊界，對隧道軸線上方土體的工后沉降進行了研究。楊澤飛等[5]運用分層總和法，采用魏新江等[6]提出的盾構施工引起的初始超孔隙水壓力分布，計算了盾構擾動區的固結沉降，但同樣沒有考慮到隧道襯砌的滲透性。

可以看到，現有的研究大部分都假設隧道襯砌為不排水邊界，并且沒有考慮地下水位的影響，但Mair等[7]指出影響地表長期沉降的因素主要有四點，即隧道開挖引起的初始超孔隙水壓力、土體的物理性質、隧道襯砌滲透性和地下水位的影響。因此，本文針對現有研究的不足之處，假設隧道開挖引起的軸線上方初始超孔隙水壓力呈三角形分布，壓縮層厚度為隧道上方全部覆土深度，隧道襯砌為半透水邊界，考慮地下水位線，并且引入能更好的描述土體蠕變的分數階三元件本構模型來求解隧道軸線上方土體的工后沉降，該方法可以全面考慮Mair等[7]提出的四個因素。

1 分數階本構模型

元件模型由于其物理意義明確、模型直觀的優點被廣泛應用于土體固結的研究中。Gemant[8]通過試驗得出土體應力與應變之間存在著分數階導數關系，隨后分數階微積分理論開始被應用于土體固結的研究中。基于此理論，殷德順等[9]通過對試驗數據的擬合發現分數階本構關系可以更好的描述土體的蠕變行為。目前，分數階本構模型在土體的研究中已經得到了廣泛的應用。

1.1 分數階微積分理論

在實際工程中應用最廣泛的分數階算子理論是Riemann-Liouville型分數階微積分算子理論[10]，該理論對f(t)的α階積分的定義為：

其中Γ(α)為伽瑪函數，α為分數階次。

1.2 分數階三元件模型

理想彈性固體本構方程為σt=Eεt(式中：σt為模型受到的應力；εt為模型的應變；E為模型的彈性模量)，可將應力看作正比于應變對時間的零階導數。牛頓黏壺的本構方程為σt=ηdε/dt(式中：η為模型的黏滯系數)，可將應力看作正比于應變對時間的一階導數。Koeller[11]提出了一種基于分數階導數的元件，其本構關系介于上述兩種元件之間，本構方程如式(1)所示。當α取0時，元件退化為彈性元件；當α取1時，元件退化為牛頓黏壺。將傳統三元件模型中的牛頓黏壺替換為本文中的分數階元件，就得到了分數階三元件模型，如圖1所示。

圖1 分數階三元件模型

(1)

式中：c=E1-αηα，0≤α≤1。

下面推導分數階三元件模型在拉普拉斯變換域中的本構方程。根據并聯模型總應力等于各部分應力之和，串聯模型總應變等于各部分應變之和，可得：

(2)

式中：σt為模型受到的應力；εt,1為模型并聯部分的應變；εt,2為串聯的彈性元件的應變；εt為模型總應變。

將式(2)進行拉普拉斯變換可得：

(3)

式中：σs，εs,1，εs,2，εs分別為σt，εt,1，εt,2，εt的拉普拉斯變換式。

由式(3)得到分數階三元件模型本構方程的拉普拉斯變換式為：

(4)

式(4)僅適用于無側限壓縮，對于有側限壓縮的情況，根據張冬梅[3]得出的無側限和有側限情況下的對應關系可得有側限情況下分數階三元件模型本構方程的拉普拉斯變換式為：

(5)

2 公式推導

2.1 基本假設

張冬梅[3]認為盾構工后沉降主要是由隧道上方1 m范圍內土體的壓縮變形引起的，因此只考慮隧道上方1 m范圍內的土體擾動，并且將隧道上方1 m范圍以外的土體自重視為均布荷載，但事實上，盾構引起的初始超孔隙水壓力應一直延續到地下水位處[4]。因此，本文取隧道拱頂至地下水位間的土體進行計算，并將地下水位之上的土體自重視為均布荷載，同時作如下假設：

