斜拉橋懸臂施工階段自振頻率簡(jiǎn)化計(jì)算方法

王洪云 尚念恒 彭霞

1.山東省交通工程監(jiān)理咨詢(xún)有限公司 濟(jì)南250002

2.泰安市公路規(guī)劃設(shè)計(jì)院 271002

3.山東交通學(xué)院 濟(jì)南250023

引言

振動(dòng)頻率、振型及阻尼比是反映結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的三個(gè)主要指標(biāo)，也是表征結(jié)構(gòu)總體狀態(tài)的重要參數(shù)。斜拉橋的結(jié)構(gòu)體系問(wèn)題、抗風(fēng)性能、抗震性能均與結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性密切相關(guān)。

自振頻率和振型是結(jié)構(gòu)固有的動(dòng)力特性，對(duì)于自振頻率相差很大的兩個(gè)結(jié)構(gòu)體系，即使外觀(guān)上極為相似，但動(dòng)力特性可能會(huì)出現(xiàn)較大差異；反之，對(duì)于自振頻率相似的兩個(gè)結(jié)構(gòu)，外觀(guān)即使差異很大，但在動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力性能可能保持相近。因此，對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)體系的自振頻率和振型等進(jìn)行研究對(duì)把握結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性具有重要意義［1］。影響結(jié)構(gòu)自振頻率和振型的主要因素包括結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分布和剛度，而結(jié)構(gòu)的自振頻率可通過(guò)模態(tài)試驗(yàn)來(lái)測(cè)試。

斜拉橋是結(jié)合梁橋與懸索橋優(yōu)點(diǎn)的組合結(jié)構(gòu)體系，由主梁、索塔和斜拉索三部分組成。其中，斜拉索承受拉力，主梁以承受彎矩為主，索塔以承受斜拉索傳來(lái)的軸向壓力為主。斜拉橋自從20世紀(jì)70年代傳入我國(guó)后，得到了迅速的發(fā)展。斜拉橋在懸臂施工階段，屬于超低頻振動(dòng)體系，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性較差，受環(huán)境、施工荷載及索力偏差等因素影響較大，并且隨著主梁懸臂長(zhǎng)度的增大，結(jié)構(gòu)的自振特性不斷發(fā)生變化，對(duì)結(jié)構(gòu)在施工中的自振頻率進(jìn)行定量分析可作為橋梁施工控制的一種輔助手段，以了解結(jié)構(gòu)的施工狀態(tài)和保證結(jié)構(gòu)的施工安全。

本文擬通過(guò)理論分析建立斜拉橋在施工階段的簡(jiǎn)化自振頻率計(jì)算公式，通過(guò)與實(shí)測(cè)模態(tài)數(shù)據(jù)的對(duì)比分析，研究斜拉橋在施工階段的動(dòng)力特性，為橋梁施工階段的監(jiān)控和抗震性能的設(shè)計(jì)提供參考，同時(shí)為斜拉橋概念設(shè)計(jì)階段動(dòng)力特性的框算提供一種手段。

1 斜拉橋動(dòng)力特性的研究現(xiàn)狀

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)斜拉橋的動(dòng)力特性和簡(jiǎn)化計(jì)算方法已經(jīng)進(jìn)行了一定的研究。1985年，項(xiàng)海帆［2］指出在成橋階段的第一振型中貢獻(xiàn)占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)為縱向水平振動(dòng)，于是將橋面的全部質(zhì)量集中到塔頂，并將橋塔的自身質(zhì)量換算成等效質(zhì)量同樣集中到塔頂，形成替代體系，建立了單質(zhì)點(diǎn)模型，模型簡(jiǎn)化圖示如圖1a所示。單質(zhì)點(diǎn)計(jì)算模型和計(jì)算結(jié)果與實(shí)際狀態(tài)有較大出入，單質(zhì)點(diǎn)模型的縱飄頻率近似計(jì)算方法僅在橋塔抗推剛度與主梁擺動(dòng)剛度比較接近的情況下，才具有較高的精度，使單質(zhì)點(diǎn)模型的基頻計(jì)算公式不具備普遍性。2005年，袁萬(wàn)城［3］在單質(zhì)點(diǎn)模型基礎(chǔ)上建立了雙質(zhì)點(diǎn)簡(jiǎn)化模型，進(jìn)一步提高了漂浮體系斜拉橋動(dòng)力分析的精度，模型簡(jiǎn)化圖示如圖1b所示。但此處的雙質(zhì)點(diǎn)計(jì)算模型和計(jì)算結(jié)果與實(shí)際狀態(tài)仍有出入，誤差依然存在，僅在橋塔抗推剛度大與主梁擺動(dòng)剛度較小的情況下，才具有較高的精度。

