基于線性二次型調節器的乒乓舵最優控制方法

李 旭，霍鵬飛，陳 超，雷瀧杰

(西安機電信息技術研究所，陜西 西安 710065)

0 引言

隨著科技的發展，現代戰爭的模式發生了巨大的變化。“外科手術式精確打擊”與“斬首行動”等作戰思想的運用，對精確制導武器提出了越來越高的要求。低成本彈道修正技術在提高武器作戰性能，節約成本方面有明顯優勢，彈道修正引信可以使傳統庫存無控彈藥靈巧化，有著成本低、響應時間快、后勤負擔小、附帶毀傷低、效費比高等一系列優點，采用彈道修正引信進行無控彈丸精確化改造思想已深入人心。據統計，具備彈道修正技術的彈藥，其殺傷成本相對于精確制導彈藥而言降低了26～28倍，而同樣毀傷概率下可以減少普通彈藥消耗量的90%[1]。二維彈道修正引信分為固定翼和整體減旋可動翼兩種方案。各國在可動翼二維彈道修正引信的研究中，通常采用鴨式氣動布局，引信利用彈丸原有的飛行穩定性簡化控制系統設計。這種方案中，彈丸發射后引信通過減旋機構，確保彈體保持原有旋轉狀態，而引信相對于彈體整體減旋。引信上通常安裝有一對同向升力翼來提供修正力及力矩，一對差動可動翼來控制引信滾轉角，以此來調節修正力的方向[2-3]。

舵機作為二維彈道修正引信的執行機構，帶動一對差動可動翼進行引信滾轉角控制。由于舵機需要在匹配滾轉控制指令周期下，達到運動誤差的要求。舵機中存在電感這類儲能元件會因為電流的劇變產生延時，且測量會產生誤差，這對舵機自身控制周期的穩定性提出了較高要求，指標要求為換向頻率不小于50 Hz，頻率變化率不超過±2.5%。對于二維修正引信使用乒乓舵機的控制問題，國內外資料提及較少，并且不涉及具體控制器設計方法。本文針對上述問題，提出了基于LQR控制算法的舵機控制系統。

1 乒乓舵機數學模型及線性二次型調節器(LQR)控制算法

1.1 乒乓舵機的數學模型

乒乓舵機由脈寬調制信號驅動音圈電機運動，經鉸鏈式傳動裝置帶動差動翼面運動，翼面運動極限位置有機械限位，形成乒乓舵[4]。乒乓舵結構示意圖如圖1所示。

圖1 乒乓舵機結構示意圖Fig.1 Structure diagram of electrical actuator

在磁場作用下，通電導體切割磁力線產生反電動勢，其大小可以表示為：

E=δBlcv=kEv

(1)

式(1)中，E為反電動勢，δ為電磁感性系數，B為磁場強度，lc為線圈導線長度，v為動子的運動速度，反電動勢常數kE=δBlc。

當音圈電機線圈繞組兩端存在電壓，使音圈電機處于運動狀態，此時音圈電機線圈回路的動態電壓平衡方程式為：

(2)

式(2)中，u為線圈繞組兩端電壓，L為線圈繞組電感，i為流過線圈電流，R為線圈阻值。

根據音圈電機工作原理及實際工作條件可知，電機動子上有電磁力F、慣性力Fm、摩擦力Fc和負載力Fl。其關系表達式為：

F=Fm+Fc+Fl

(3)

當線圈中電流為i，磁場強度為B，導體會受到電磁力的作用，其大小為：

F=δBlci=kfi

(4)

式(4)中，電機力常數kf=δBlc。

慣性力Fm表達式為：

(5)

式(5)中，m為動子部分總質量，a為動子運動加速度，x為動子運動行程。

動子運動過程中，其運動速度表達式為：

(6)

由于音圈電機的粘性摩擦力遠大于干摩擦力，所以只考慮粘性摩擦力，其表達式為：

(7)

式(7)中，c為粘性阻尼系數。

負載力由舵機翼面的鉸鏈力矩Mh產生，其表達式為：

(8)

式(8)中，l為力臂。

聯立式(3)—(5)、(7)和(8)，則乒乓舵機的力平衡方程為：

(9)

考慮到電機運動過程中的行程誤差，其表達式為：

e=x-xc

(10)

式(10)中，xc為電機運動總行程。

聯立音圈電機的動態電壓方程式(2)、力平衡方程式(9)、速度方程式(6)及誤差方程式(10)，乒乓舵機動力學方程組如式(11)所示[5-6]。

(11)

1.2 線性二次型調節器控制算法

線性二次型調節器控制問題屬于二次型性能指標的最優控制問題，其實際上是要用最小的控制量來獲得最小誤差的最優控制。由LQR控制原理可知，對于形如式(12)中描述的線性系統，選擇最優控制輸入，使得式(14)中所描述的性能指標J最小。

(12)

u*(t)=-K*x(t)

(13)

(14)

式(14)中，Q為半正定矩陣，R為正定矩陣。該指標的物理意義在于設計控制變量u，使用最少的能量，使得狀態x在整個控制過程中最小。反饋矩陣K*可通過式(15)計算。

K*(t)=-R-1BTP

(15)

