單一載荷條件下球軸承靜剛度的數值計算

楊 戈，劉先瑞，郭 平

（1.湖北三環智能科技有限公司，湖北武漢 430074；2.江蘇帝達貝軸承有限公司，江蘇無錫 2 141923；3.襄陽汽車軸承股份有限公司，湖北襄陽 441057）

0 引言

球軸承的剛度計算屬于典型的非線性求解問題。Stribeck 首先應用Hertz 理論建立了球軸承的靜力學分析模型，Jones 則建立了球軸承靜力平衡方程[1-2]。張振強[3]在Jones 建立的靜力平衡方程基礎上，對具有不同接觸角的軸承進行了剛度的計算，但對于受純徑向載荷或純軸向載荷的軸承并不適用。張迅雷[4]對受純徑向載荷及受純軸向載荷的角接觸球軸承剛度分別作了精確計算，并與簡化計算進行了對比分析。但其推導出的徑向剛度、軸向剛度公式的正確性有待商榷。

鑒于此，本文基于滾動軸承靜力學模型，用數值計算的方法，對球軸承受純軸向載荷、純徑向載荷條件下的軸承剛度分別作了詳細的推導和精確計算，完善了對球軸承靜力學剛度的研究。

1 球軸承剛度的數值計算

1.1 軸承套圈位移的計算

在軸向載荷、徑向載荷的作用下，假設內、外圈保持相對平行的狀態移動，軸承內、外圈相對軸向位移為δa，相對徑向位移為δr。軸承徑向游隙為Gr，位置角為φ的鋼球彈性變形量為δ（φ），如圖1 所示。在圖中做位移的矢量合成，可得到以下關系：

圖1 軸向載荷、徑向載荷作用下套圈的位移和變形量

式中 δ——彈性變形量，mm

δa——套圈滾道相對軸向位移，mm

δr——套圈滾道相對徑向位移，mm

φ——滾動體位置角，°

α——承載接觸角，°

Gr——徑向游隙，mm

當φ=0 時，即位置角為0°的鋼球與滾道間的彈性變形量最大，為如果不考慮游隙的影響，則δmax=δrcosα+δasinα。

在純徑向載荷條件下，軸承僅產生徑向相對位移，δa=0。在純軸向載荷條件下，軸承僅產生軸向相對位移，δr=0。則δa和δr的表達式分別為在載荷作用下，內、外圈滾道之間的相對位移量等于滾動體與內、外圈滾道的彈性變形量之和，因此δmax=δimax+δemax。對于點接觸，內、外圈滾道與滾動體彈性變形量為

式中 δ——彈性變形量，mm

K——第一類橢圓積分

μ——與接觸區大小有關的系數

Q——滾動體載荷，N

ρ——曲率

式（2）為赫茲點接觸彈性變形量計算式[5]。

1.2 純軸向載荷條件下軸向剛度的計算

在純軸向載荷條件下，軸承內任意一個滾動體所承受的載荷Q 表示為

式中 Q——滾動體載荷，N

Fa——軸向載荷，N

Z——鋼球個數

α——承載接觸角，°

軸向載荷作用于套圈上將產生軸向位移δa。從圖2 可看出，軸向位移沿接觸線方向的法向位移的分量為δn，其與原始接觸角α0、總曲率B 和鋼球直徑Dw的關系見式（4）。