圖1 力學(xué)簡(jiǎn)化模型Fig.1 Simplified calculation model

2010年，龍馭球，包世華［4］指出集中質(zhì)量法、廣義坐標(biāo)法和有限元法是目前常用的建立結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析模型的方法。建立斜拉橋振動(dòng)方程的方法主要是根據(jù)達(dá)朗伯原理，采用柔度法或者剛度法建立平衡方程。

目前針對(duì)斜拉橋的振動(dòng)特性的研究對(duì)象為成橋階段的斜拉橋，并用于成橋階段的驗(yàn)收、橋梁運(yùn)營(yíng)階段的健康監(jiān)測(cè)以及橋梁抗震特性的研究，而針對(duì)施工階段的動(dòng)力特性研究未見(jiàn)相關(guān)文獻(xiàn)，本文在雙質(zhì)點(diǎn)模型基礎(chǔ)上從成橋階段擴(kuò)展到施工階段，并在雙質(zhì)點(diǎn)模型的基礎(chǔ)之上推導(dǎo)出進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算公式，可對(duì)斜拉橋施工階段動(dòng)力特性的快速計(jì)算提供參考。

2 施工階段雙質(zhì)點(diǎn)體系振動(dòng)模型

在施工階段，斜拉橋一般采用懸臂對(duì)稱(chēng)施工的施工方法，橋塔只承受對(duì)稱(chēng)的恒荷載以及施工荷載，不承受汽車(chē)和人群荷載。

2.1 邊界條件簡(jiǎn)化

在懸臂施工階段，橋塔與承臺(tái)之間的連接視為剛性連接，橋塔與主梁之間的連接（包括臨時(shí)連接）也視為剛性連接處理。斜拉橋的懸臂施工結(jié)構(gòu)向橋塔兩側(cè)逐漸推進(jìn)，直至成橋階段，如圖2所示。無(wú)論塔梁固結(jié)還是漂浮體系斜拉橋，在施工階段采用臨時(shí)固結(jié)或者永久固結(jié)后，橋塔和主梁的聯(lián)系可作為剛結(jié)處理。

圖2 斜拉橋施工階段示意Fig.2 Schematic construction stage of cable stayed bridge

2.2 橋塔振動(dòng)模型簡(jiǎn)化

本模型將質(zhì)量連續(xù)分布的橋塔自身質(zhì)量和作用位置進(jìn)行等效換算，保持橋塔的總質(zhì)量不變，質(zhì)心作用位置放在橋塔的重心處，主塔若為等截面直塔，則質(zhì)心作用位置在承臺(tái)以上1/2塔高位置處；主塔若為變截面塔，則質(zhì)心位置在塔高1/2以下位置。

2.3 主梁振動(dòng)模型簡(jiǎn)化

在本模型中，將每個(gè)施工階段的質(zhì)量增量和位置計(jì)算后，進(jìn)行加權(quán)平均，計(jì)算等效的主梁質(zhì)量位置。若0號(hào)段沒(méi)有張拉斜拉索，則0號(hào)段的質(zhì)心位置在實(shí)際的主梁位置處，如圖3a所示。從1號(hào)段開(kāi)始，隨著斜拉橋拉索的張拉，主梁的重量由斜拉索對(duì)稱(chēng)傳遞到橋塔，以軸心受壓的方式作用于橋塔截面，橋塔在斜拉索的錨固點(diǎn)以下，橋塔截面均勻受壓，故軸向壓力的作用點(diǎn)位置在斜拉索錨固點(diǎn)以下1/2位置，如圖3b所示。

圖3 施工階段雙質(zhì)子模型Fig.3 Double-mass model of construction stage

3 施工階段動(dòng)力特性簡(jiǎn)化計(jì)算公式

按柔度法建立兩個(gè)自由度無(wú)阻尼振動(dòng)體系的自由振動(dòng)微分方程［5］，并且求出結(jié)構(gòu)的圓頻率ω，設(shè)：

則第一圓頻率為：

第二圓頻率為：

根據(jù)文獻(xiàn)［4，5］得到式（4）和式（5）：

式中：δij為單位力作用在j點(diǎn)在i點(diǎn)引起的位移，稱(chēng)為柔度系數(shù)；m1為質(zhì)點(diǎn)1的質(zhì)量；m2為質(zhì)點(diǎn)2的質(zhì)量。

則進(jìn)一步推導(dǎo)，得到第一階和第二階自振頻率分別為：

由式（6）和式（7）不難發(fā)現(xiàn)，斜拉橋在施工階段的結(jié)構(gòu)自振頻率f1小于f2，實(shí)際上，分母的4（δ11δ22-δ12δ21）m1m2數(shù)值對(duì)f1影響很小，故可以簡(jiǎn)化為：

