中低速磁懸浮列車-多跨簡支梁橋耦合振動分析

周 宏

(中鐵十一局集團第一工程有限公司， 湖北 襄陽 441199)

中低速磁懸浮列車發展迅速，韓國、中國的中低速磁懸浮列車分別于2015年、2016年相繼通車運行，國內還有多條磁懸浮快線仍在規劃建設中。相對于地鐵、高鐵其他軌道交通，磁懸浮列車具有低噪聲、低成本、低振動，綠色環保，轉彎半徑小，爬坡能力強等優點。為了節約土地和減輕地基沉降影響，中低速磁懸浮線路主要采用連續高架簡支梁橋，其在總造價中所占比例60%～80%[1]。因此，研究中低速磁懸浮車橋耦合振動對行車質量、舒適性、經濟效益以及未來磁懸浮列車的發展都意義重大。

國內外對于磁懸浮列車橋耦合振動做了大量研究：Cai等[2～4]研究了彈簧和阻尼代替電磁力的多剛體車橋振動模型，這樣沒有考慮控制電磁力的影響，不能充分體現磁懸浮車橋耦合振動特點。梁鑫等[5～7]對單跨簡支梁橋下的磁懸浮車橋振動進行了分析，列車的振動響應難以達到穩定狀況，不能反映實際情況中普遍存在多跨簡支梁。武建軍等[8,9]探討了軌道平順下的磁懸浮車橋振動。以上這些研究中橋梁計算基本上采用陣型疊加法，陣型為解析式，只能適用于等截面的簡支梁橋和跨數較少的連續梁橋。為此，本文以通用有限元分析為基礎，詳細考慮磁懸浮列車、多跨簡支梁橋、軌道不平順和電磁力組成的大系統，主要對中低速磁浮列車-多跨簡支梁橋的耦合振動進行精細化仿真分析。

1 磁浮列車-簡支梁橋系統模型及動力方程

目前研究的磁浮列車主要分為EMS(Electromagnetic Suspension)型磁浮列車和EDS(Electrodynamic Suspension)型磁浮列車兩種類型，其中EMS型磁浮列車依靠固定在懸浮架上的電磁鐵與軌道上永磁體之間產生吸力而懸浮車體，而EDS型磁浮列車依靠車體上超導電磁力與軌道上的線圈之間產生斥力懸浮車體。EMS型磁浮列車又分為中低速磁浮列車和和高速磁浮列車。中低速磁浮列車UTM-01包含一個車體和三個懸浮架，高速磁浮列車TR06一般含有一個車體和四個轉向架。本文以中低速EMS型磁浮列車UTM-01為研究對象。車體與懸浮架通過線性彈簧與阻尼連接，懸浮架通過控制電磁力與橋梁軌道相互作用。以單節中低速磁浮列車為例，單個懸浮架與橋梁之間電磁力采用4個集中力模擬，這正好滿足精度要求，也就是懸浮架與軌道之間至少采用4個集中力來模擬均布電磁力[10]。如圖1(圖中：mc和mb分別為車體質量和轉向架質量；yc和θc分別為車體的豎向位移和轉動慣量；ybj和θbj分別為第j個轉向架的豎向位移和轉動慣量(j=1,2,3)；ks和cs分別為懸掛系統的剛度和阻尼；c0為中間彈簧阻尼系統到車體重心的橫向距離；r0為彈簧阻尼系統到轉向架重心的橫向距離；ΔFi為第i(i=1,2,3,…,12)個波動電磁力)所示。中低速磁懸浮列車和高速磁懸浮列車參數如表1。

圖1 中低速EMS型磁懸浮列車簡化模型

1.1 電磁力方程

懸浮架與橋梁之間電磁力與電流和氣隙之間的關系式是非線性的，對非線性電磁力平衡點附近進行泰勒展開，忽略高階電流和氣隙作用，則非線性電磁力可表示為[12,13]：

(1)

Fi=F0+ΔFi

(2)

(3)

(4)

電壓、電流之間的關系式可表示為[14]：

(5)

式中：A為間隙處電磁鐵鐵芯的橫截面面積；N為電磁鐵線圈的匝數；μ為真空磁導率；R為線圈電阻；h0為額定氣隙；i0為初始電流；ii為控制電流；M為懸浮體的總體質量(2442 kg)；Fi為第i個電磁力為平衡點處的電磁力(23.93 kN)；F0為平衡點處的電磁力(23.93 kN)；Δii為動態輸出的電流；hi為第i個電磁力所對應的懸浮架與橋梁之間的氣隙；Δhi為第i個電磁力所對應的懸浮架與橋梁之間氣隙變化量；ΔUi為第i個控制反饋電壓；g為重力加速度。