(1)不考慮隧道下方土體的變形，同時隧道結構變形相對土體沉降非常小，因此也不予考慮；

(2)土體壓縮層厚度取為隧道上方地下水位以下全部覆土厚度，外荷載只考慮地下水位以上土體的自重；

(3)隧道上方初始超孔隙水壓力分布形式為三角形分布；

(4)地表視為完全透水邊界，隧道襯砌視為半透水邊界。

基于上述假設的計算示意圖如圖2所示。

圖2 計算示意

2.2 公式推導

設隧道襯砌厚度為b；所取土層厚度為h；土體重度為γ；土體滲透系數為k；襯砌滲透系數為k1；隧道開挖引起的拱頂和地表初始超孔隙水壓力分別為q2，q1，當q1取0時即退化為本文假設的三角形分布；均布荷載q為地下水位以上土體壓力。

采用太沙基一維固結理論中的假設，則土體滲流方程為：

(6)

式中：ε(z,t)為深度z處的土體在t時刻的應變；σ′(z,t)為深度z處的土體在t時刻有效應力的增量；γw為水的重度。

將式(6)進行拉普拉斯變換得：

(7)

由式(5)知分數階三元件模型本構方程的拉普拉斯變換式為：

(8)

將式(8)代入式(7)得：

(9)

解式(9)得：

(10)

襯砌視為半透水邊界，則：

(11)

設深度為z處初始超孔隙水壓力為pz，根據有效應力原理由式(11)得：

(12)

將式(12)進行拉普拉斯變換得：

(13)

將式(10)對z求導可得：

(14)

將式(14)代入式(13)得：

(15)

對于本節假設有：

(16)

將式(16)代入式(15)同時令z=h可得底面的邊界條件為：

(17)

地表為全透水邊界，則z=0時有：

(18)

將式(18)進行拉普拉斯變換并帶入式(10)可得地表的邊界條件為：

A1+A2=(q1+q)/s

(19)

聯立式(17)(19)可得：

(20)

代入式(10)可得深度z處土體的有效應力為：

(21)

則土體的沉降在變換域內的表達式為：

(22)

將式(22)進行拉普拉斯數值反演即可得到任意時刻隧道工后土體的沉降值，本文采用文獻[12]中的方法來反演，并通過歐拉變換來加快收斂速度。具體方法如下：

(23)

式中：a為計算參數，取為6。

對式(23)中的求和部分進行歐拉變換：

(24)

式中：Ek通過如下遞推式求得：

k=ndif-1,ndif-2,…,1

(25)

式中：ndif為歐拉求和的項數。

3 對盾構隧道工后固結沉降的預測

上海地鐵1號線全長14.57 km，所處土層為淤泥質粉質黏土和淤泥質黏土，區間盾構隧道外徑6.2 m，內徑5.5 m，覆土厚7 m，地下水位1 m，土體加權平均重度γ=18 kN/m3，滲透系數為k=5.4×10-9m/s，泊松比為ν=0.35，包鶴立[13]根據上海地鐵允許滲流速度得出襯砌的滲透系數為k1=3.89×10-11m/s，張冬梅[3]和魏綱[4]分別使用應力路徑法和應力釋放理論得出上海地鐵1號線區間盾構隧道拱頂的初始超孔隙水壓力為30.3，32.8 kPa，參考兩人的結果將拱頂初始超孔隙水壓力取為30 kPa。本節將通過2.2節中推導的公式對上海地鐵1號線土體的工后長期固結沉降進行預測，為了方便與張冬梅[3]的計算結果進行對比，選取P14，N12兩個測點進行計算。

