隨機(jī)聚苯鏈的基爾霍夫指標(biāo)

曹月芬,李美蓮

(1.集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021;2.龍巖學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，福建 龍巖 364012)

0 引言

本文僅考慮有限簡(jiǎn)單圖，若無特別說明，有關(guān)圖論的符號(hào)和術(shù)語見文獻(xiàn)[1]。

圖中的電阻距離是由Klein等[2]于1993年首先提出的。設(shè)G是n階連通圖,其頂點(diǎn)集{v1,v2,…,vn}。把圖G中的每一條邊由一固定電阻(用單位電阻)代替,則可得到對(duì)應(yīng)的電網(wǎng)絡(luò)N。那么頂點(diǎn)vi和vj之間的電阻距離r(vi,vj)就等于電網(wǎng)中節(jié)點(diǎn)vi和vj之間的等效電阻,并且滿足歐姆定律和基爾霍夫法則。基爾霍夫指標(biāo)Kf(G)就定義為G中所有點(diǎn)對(duì)之間的電阻距離之和。

(1)

一種大環(huán)狀芳香族碳?xì)浠衔锓Q為聚苯,它們吸引了化學(xué)家們的廣泛關(guān)注[3-10]。聚苯的分子圖(或者更精確地說,表示碳原子的圖)稱為聚苯系統(tǒng)。如果聚苯系統(tǒng)的每一個(gè)頂點(diǎn)都位于一個(gè)六邊形中,并且將聚苯系統(tǒng)里每一個(gè)六邊形收縮成一個(gè)頂點(diǎn)所得到的圖形是一條路,稱它是聚苯鏈。圖1給出了n=1,2時(shí)的唯一的聚苯鏈及n=3,4時(shí)所有的聚苯鏈。

更一般地,一個(gè)具有n個(gè)六邊形的聚苯鏈PPCn可以看作是由一個(gè)具有n-1個(gè)六邊形的聚苯鏈通過一條割邊連接一個(gè)新的六邊形而得到(見圖2)。

1 主要結(jié)果

定理1 對(duì)于n≥1,有E(Kf(PPC(n,p1,p2)))=(15-p1-4p2)n3+(3p1+12p2+8)n2+(-11/2-2p1-8p2)n。

證明如前所述，聚苯鏈PPCn可以由PPCn-1通過一條割邊連接一個(gè)新的六邊形得到(見圖2)。設(shè)末端的六邊形其頂點(diǎn)集為{x1,x2,…,x6},新的邊為un-1x1(見圖2),則：

2)PPCn-1有6(n-1)個(gè)頂點(diǎn)。

3)對(duì)?v∈PPCn-1,r(x1,v)=r(un-1,v)+1,r(x2,v)=r(un-1,v)+1+5/6,r(x3,v)=r(un-1,v)+1+4/3,r(x4,v)=r(un-1,v)+1+3/2,r(x5,v)=r(un-1,v)+1+4/3,r(x6,v)=r(un-1,v)+1+5/6。所以有

r(x1|PPCn)=r(un-1|PPCn-1)+6(n-1)+35/6，(2)

r(x2|PPCn)=r(x6|PPCn)=r(un-1|PPCn-1)+6(n-1)(1+5/6)+35/6，(3)

r(x3|PPCn)=r(x5|PPCn)=r(un-1|PPCn-1)+6(n-1)(1+4/3)+35/6，(4)

r(x4|PPCn)=r(un-1|PPCn-1)+6(n-1)(1+3/2)+35/6。

(5)

Kf(PPCn+1)=Kf(PPCn)+6r(un|PPCn)+71n+35/2。

(6)

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)聚苯鏈PPC(n,p1,p2),r(un|PPC(n,p1,p2))是一個(gè)隨機(jī)變量,把它的期望值記為Un=E(r(un|PPC(n,p1,p2))。

由于上面3種情形分別是以概率p1、p2和1-p1-p2隨機(jī)發(fā)生的,由數(shù)學(xué)期望的定義可得：

Un=p1[r(un-1|PPCn-1)+14n-14+35/6]+p2[r(un-1|PPCn-1)+11n-11+35/6]+

(1-p1-p2)[r(un-1|PPCn-1)+15n-15+35/6]。

(7)

對(duì)于式(7),應(yīng)用數(shù)學(xué)期望的定義及線性性質(zhì),且由E(Un)=Un，可以獲得:

Un=p1[Un-1+14n-14+35/6]+p2[Un-1+11n-11+35/6]+

(1-p1-p2)[Un-1+15n-15+35/6]。

(8)

式(8)可以化簡(jiǎn)為Un=Un-1+(15-p1-4p2)n+p1+4p2-55/6。初始條件是U1=E(r(u1|PPC(1,p1,p2))=35/6。

應(yīng)用上面的遞推關(guān)系和初始條件,有

Un=(15-p1-4p2)n2/2+(p1+4p2-10/3)n/2。

(9)

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)聚苯鏈的基爾霍夫指標(biāo)的期望值的遞推關(guān)系可以由式(6)給出,應(yīng)用數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)以及式(9),可得：E(Kf(PPC(n,p1,p2)))=E(Kf(PPC(n-1，p1,p2)))+6Un-1+71(n-1)+35/2=E(Kf(PPC(n-1,p1,p2)))+6[(15-p1-4p2)(n-1)2/2+(p1+4p2-10/3)(n-1)/2]+71(n-1)+35/2。這邊的初始條件為E(Kf(PPC(1,p1,p2)))=35/2。

應(yīng)用上面的遞推關(guān)系和初始條件,可得：E(Kf(PPC(n,p1,p2)))=(15-p1-4p2)n3+(3p1+12p2+8)n2+(-11/2-2p1-8p2)n。

推論1 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)聚苯鏈PPC(n,p1,p2)(n≥3),有E(Kf(Mn))≤E(Kf(PPC(n,p1,p2)))≤E(Kf(Ln))。

證明由定理1,有E(Kf(PPC(n,p1,p2)))=(-n3+3n2-2n)p1+(-4n3+12n2-8n)p2+15n3+8n2-11/2n。

注意到n≥3，?E(Kf(PPC(n,p1,p2)))/?p1=-n3+3n2-2n=-n(n2-3n+2)=-n(n-2)(n-1)<0,?E(Kf(PPC(n,p1,p2)))/?p2=-4n3+12n2-8n=-4n(n2-3n+2)<0。所以，當(dāng)p1=p2=0(即p3=1)時(shí)，para-鏈Ln的基爾霍夫指標(biāo)具有最大的數(shù)學(xué)期望值。當(dāng)p1+p2=1時(shí)，E(Kf(PPC(n,p1,p2)))包含有最小值。令p2=1-p1(0≤p1≤1),則:E(Kf(PPC(n,p1,p2)))=(-n3+3n2-2n)p1+(-4n3+12n2-8n)(1-p1)+(15n3+8n2-11/2n),所以，?E(Kf(PPC(n,p1,p2)))/?p1=3n3-9n2+6n=3n(n2-3n+2)>0。從而當(dāng)p1=0即p2=1時(shí)，meta-鏈Mn的基爾霍夫指標(biāo)獲得了最小的期望值，從而推論1得證。