控制電壓ΔUi采用懸浮架加速度、懸浮架速度和氣隙間的相對變化位移Δhi反饋，即[15]：

(6)

Δhi=yei-ydi-ui

(7)

懸浮列車控制參數如表1所示[7,12,16]。懸浮

架和橋梁的位移，以及懸浮架的速度和加速度是依靠車體上的傳感器進行測量，另外線性反饋控制能夠促使氣隙圍繞在額定氣隙上下波動。

1.2 磁懸浮列車動力方程

分別考慮車體、三個懸浮架的沉浮和點頭共8個自由度yc，θc，yb1，θb1，yb2，θb2，yb3，θb3，如圖1所示。單節磁懸浮列車的動力方程為：

(8)

(8i-16)c0ybi-2b0c0θbi]=0

(9)

i=1,2,3

(10)

3r0ΔF4i，i=1,2,3

(11)

1.3 簡支梁橋動力方程

磁懸浮軌道的剛度遠小于橋梁的剛度，故可忽略軌道對磁懸浮車體和橋梁之間耦合振動的影響[3]。簡支梁橋動力方程采用有限元方法建立，完全具有通用性，能計算復雜的變截面簡支梁橋、多跨連續梁橋和拱橋等，致使磁懸浮車橋振動分析能適應不同類型的橋梁。簡支梁橋的動力方程為：

(12)

式中：Fv為電磁力Fi通過形函數轉化的節點力列向量；Mv，Cv，Kv分別為橋梁的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，阻尼矩陣Cv采用剛度矩陣和質量矩陣Mv生成Rayleigh阻尼；yv為橋梁節點位移列向量。

簡支梁橋參數如表2[3]。

表2 簡支梁橋梁參數

1.4 軌道不平順

磁浮軌道不平順數值模擬的功率譜密度函數采用美國線路高低不平順功率譜，其數學表達式為[10]：

(13)

式中：S(Ω)為軌道不平順功率譜密度；Ωc為截斷頻率，取值為0.8245 rad/m；kp為安全系數，取常見值0.25；Av為粗糙度常數，取值為1.5×10-7m2/(rad/m)[7,11]。

車橋梁耦合振動中，整體坐標原點在多跨簡支梁的最左端，磁懸浮列車和軌道不平順的起始點距橋頭20 m處。軌道不平順采用三角函數進行模擬，選取的頻率范圍為0.1～1 rad/m，詳細的模擬過程參考文獻[17]，則軌道不平順如圖2所示。

圖2 數值模擬軌道不平順曲線

2 磁懸浮車橋耦合計算程序

基于自編的磁懸浮耦合計算程序，計算框架主要分為磁懸浮列車、橋梁(含軌道不平順)和反饋控制力三大塊，其中列車和橋梁通過反饋控制電磁力產生聯系(圖3)。磁懸浮列車和橋梁動力參數是先計算好的整體剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣，這樣使程序具有通用性，能方便計算不同類型的列車和橋梁。在列車、橋梁和電磁力這三者動力計算循環過程中，當前時刻電磁力作用點對應的車輛懸浮架位移、速度和加速度及橋梁位移和速度通過反饋控制電壓形成控制電流，控制電流和氣隙計算出動態電磁力，動態電磁力同時作用在橋梁和列車上各自進行動力計算，同時橋梁上的動態電磁力還需疊加靜態電磁力。磁懸浮列車上橋前，列車在軌道不平順激勵下振動，橋梁處于靜平衡位置；懸浮列車上橋后，列車的動力響應受橋梁和軌道不平順影響，列車和橋梁由于電磁力產生耦合振動；懸浮列車出橋后，橋梁自由振動，列車恢復到軌道不平順激勵下的振動直至計算時間結束。

3 計算程序正確性驗證

采用德國TR06系列高速磁懸浮列車參數對程序的正確性進行驗證，考慮一個車體四個轉向架共10個自由度，參數取值如表1，2。TR06雖然屬于高速磁浮列車，但仍然是EMS型磁浮列車，其豎向運動的數值模擬與中低速磁浮列車相同，故這里可以采用高速磁浮列車對程序的正確性進行驗證。高速磁懸浮列車TR06以速度400 km/h通過多跨長度為24.768 m的簡支梁橋，不同工況下車體振動穩定后的加速度曲線如圖4所示，第1跨簡支梁橋跨中位移隨時間的變化曲線如圖5。彈簧和阻尼替代電磁力的車橋耦合振動計算結果與文獻[3]相同，說明程序在此工況中對于計算磁懸浮列車/橋梁耦合振動的正確性。當選取不同反饋控制參數，車體和橋梁振動響應結果能與彈簧阻尼代替電磁力的車橋耦合振動結果相近。因此，反饋控制方法和合適的控制參數能較好實現列車的懸浮。