圖2 軸向載荷條件下內圈的位移

原始接觸角α0的計算方法見式（5）。

式中 Gr——徑向游隙，mm

ri——內圈滾道溝半徑，mm

re——外圈滾道溝半徑，mm

Dw——鋼球直徑，mm

對于球軸承來說，載荷Q 與載荷位移系數Kn的關系見式（6）

將式（4）代入式（6），則

Jones 軸向位移常數K 與載荷位移系數Kn有如下關系：

將式（8）代入式（7），可以得到

將式（9）代入式（3），可得到

式（10）中，K 的值僅僅取決于總曲率B，只有承載接觸角α未知。

式（10）為非線性方程，使用牛頓拉夫遜法對α 進行迭代求解[6]。取原始接觸角α0為α 的初值，取精度控制參數為0.000 1。

求出承載接觸角α 后，即可通過以下兩個公式求出軸向位移δa。

將式（11）代入式（10），得

式（13）即為純軸向載荷條件下，軸向載荷Fa和軸向位移δa的關系式。將式（13）對δa求導，即可得到軸向剛度Ra計算式。

將式（15）～式（17）代入式（14），即可求解出軸向剛度Ra。

1.3 純徑向載荷條件下徑向剛度的計算

徑向載荷條件下內圈的位移如圖3 所示。若徑向游隙為Gr，在純徑向載荷條件下，任意位置角φ的滾動體的徑向位移可表示為當φ=0 時（即位置角為0°）鋼球與滾道間的彈性變形量最大，為因此

圖3 徑向載荷條件下內圈的位移

于是，δφ與δmax有如下關系：其中，ε 為承載率

對于點接觸球軸承，有Q=Kn=δ1.5，而所以

為了滿足靜力平衡，作用的徑向載荷必須等于滾動體載荷的法向分量之和，于是

式（18）可以寫成積分的形式

Sjovas[7]引入了徑向載荷分布積分Jr：

用Fr代替Qmax，則

聯立式（20）、式（21）求解δr，首先取簡化計算的δr為初值，使用辛普森法求解式（20）中的Jr。然后將Jr代入式（21），使用割線法迭代求解δr，取精度控制參數為0.000 1。

式（21）為純徑向載荷條件下，徑向載荷Fr和徑向位移δr的關系式，將該式對δr求導即可得到徑向剛度Rr計算式。

將式（23）～式（25）代入式（22），并將Jr和δr代入即可求解出徑向剛度Rr。

2 實例計算分析

2.1 實例計算

實例1 來自文獻[7]第153 頁，為218ACBB 角接觸球軸承；Z=16；α0=40°；Dw=22.23 mm；鋼球節圓直徑Dpw=125.26 mm；ri=11.63 mm；re=11.63 mm；工況：純軸向載荷Fa=17 800 N。

該實例中的角接觸球軸承僅受純軸向載荷，根據本文1.2節，以α0=40°為初值，采用牛頓拉夫遜法迭代求出α，進而求解出δa。最后將α 和δa代入Ra的計算公式，即可求解出軸向剛度Ra。本文將數值計算求解出的承載接觸角α、軸向位移δa與文獻中Harris 方法計算結果進行對比，見表1。

表1 實例1 計算結果Harris 方法的對比

實例2 來自文獻[7]第148 頁，為209DGBB 深溝球軸承；Z=9；Gr=0.015 mm；Dw=12.7 mm；Dpw=65 mm；ri=6.604 mm；re=6.604 mm；工況：純徑向載荷Fr=8900 N。

該實例中的深溝球軸承僅受純徑向載荷，根據本文1.3 節，以簡化計算的δr為初值，采用辛普森法求出Jr，然后使用割線法迭代求解出δr。最后將Jr和δr代入Rr的計算公式即可求解出軸向剛度Rr。

將數值計算求解出的徑向積分Jr、徑向位移δr與文獻中Harris 方法計算結果進行對比，見表2。

表2 實例2 的計算結果與Harris 方法的對比

2.2 計算結果分析

可以看出，在純徑向載荷或純軸向載荷條件下，球軸承剛度計算方法不盡相同。為減少計算量，避免直接對軸承剛度進行數值計算，本文使用數值計算方法先求解出套圈相對位移，而后代入剛度計算式來計算剛度。通過實例計算結果對比發現，一方面，本文提出的數值計算方法是可行的，計算結果是準確的；另一方面，簡化計算誤差較大，應避免使用。與此同時，本文摒棄了以往剛度計算繁瑣的試解法、查表法，使計算求解過程變得更加快捷。

3 結束語

球軸承剛度的計算涉及赫茲點接觸彈性變形計算以及載荷分布計算，理論分析模型必須接近實際情況，才有助于球軸承的設計和選型。本文以球軸承靜力學模型為計算依據，對球軸承在純軸向載荷條件下、純徑向載荷條件下的剛度計算作了詳細推導。同時，提出了球軸承的剛度數值計算方法，并與權威文獻進行對比來驗證計算的正確性，使得靜力學模型下的球軸承剛度計算更加完善。