四輪車輛路面激勵數學模型

黃大山，王炳奇，劉海亮，張 建

(1.中國人民解放軍32272部隊41分隊， 四川 德陽 618408； 2.裝甲兵學院 車輛工程系， 北京 100072)

整車懸架系統振動控制特性的時域和頻域仿真分析，均需要以一定的路面激勵為輸入，才能得到懸架系統各狀態量的響應特性。隨機路面激勵可以反映出懸架系統各條件下的綜合性能，運用最為廣泛。如對車輛懸架系統施加隨機路面激勵(等級路面激勵)，通過時域分析可以得到車輛懸架系統性能評價指標的統計特性[1]，通過頻域分析可以計算出車輛懸架系統各響應量的功率譜密度[2]。由此可知，建立合理準確的路面激勵模型，對車輛懸架系統動力學特性分析有著重大的影響。目前國內外學者已經設計出了多種隨機路面激勵模型的建模方法，如諧波疊加法[3]、濾波白噪聲法[4]、ARMA模型法[5]、傅里葉逆變換法[6]等。考慮上述各建模方法的原理和特點，在此選取容易計算并實用性強的濾波白噪聲法建立隨機路面激勵模型。

1 單輪時域路面激勵模型

作為車輛懸架系統外部輸入的隨機路面激勵，主要采用路面功率譜密度來描述其統計特性[7]，其擬合表達式為[8-9]：

(1)

對于車輛懸架系統動力學特性分析而言，車輛行駛速度也是需要考慮的一個因素，將空間頻率功率譜密度Gxr(n)轉換為時間頻率功率譜密度Gxr(f)，可以引入車速這一變量。當車輛以一定速度v行駛于空間頻率為n的路面上時，其等效的時間頻率f可表示為：

f=vn

(2)

由此可推導出空間頻率功率譜密度和時間頻率功率譜密度的轉換公式為：

(3)

當w= 2時，有時間頻率功率譜密度表達式為：

(4)

在式(1)中，當n→0時，Gxr(n) →∞；在式(3)、式(4)中，當f→0時，Gxr(f) →∞，這不符合工程實際情況[10]。因此，在此考慮空間下限截止頻率nmin和時間下限截止頻率fmin=vnmin，則有：

(5)

(6)

濾波白噪聲法生成的路面激勵模型是通過一階濾波白噪聲系統來描述的。一階濾波白噪聲系統屬于單自由度線性系統，僅有一個激勵量W(t)和一個響應量xr(t)，則依據隨機振動理論，響應量和激勵量在頻域內的關系和其功率譜密度之間的關系為：

xr(f)=Hxr～W(f)W(f)

(7)

(8)

一階濾波白噪聲系統的時域一般表示為：

(9)

對式(9)變換可得：

(10)

對式(10)進行傅里葉變換可得：

xr(f)(2πf·j+a)=bW(f)

(11)

由式(7)可以得到一階濾波白噪聲系統的頻響函數為：

(12)

(13)

由式(8)可以得到一階濾波白噪聲系統響應量的功率譜密度為：

(14)

由文獻[10]可知，標準高斯白噪聲的功率譜密度為1，即：

GW(f)=1

(15)

于是有一階濾波白噪聲系統響應量的功率譜密度為：

(16)

對比式(6)和式(16)，可以得到一階濾波白噪聲系統參數為：

(17)

至此，可推導出基于濾波白噪聲法生成的路面激勵模型為：

(18)

2 左半車時域路面激勵模型

若由式(18)確定出的由單位白噪聲Wrlf(t)生成的左前輪時域路面激勵為xrlf(t)，則同側左后輪的時域路面激勵xrlr(t) 可表示為：

xrlr(t)=xrlf(t-τ)

(19)

(20)

式(20)中，Lfr為車輛前后輪輪距。

由傅里葉變換可將式(19)轉化為：

xrlr(ω)=xrlf(ω)e-jωτ

(21)

則車輛左前輪路面激勵到左后輪路面激勵的傳遞函數可表示為：

(22)

采用2階Pada近似計算，可得到傳遞函數為：

(23)

將其轉化為車輛左前輪路面激勵和左后輪路面激勵相關性的狀態方程和輸出方程為：

(24)

Yfr=CfrZrq+DfrUx

(25)