經(jīng)過(guò)多次試算發(fā)現(xiàn)，在圖乘法計(jì)算δij時(shí)，計(jì)算結(jié)果對(duì)主梁和橋塔的等效高度并不敏感，故采用變化的主梁質(zhì)量和橋塔的質(zhì)量比對(duì)式（8）進(jìn)行修正，令修正系數(shù)為：

則公式簡(jiǎn)化為：

4 工程應(yīng)用

某黃河公路大橋主橋全長(zhǎng)840m，橋跨布置為40m+175m+410m+175m+40m，橋面寬38.0m，見(jiàn)圖4。主橋橋型為雙塔雙索面鋼混組合梁斜拉橋，高138.0m的橋塔采用門(mén)式框架結(jié)構(gòu)，采用單箱單室空心箱型截面。索塔兩側(cè)雙索面扇形布置16對(duì)斜拉索。鋼主梁由邊箱梁、橫梁和小縱梁組成，橋面板為混凝土。邊鋼箱梁寬2.8m，高3.0m～3.056m，根據(jù)受力區(qū)域不同，頂板厚度為25mm，底板厚度為35mm～45mm，腹板厚30mm。塔的混凝土為C50，彈性模量為3.45×104MPa，塔的抗彎慣性矩為336m4，抗彎剛度為115.92×106kN·m2，塔高為133.5m，有效高度為36.71m，塔的重量為21200t。橋梁設(shè)計(jì)汽車(chē)荷載為公路-Ⅰ級(jí)。

圖4 橋梁工程圖（單位：m）Fig.4 Drawing of bridge engineering（unit：m）

4.1 有限元建模

在建立有限元分析模型時(shí)，應(yīng)盡量保證結(jié)構(gòu)的剛度、質(zhì)量和邊界條件與實(shí)際情況相符，以提高斜拉橋動(dòng)力分析時(shí)模型的準(zhǔn)確性。

采用魚(yú)骨形模型建立斜拉橋有限元模型，利用空間有限元模擬索塔、主梁和橫梁，用空間桁架單元模擬斜拉索，斜拉索與主梁、橋塔及橫梁之間采用剛臂連接，墩柱底部采用固結(jié)體系，輔助墩和過(guò)渡墩處的主梁的約束類(lèi)型為橫向約束和豎向約束。

模型約束條件如下：①塔柱在承臺(tái)頂部嵌固；②主梁支承在塔柱橫梁上；③主墩承臺(tái)下為多排摩擦樁；④輔助墩和過(guò)渡墩設(shè)置彈性連接單元模擬支座功能；⑤拉索與主梁連接處、塔柱與塔柱橫梁的交叉點(diǎn)處等使用剛臂單元。

對(duì)混凝土斜拉橋進(jìn)行動(dòng)力特性分析時(shí)，主梁模型可采用多種單元進(jìn)行模擬，包括梁?jiǎn)卧鍤卧蛯?shí)體單元以及這些單元的組合形式［6］。過(guò)于復(fù)雜地模擬主梁?jiǎn)卧獣?huì)大大增加計(jì)算負(fù)擔(dān)，且必要性不大。因此，鑒于算例橋梁的主梁由邊鋼箱、橫梁、小縱梁通過(guò)拼接板及高強(qiáng)螺栓連接形成鋼構(gòu)架，其上設(shè)預(yù)制橋面板，現(xiàn)澆混凝土濕接縫，與鋼梁上的剪力釘形成整體，組成鋼-混組合梁體系。在文中根據(jù)等效原則，對(duì)主梁的剛度、質(zhì)量和支承條件等進(jìn)行合理簡(jiǎn)化，采用計(jì)算效率更高的雙主梁脊骨模型進(jìn)行模擬，對(duì)于預(yù)制橋面板，采用板單元進(jìn)行模擬［7］。在斜拉橋的動(dòng)力性能計(jì)算時(shí)，斜拉索采用桁架單元進(jìn)行模擬［8，9］。

對(duì)于索塔以及橋墩和基礎(chǔ)等構(gòu)件，由于其剛度較大，采用彈性梁?jiǎn)卧M(jìn)行模擬，而樁土相互作用則采用土彈簧進(jìn)行模擬。

基于上述模擬方式，按照簡(jiǎn)化計(jì)算和保證計(jì)算準(zhǔn)確性的原則劃分單元長(zhǎng)度，采用Midas程序進(jìn)行有限元建模，全橋2271個(gè)節(jié)點(diǎn)，4042個(gè)單元，其中梁?jiǎn)卧?746個(gè)，桁架單元128個(gè)，板單元1168個(gè)，其有限元離散模型如圖5所示。