式(15)中，P為Riccati代數方程(16)的解[7]。

ATP+PA-PBR-1BTP+Q=0

(16)

2 基于線性二次型調節器控制算法的乒乓舵機控制方法

將乒乓舵機動力學數學模型寫成狀態空間描述的形式。

(17)

選取的三種狀態變量中，i和e均可測，e通過微分及低通濾波得到v，則對于狀態空間方程(17)中描述的線性系統，可以得到式(18)所示的輸出方程。則式(17)和(18)一起構成形如式(12)的乒乓舵機運動的狀態空間描述。

(18)

對于乒乓舵機的線性系統而言，選取R=[a](a>0)，Q為半正定對角陣,則A、B、Q、R均為常數矩陣，P(t)存在且唯一，并且為非負定。同時系統輸入u不受約束。滿足LQR控制算法的應用條件[8-9]。

應用LQR控制算法得到式(19)中的最優控制律。

(19)

3 仿真驗證

根據上一章得到的乒乓舵機控制系統數學模型及最優控制律，運用Matlab中Simulink工具箱建立乒乓舵機控制系統模型，如圖2所示。

圖2 乒乓舵機控制系統仿真圖Fig.2 Simulink diagram of electrical actuator control system

為了驗證基于LQR控制算法的乒乓舵控制方法的控制效果，在不引入測量誤差的情況下，控制系統的仿真結果如圖3所示。

圖3 乒乓舵機控制系統電流、速度及行程誤差變化曲線Fig.3 Current, speed and distance error diagram of electrical actuator control system

速度估計值與理論值差別如圖4所示。由圖4可以看出，速度的估計值迅速收斂至理論值。

圖4 乒乓舵機運動速度理論值與實際值變化曲線Fig.4 Actual value and ideal value of movement speed diagram of electrical actuator

由圖3的仿真結果中可以看出，調節時間ts≈10 ms，超調量為0。同時線圈電流，動子運動速度以及行程誤差變化平緩，其中線圈電流、動子速度及行程誤差均趨向于0。所需控制量很小，仿真結果如圖5所示。使用乒乓舵三環PID算法的調節時間ts≈42 ms，且存在25%的超調量。同時可以看出，LQR較PID算法可節省約39%的功耗，仿真結果如圖6所示。LQR控制算法與PID控制算法控制仿真結果對比如圖7所示。

圖5 乒乓舵機控制系統控制量變化曲線Fig.5 Voltage diagram of electrical actuator control system

圖6 LQR與PID控制算法瞬時功耗仿真結果Fig.6 Power consumption diagram of LQR and PID algorithm

圖7 LQR控制算法與PID控制算法仿真結果Fig.7 Simulation results diagram of LQR and PID algorithm

當行程誤差引入均值為0 mm，方差為0.001 mm的正態誤差，電流引入均值為0 mA,方差為20 mA的正態誤差時，單次換向時間ts≈9.86 ms，變化率1.4%，滿足換向頻率不小于50 Hz，頻率變化率不超過±2.5%的指標要求。測量誤關如圖8所示。

圖8 引入電流和行程誤差的測量誤差曲線Fig.8 Measure error diagram of current and distant error

對穩定狀態的控制結果進行統計分析可知，乒乓舵機控制中，電流存在均值為83.4 mA，均方差為325.1 mA的誤差；速度存在均值為-0.002 m/s，均方差為0.078 m/s的誤差；行程誤差存在均值為-0.14 mm，均方差為0.13 mm的誤差。三環PID控制中，電流存在均值為63.6 mA，均方差為460 mA的誤差；速度存在均值為-0.01 m/s，均方差為0.092 m/s的誤差；行程誤差存在均值為-0.21 mm，均方差為0.33 mm的誤差。仿真結果對比如圖9所示。

圖9 引入測量誤差時LQR與PID控制算法仿真曲線Fig.9 Simulation results diagram of LQR and PID algorithm with measuring error

基于最優控制理論中LQR控制算法的乒乓舵機控制方法與傳統的三環PID控制算法相比，其調節時間短，不存在超調，控制精度高，同時所需控制量少。其設計方法簡單，僅需要判斷系統是否存在一個最優控制律使其達到穩態時，使式(14)中的性能指標最小。在滿足LQR控制算法應用條件的基礎上求解Riccati代數方程，求得P陣，利用式(16)便可得到使得式(15)中性能指標最小的最優控制律。

4 結論

本文提出基于LQR控制算法的乒乓舵機控制方法。該方法先建立乒乓舵機數學模型，然后將乒乓舵機動力學數學模型寫成狀態空間描述的形式，再判斷乒乓舵機的狀態空間描述是否滿足LQR控制算法的應用條件，最后應用LQR控制算法得到最優控制律。其設計方法簡單，不需要將乒乓舵機控制器分為多級回路進行單獨設計。由仿真結果可知，基于LQR控制算法的乒乓舵機控制方法與傳統的三環PID控制算法相比，其調節時間短，不存在超調，控制精度高，同時所需控制量少。由于LQR控制算法對系統建模準確度要求較高，在實際使用過程中，易產生控制誤差散布較大的情況，故在工程應用中應考慮增加濾波。