基于式(18)，可以得到以濾波白噪聲作為輸入、左前輪激勵和左后輪激勵作為輸出的左半車輛路面的過渡方程、狀態方程和輸出方程為：

(26)

(27)

Yfr=CfrXfr

(28)

3 前半車時域路面激勵模型

若有由單位白噪聲Wrlf(t)生成的左前輪時域路面激勵xrlf(t)，則其(自)功率譜密度可表示為Gxrlf(ω)，w= 2πf。假設有由單位白噪聲Wrrf(t)生成的右前輪時域路面激勵及其(自)功率譜密度分別為xrrf(t)和Gxrrf(ω)，由于在同一道路上兩條不同車輪軌跡的路面不平度統計特性相同，即左前輪路面激勵與右前輪路面激勵的自功率譜密度是相同的，則有：

Gxrrf(ω)=Gxrlf(ω)

(29)

由式(15)可知，單位白噪聲Wrlf(t)與Wrrf(t)具有相同的功率譜密度，即：

GWrlf(ω)=GWrrf(ω)=1

(30)

則由式(7)和式(8)可知，左前輪激勵量Wrlf(t)和響應量xrlf(t)在頻域內的關系和其功率譜密度之間的關系可表示為：

xrlf(ω)=Hxrlf～Wrlf(ω)Wrlf(ω)

(31)

(32)

同理右前輪激勵量Wrrf(t)和響應量xrrf(t)在頻域內的關系和其功率譜密度之間的關系可表示為：

xrrf(ω)=Hxrrf～Wrrf(ω)Wrrf(ω)

(33)

(34)

對比式(29)和式(30)可以得到左前輪和右前輪頻率響應函數之間的關系為：

Hxrlf～Wrlf(ω)=Hxrrf～Wrrf(ω)

(35)

上述2條不同車輪軌跡的路面不平度的隨機過程存在互譜，即左前輪路面激勵與右前輪路面激勵是相干的，在通過左前輪建立右前輪時域路面模型時需要考慮其相干性。假設有左前輪時域路面激勵到右前輪時域路面激勵的互功率譜密度為Gxrlfxrrf(ω)，令左前輪時域路面激勵xrlf(t)為系統的輸入，右前輪時域路面激勵xrrf(t)為系統的輸出，則根據隨機振動理論可知，系統輸入與系統輸出之間的互功率譜密度與系統輸入的自功率譜密度之間的關系為：

Gxrlfxrrf(ω)=Hxrrf～xrlf(ω)Gxrlf(ω)

(36)

車輛左前輪時域路面激勵與右前輪時域路面激勵的相干函數可以定義為：

(37)

考慮式(29)可得：

Gxrlfxrrf(ω)=cohxrlfxrrf(ω)Gxrlf(ω)

(38)

對比式(36)和式(38)可得：

|Hxrrf～xrlf(ω)|=cohxrlfxrrf(ω)

(39)

目前國內外學者已經根據實際測量的路面不平度數據擬合建立了多種相干函數的數學模型。在此設計考慮路面激勵頻率、車輛輪距和車輛行駛速度的相干性函數的數學模型，該模型與測量曲線相當接近，并且結構形式簡單便于計算，可表示為：

(40)

式(40)中：ρ為擬合系數；Llr為車輛左右輪輪距。

由式(40)可知，該模型可以表征路面激勵頻率、車輛輪距和車輛行駛速度對相干性的影響，與上述實測分析結果趨勢一致。

考慮車輛左前輪時域路面激勵與右前輪時域路面激勵的相干性，可將Wrrf(t)定義為Wrlf(t)和另一不相干的單位白噪聲Wrri(t)的雙輸入系統的響應量，可知其功率譜密度為：

GWrri(ω)=1

(41)

假設有系統輸出Wrrf(t)與兩個輸入Wrlf(t)、Wrri(t)之間的頻率響應函數分別為HWrrf～Wrlf(ω)、HWrrf～Wrri(ω)，則有激勵量與響應量在頻域內的關系和其功率譜密度之間的關系可表示為：

Wrrf(ω)=HWrrf～Wrlf(ω)Wrlf(ω)+HWrrf～Wrri(ω)Wrri(ω)

(42)

(43)

