淺談數學建模在探究小學“工程問題”中的應用

■廈門市故宮小學 何雪琴

說起“工程問題”也許大家腦海里還會有蓄水池水管注水和放水的困惑，由于外界的爭議，“工程問題”曾退出小學數學的舞臺，2011年頒布新課程標準后，重新修訂教科書，2013年數學人教版教科書又新加入“工程問題”。這一退一進之間，彰顯“工程問題”的數學價值。它是“分數除法”這一單元的最后一個例題，是學生系統學習分數相關知識后對分數認識的又一次升華，是體現分數抽象性的最好素材，也是用“假設法解決問題”最典型的例子，更是滲透模型思想的活動載體。通過課前調查，我發現有很多同學已經會用“1”作總量進行列式計算了（看過書或課外學過）。然而，學生會根據模型列式解答，不代表他們都已真正理解模型。在學生暴露學情后，我們將課堂重心轉向引導學生把現實問題“模型化”的過程，開啟對工程問題的深度探索。

一、“充分閱讀，合理估測”觸摸建模起點

第一次教學這個例題，教學探究部分我們設計的第一環節重點是“閱讀信息，大膽猜想”，旨在深度閱讀為建模做充分的準備。問題情境：一隊單獨修需要12天修完，二隊單獨修需要18天，那兩隊合修，需要多少天呢？面對這個問題，教師可以引導學生思考一隊單獨修可以12天完成，從而可以判斷出，他們合作修的天數一定小于12天。當然，這只是我們的猜想，數學不能光靠猜想，必須還要通過正確的方法來驗證。試想把“猜想”升級為“估測”，估測的思維過程是激活原有的知識、經驗與實際問題結合起來，不斷假設或推翻設想的高級思維活動。“估測”作為算術估計的組成部分之一，是國際基礎數學教育改革重要的內容。在第二次教學時我們把“大膽猜測”改為“合理估測”，嘗試引導學生在“合理估測”中對“工效”“工作總量”“工作時間”“效率”進行理解，為數學建模做充分的準備。學生從具體情境中抽象出數學問題，發現和提出問題，是數學建模的起點。到第二次教學這個環節時，我的重心改為“充分閱讀，合理估測”。學生的合理估測離“數學建模”更進一步。

還是同樣的情境，如果給你一條數軸0——6——12根據你的估測兩隊合作完成的天數大約在數軸的什么位置？說說你的理由。這又進入了引導學生估算環節。

二、“大膽假設、嘗試解決”夯實建模基礎

在“充分閱讀，合理估測”的鋪墊下鼓勵學生自主探究“合作需要幾天完成呢？”自己嘗試解決后學生匯報環節非常精彩，據統計學生的假設法就有十幾種。假設法大致分為三類：假設這條路的總長是12、18的公倍數的（36米、180米、360米……）占全班人數60%；假設這題路為字母（a米、x米）占全班人數的4%，假設為這條路的總路程為“1”占全班人數的25%。歸納推理是特殊情況下作出一般結論，是一種基于推斷的推理。在小學數學中我們使用最多的是簡單枚舉推理，從個別或者特殊事物出發概括出結論的思維方法，學生假設這條路的總長不同，計算結果相同，那是不是無論這條路的總長設成多少，得到的答案都一樣？變換幾個不是12和18的公倍數的數試試后學生又引入字母，讓字母參與運算，得到的結論更加嚴謹，更有說服力。

三、“交流討論，自主抽象”提取數學模型

在學生匯報后根據學生反饋把典型數據通過課件整理成表格的形式，通過解決辦法的觀察，從表格數據學生在“變中找不變”中提取數學模型，在表格整理數據之后設計線段圖幫助學生抽象解題題結構。在學生觀察數據并分析模型背后的算理的基礎上，教師逐漸引導學生總結解題模型。數學模型是一種數學形式表達，我們的任務是求解模型，在求解模型過程中讓學生理解數學模型的意義，也就是理解數學知識。建模過程是學生獲得知識技能的過程也是思想方法等經驗積累的過程，在這個環節中，學生通過觀察、分析、抽象、概括等數學活動完成模式抽象，把復雜的實際問題簡單化，抽象成合理的數學結構。

四、“舉一反三，觸類旁通”應用數學模型

在數學教學中，可利用具體實例說明，通過實例來幫助理解抽象的數學內容，通過典型的問題解決帶動相關問題的解決，由一個到一類，觸類旁通應用所得到的數學模型去解決問題。教師可以在習題中安排運輸問題、行程問題、泄洪問題作為抽象數量關系的現實載體，通過解決此類問題、透過各種現實表象，找出隱藏其后的數學模型，將模型解答和現實生活進行對照檢驗，根據檢驗結果對解答進行修訂，得到滿足現實問題的優化解答。數學模型是一種數學表達方式，并不能解決問題，如果一味地用所獲的數學結構去解決實際問題，那么生搬硬套的“套路化”的解題會限制了學生的思維。為了化解“模型化”后“套路化”解題的矛盾，我們設計這樣的課后練習，通過對練習的辨析進一步理解數學模型的意義，活用數學模型解決同類問題，加深對數學結構的理解。例如同類型題目，一條公路，甲隊3天修了，乙隊4天修兩隊合修幾天修全長的練習的編排給我們解釋理解模型提供很好素材，模型背后的數理是：工作總量÷工作效率=工作時間；工作總量÷工效和=合作時間。通過練習對已經學得的數學模型在不同情境下進一步應用，在應用過程中，促進學生把學習的知識、學習的能力、感悟到的思想方法進行內化，成為學生的數學素養。

“工程問題”重新編排到新人教版教材應避免不斷變式深挖，教學的重點轉向通過例題的學習積累學習經驗，讓學生形成發現問題、分析問題、解決問題的能力，會找變中有不變背后的數學模型。模型思想的教學不是教知識點，而是滲透模型思想，需要經歷一個復雜漫長的積累領悟的過程。我們旨在建模和實際應用過程中促進學生能力發展。