圖5 全橋有限元離散模型Fig.5 Discrete finite element model of the whole bridge

4.2 動(dòng)力特性實(shí)測(cè)值

在建立了合理高效的有限元模型以后，對(duì)相應(yīng)施工階段的橋梁動(dòng)力特性進(jìn)行分析。和理論分析相對(duì)應(yīng)，測(cè)點(diǎn)布置如下：主塔自塔頂至承臺(tái)沿塔身高度（等分）分別設(shè)置6個(gè)縱橋向和橫橋向速度測(cè)點(diǎn)。主梁沿縱向的八分點(diǎn)、四分點(diǎn)、二分點(diǎn)截面布置測(cè)點(diǎn)，在主梁的上游和下游側(cè)各布置1個(gè)豎向測(cè)點(diǎn)、1個(gè)橫橋向測(cè)點(diǎn)。動(dòng)力特性試驗(yàn)采用橋梁振動(dòng)數(shù)據(jù)采集和分析系統(tǒng)，利用DASP大容量數(shù)據(jù)采集處理分析平臺(tái)軟件、模態(tài)分析軟件進(jìn)行分析。實(shí)測(cè)的阻尼比在0.297%～8.623%之間，為小阻尼振動(dòng)。

4.3 不同計(jì)算方法與實(shí)測(cè)值對(duì)比分析

有限元分析結(jié)果表明，塔柱縱橋向撓曲振型的頻率最小，屬第一階振型。通過(guò)分析對(duì)比發(fā)現(xiàn)，隨著懸臂施工過(guò)程的推進(jìn)，結(jié)構(gòu)第一階振型模態(tài)并沒(méi)有改變，但結(jié)構(gòu)自振頻率隨著施工過(guò)程不斷發(fā)生變化，不同方法的頻率變化曲線(xiàn)見(jiàn)圖6。施工階段自振頻率的理論值與實(shí)測(cè)值均小于1Hz，為低頻率振動(dòng)結(jié)構(gòu)，自振頻率理論值與實(shí)測(cè)值對(duì)比見(jiàn)表1。表中，有限元法的數(shù)值采用Midas進(jìn)行計(jì)算，雙質(zhì)點(diǎn)體系的計(jì)算結(jié)果采用公式（10）進(jìn)行計(jì)算，估算公式采用公式（14）進(jìn)行計(jì)算。

圖6 自振頻率理論值與實(shí)測(cè)值比較Fig.6 Comparison chart of theoretical and actually measured value of natural frequency

從圖6和表1中可以看出：

（1）從0號(hào)段至16號(hào)段的施工過(guò)程中，各個(gè)階段施工后的結(jié)構(gòu)自振頻率理論值和實(shí)測(cè)值隨著施工階段的推進(jìn)趨于一致，而且對(duì)稱(chēng)施工的橋梁結(jié)構(gòu)其振型是正對(duì)稱(chēng)或者反對(duì)稱(chēng)，說(shuō)明采用有限元分析時(shí)的計(jì)算模型的建立準(zhǔn)確可靠；

（2）從0號(hào)段至16號(hào)段的施工過(guò)程中，各個(gè)階段的施工后結(jié)構(gòu)自振頻率實(shí)測(cè)值均大于理論值，說(shuō)明施工的橋梁結(jié)構(gòu)沒(méi)有出現(xiàn)缺損等質(zhì)量問(wèn)題，結(jié)構(gòu)實(shí)際的剛度大于設(shè)計(jì)剛度，滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求；

表1 自振頻率理論值與實(shí)測(cè)值對(duì)比Tab.1 Comparison of theoretical value and measured value of natural frequency

（3）伴隨著從0號(hào)段至16號(hào)段的施工進(jìn)展，梁體的重量逐漸增加，塔柱縱橋向撓曲的自振頻率逐漸遞減，呈線(xiàn)性變化；

（4）除了0號(hào)段以外，其他15個(gè)施工階段雙質(zhì)點(diǎn)法和估算法對(duì)于斜拉橋懸臂施工階段的自振頻率的計(jì)算誤差較小，雙質(zhì)點(diǎn)法與有限元法相比，最大誤差在14.1%，估算法與有限元法相比，最大誤差在14.9%。

5 結(jié)語(yǔ)

1.通過(guò)工程實(shí)例分析可知，斜拉橋懸臂施工過(guò)程中結(jié)構(gòu)自振頻率理論值和實(shí)測(cè)基本吻合，說(shuō)明算例橋梁在施工階段的施工質(zhì)量和成橋階段的動(dòng)力性能滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求；

2.通過(guò)分析振型和自振頻率，來(lái)評(píng)價(jià)施工階段的施工質(zhì)量能夠滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求，進(jìn)一步驗(yàn)證了理論分析模型的準(zhǔn)確性；

3.采用簡(jiǎn)化計(jì)算公式可以幫助橋梁建設(shè)者對(duì)斜拉橋施工階段的動(dòng)力特性進(jìn)行迅速地判斷，可為同類(lèi)型的橋梁設(shè)計(jì)和施工監(jiān)控提供參考。