將式(42)代入式(33)，可得：

xrrf(ω)=Hxrrf～Wrrf(ω)Wrrf(ω)=

Hxrrf～Wrrf(ω)HWrrf～Wrlf(ω)Wrlf(ω)+

Hxrrf～Wrrf(ω)HWrrf～Wrri(ω)Wrri(ω)

(44)

考慮式(35)有：

xrrf(ω)=Hxrlf～Wrlf(ω)HWrrf～Wrlf(ω)Wrlf(ω)+

Hxrrf～Wrrf(ω)HWrrf～Wrri(ω)Wrri(ω)=

HWrrf～Wrlf(ω)xrlf(ω)+

HWrrf～Wrri(ω)Hxrrf～Wrrf(ω)Wrri(ω)

(45)

考慮由左前輪時域路面激勵xrlf(t)到右前輪時域路面激勵xrrf(t)的頻率響應函數為Hxrrf～xrlf(ω)，則有：

HWrrf～Wrlf(ω)=Hxrrf～xrlf(ω)

(46)

由式(39)可知：

|HWrrf～Wrlf(ω)|=cohxrlfxrrf(ω)

(47)

考慮式(30)和式(41)，可將式(43)改寫為：

(48)

可將頻率響應函數HWrrf～Wrlf(ω)和HWrrf～Wrri(ω)表示為：

(49)

(50)

式(49)、(50)中，n為系統階數。為了簡化計算，可以將其近似為2階系統，則有：

(51)

(52)

由此，可將式(51)和式(52)轉化為計算車輛右前輪路面激勵單位白噪聲Wrrf(t)的狀態方程和輸出方程，有：

(53)

Yrw=CrwZrw+DrwUw

(54)

基于式(18)，可以得到以濾波白噪聲作為輸入、左前輪激勵和右前輪激勵作為輸出的前半車輛路面的過渡方程、狀態方程和輸出方程為：

(55)

(56)

Ylr=ClrXlr

(57)

4 整車時域路面激勵模型

綜合上述前3節的分析，可基于濾波白噪聲法建立車輛4輪時域路面激勵模型。由式(18)、式(26)、式(27)、式(28)、式(55)、式(56)和式(57)可得，以濾波白噪聲作為輸入，左前輪激勵、右前輪激勵、左后輪激勵和右后輪激勵作為輸出的整車路面的過渡方程、狀態方程和輸出方程分別為：

(58)

(59)

Yr=CrXr

(60)

考慮將過渡向量與狀態向量擴展為增廣狀態向量，有：

(61)

則可以得到由增廣狀態向量建立的四輪時域路面激勵模型的狀態方程和輸出方程分別為：

(62)

(63)

5 路面激勵模型仿真

對第4節所構建的四輪時域路面數學模型進行仿真分析驗證，得到4個車輪路面激勵輸入的時域信號如圖1所示。

圖1 路面激勵輸入時域信號曲線

左前輪與左后輪路面激勵輸入的時域信號如圖2所示。由圖2可以看出，2個路面激勵輸入幅值相同，有一定的相位差，仿真結果與實際路面激勵輸入相符。

圖2 左前輪與左后輪路面激勵輸入時域信號對比

左前輪與右前輪路面激勵輸入的時域信號對比如圖3所示。由圖3可以看出，兩個路面激勵輸入相近。在低頻時的路面激勵有幾乎相同的幅值和相位，而高頻時的相關性較差，仿真結果與實際路面激勵輸入相符。

圖3 左前輪與右前輪路面激勵輸入時域信號對比

左前輪與右前輪路面激勵輸入的相干性如圖4所示。由圖4可以看出，仿真得到的車輛左前輪與右前輪路面激勵輸入的相干性與式(40)理論模型和式(49)近似模型相一致，符合實際路面激勵低頻相干性強、高頻相干性弱的特點，并與圖3的時域分析結果一致。

6 結論

基于濾波白噪聲法建立了單輪時域路面激勵模型；在此基礎上，考慮延時特性建立了后輪時域路面激勵模型，以此給出左半車時域路面激勵模型；考慮相干性建立了右輪時域路面激勵模型，以此給出前半車時域路面激勵模型；綜合構建出車輛四輪時域隨機路面激勵模型，通過時域和頻域的仿真分析驗證了該整車四輪時域路面激勵模型的有效性，說明了該路面激勵模型可以用于整車懸架系統振動控制特性仿真分析。