圖4 車體振動穩定后的加速度隨時間變化曲線

圖5 橋梁跨中位移隨時間變化曲線

4 中低速磁懸浮列車-多跨簡支梁梁橋耦合振動仿真分析

4.1 中低速磁懸浮列車-橋梁耦合振動響應

中低速磁懸浮列車計算參數參考韓國的UTM-01[12]，參數見表1。三節磁懸浮列車并列在距離橋頭20 m處以100 km/h勻速駛向10跨長度為24.768 m的簡支梁橋，未加軌道不平順下車體的豎向振動隨簡支梁橋數量的變化情況如圖6所示，第二節懸浮列車懸浮架與橋梁之間的平均氣隙隨橋梁數的變化情況如圖7所示。車體在反饋控制下達到第4座橋時趨于穩定，上下做簡諧振動，前后兩車體的振動平衡點基本一致且小于中間車體。三節車先后上橋，各節車體引起橋梁豎向位移疊加，中間車體對應的橋梁位移大于前后兩節車體，導致中間車體豎向振動平衡點跟著下降。車體簡諧振動的平衡點隨著橋梁的豎向位移往下移動，對橋梁的動力響應具有很好的跟隨性。懸浮架與橋梁之間的氣隙圍著額定氣隙10 mm上下波動，波動的幅值小于1 mm，反饋控制參數對于氣隙有比較好的控制。

圖6 車體位移隨橋梁數的變化曲線

圖7 氣隙隨橋梁數的變化曲線

4.2 軌道不平順對耦合振動的影響

三節磁懸浮列車并列在距離橋頭20 m處以100 km/h勻速駛向10跨長度為24.768 m的簡支梁橋，軌道平順與軌道不平順下第一節車體的動力響應情況如圖8所示。時程曲線中磁懸浮列車豎向振動具有隨機性，由耦合振動過程中橋梁振動的確定性和軌道不平順的隨機性共同決定，微小的不平順變化也能在車體的振動中反應出來，軌道線路設計施工中應嚴格減小軌道高低不平順。圖8時頻轉換后的振幅與頻率的關系曲線如圖9，可知從一個主頻1.2 Hz變成兩個主頻1.2，0.42 Hz，其振幅也相應變大。因此，低頻對車體的豎向振動影響較大，高頻部分幾乎對車體沒有影響。

圖8 車體豎向振動隨橋梁數的變化曲線

圖9 車體振幅隨頻率的變化曲線

簡支梁橋由于自身剛度較大，軌道不平順雖然對車體的振動影響大，但在列車中低速度下仍難以促使橋梁振動產生明顯變化(圖10)。軌道平順與軌道不平順的橋梁振動響應曲線基本一致。

圖10 橋梁跨中位移隨列車行駛距離的變化曲線

4.3 速度對車橋耦合振動的影響

不考慮軌道不平順的影響，主要分析磁懸浮列車在中低速下車橋耦合振動穩定后各振幅的變化。圖11中車體簡諧振動的振幅隨著速度的增大先增大后減小，前后車體振幅始終比較接近且明顯大于中間車體的振幅。中低速度下車速為56.7 km/h時車體的豎向振動達到最大，磁懸浮列車在24.768 m簡支梁橋行駛過程中應盡量遠離此速度。懸浮架與橋梁之間的平均氣隙幅值隨速度變化曲線如圖12所示，氣隙隨著速度的增大而增大，懸浮架5與橋梁之間的平均氣隙在速度為20 km/h下的0.18 mm迅速增加到速度為100 km/h下的0.8 mm，磁懸浮列車速度對氣隙影響較大。

圖11 車體振動穩定后的振幅隨車速的變化曲線

圖12 氣隙振幅隨車速的變化曲線

不同速度下的第一座簡支梁橋跨中位移曲線如圖13所示，其中橋梁跨中位移變化不大，中低速對車橋耦合振動的橋梁影響較小。

圖13 橋梁跨中位移隨距離的變化曲線

5 結 論

(1)本文基于自編程序，建立通用的中低速磁浮列車-橋梁耦合確定性振動分析平臺，能方便實現不同系列車體和不同橋梁的精細化分析，并對程序的正確性進行了驗證。

(2)磁懸浮車橋耦合振動過程中，車體振動的平衡位置會隨著橋梁發生的豎向位移向下移動，且前后車體簡諧振動振幅大于中間車體；

(3)軌道不平順主要對車體的振動響應產生影響，而對橋梁的振動影響較小，而軌道不平順中主要是低頻部分對車體動力響應影響大，應嚴格控制磁懸浮線路軌道不平順的低頻部分以提高乘客的舒適性；

(4)中低速磁浮列車行駛速度對氣隙和車體振動影響較大，而對橋梁的振動影響小，車體的振幅隨著車速增大先增大后減小，在車速為56.7 km/h時最大。