3.1 土體力學參數確定

本節使用BP(Back Propagation)神經網絡來反演上海地鐵1號線土體的力學參數，待確定的參數有E1m，E2m，ηm，α。通過一定的試算將每個參數取5個水平，然后采用正交設計法[14]設計25組計算參數組合方案作為輸出層樣本，將25組方案計算出的沉降量作為神經網絡的輸入層樣本，進行神經網絡訓練。訓練完成后將實測沉降數據輸入即可反演出土體參數如表1所示。

表1 反演出的土體參數

反演出的地表沉降與實測數據以及張冬梅方法計算結果的對比如圖3，4所示。從圖中可以看出，本文計算出的結果與實測數據趨勢基本一致，并且相比于張冬梅文中的方法更接近實測值。張冬梅計算結果中P14測點前期的沉降值明顯比實測數據小，說明該方法低估了土體前期的固結速度，而本文所用的分數階三元件模型則大大改進了這一缺陷。總體來看，采用分數階三單元本構模型來模擬隧道上方土體工后長期固結沉降是可行的，并且比普通的三元件本構模型精度更高。

圖3 P14測點沉降對比

圖4 N12測點沉降對比

3.2 沉降預測

通過反演出的土體力學參數及2.2節中推導出的公式對上海地鐵1號線P14，N12兩個測點的固結沉降進行預測，結果如圖5，6所示。可以看到，兩個測點的沉降隨時間逐漸增大，并分別在600，400 d左右基本達到穩定，P14測點的最終沉降量約為75 mm，N14測點的最終沉降量約為76 mm。同時可以看到在沉降發展初期N12測點比P14測點沉降速度更大，且最終達到穩定所需時間短，這主要是因為N12測點的黏滯系數較小和分數階次較大。說明土體性質對沉降的發展有很大的影響，土體黏滯系數越小，分數階次越大，土體沉降越快。

圖5 P14測點沉降曲線

圖6 N12測點沉降曲線

4 襯砌滲透系數對工后沉降的影響

現有的大部分研究均假設隧道襯砌為不透水邊界，然而隧道襯砌的滲透性對地表長期沉降有著非常重要的影響，實際工程中襯砌滲水現象在盾構隧道中時有發生，造成了嚴重的安全隱患，因此研究隧道襯砌滲透性對長期沉降的影響有著非常重要的意義。分別取k1/k為0.0001，0.001，0.01，0.1計算P14和N12兩個測點的沉降，結果如圖7，8所示。

圖7 P14測點沉降曲線

圖8 N12測點沉降曲線

可以看出，隨著k1/k的增大，即隧道襯砌滲透性越大，土體初期沉降速率越大，沉降越早達到穩定。當k1/k小于0.001時，襯砌滲透系數的變化對沉降的影響已不再明顯，說明當k1/k小于0.001時隧道襯砌可視為完全不透水邊界，大于0.001時應視為半透水邊界。而上海地鐵1號線實際的k1/k為0.0072，應視為半透水邊界，這也驗證了本文假設的合理性。

5 結 論

本文在假定隧道開挖引起的初始超孔隙水壓力為三角形分布、隧道襯砌為半透水邊界的前提下，通過分數階三元件本構模型，使用太沙基一維固結理論和拉普拉斯變換推導出了盾構隧道開挖引起的工后長期沉降解，可用于預測實際工程中盾構隧道開挖引起的土體長期沉降，并得出了以下結論：

(1)分數階三元件本構模型可用于模擬隧道開挖引起的土體長期沉降，并且比普通的三元件模型具有更高的精度；

(2)工后沉降受土體黏滯系數和分數階次的影響很明顯，黏滯系數越大，分數階次越小，土體沉降發展越慢，達到穩定所需時間越長；

(3)隧道襯砌的滲透性對長期沉降的影響不可忽略，襯砌的滲透系數越大，固結初期沉降速率越大，沉降值越大。

(4)當k1/k小于0.001時襯砌可視為完全不透水邊界，大于0.001時應視為半透水邊界。對于上海地鐵1號線，應將襯砌視為半透水邊界。