攔截彈中制導(dǎo)彈道在線快速規(guī)劃方法

李萬(wàn)禮， 李炯， 李明杰

(1.空軍工程大學(xué) 研究生院， 陜西 西安 710051；2.空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院， 陜西 西安 710051)

0 引言

攔截彈中制導(dǎo)作為復(fù)合制導(dǎo)過(guò)程中持續(xù)時(shí)間最長(zhǎng)的階段，不僅決定攔截彈射程的遠(yuǎn)近，而且直接影響攔截彈的中末制導(dǎo)交接班是否順利完成、末制導(dǎo)是否具有充分的可用過(guò)載[1]。在針對(duì)反臨近空間高超聲速目標(biāo)攔截問(wèn)題中，攔截彈的中制導(dǎo)彈道規(guī)劃尤為重要。

目前，已有國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)攔截彈中制導(dǎo)彈道規(guī)劃問(wèn)題做出相關(guān)研究。文獻(xiàn)[2-4]利用滑膜控制理論，分別對(duì)最優(yōu)制導(dǎo)律、自適應(yīng)制導(dǎo)律和魯棒制導(dǎo)律進(jìn)行改進(jìn)，使其滿足視線角約束，提高了攔截彈中制導(dǎo)性能。文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)一種基于圓弧預(yù)測(cè)的變系數(shù)顯式攔截彈中制導(dǎo)方法，具有較好的目標(biāo)預(yù)測(cè)精度，滿足了彈道終端交會(huì)角和可用過(guò)載約束。文獻(xiàn)[6]利用模型靜態(tài)規(guī)劃方法，提出一種滿足彈道終端角約束的次優(yōu)中制導(dǎo)律。以上文獻(xiàn)都是離線彈道規(guī)劃研究，基于優(yōu)化算法進(jìn)行大量的分析計(jì)算，能夠很好地生成滿足各種約束和終端條件的標(biāo)準(zhǔn)彈道，但是在面對(duì)目標(biāo)采取大范圍機(jī)動(dòng)時(shí)，離線規(guī)劃方法不能滿足彈道在線重新規(guī)劃的需求。

因此，彈道在線快速規(guī)劃方法的研究已成為中制導(dǎo)彈道規(guī)劃亟待解決的問(wèn)題。彈道在線快速規(guī)劃主要存在以下難點(diǎn)[7-9]：1)規(guī)劃前后彈道終端約束已發(fā)生較大改變，且必須考慮在線規(guī)劃方法的實(shí)時(shí)性；2)以犧牲求解精度來(lái)保證求解效率，不能實(shí)現(xiàn)真正意義上的最優(yōu)軌跡；3)動(dòng)壓、熱流密度、姿態(tài)角等約束條件同時(shí)也制約著彈道生成的速度，給工程實(shí)現(xiàn)帶來(lái)很大難度。近年來(lái)有大量學(xué)者對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了深入研究，文獻(xiàn)[10-13]通過(guò)將凸優(yōu)化理論引入飛行器再入軌跡在線規(guī)劃中，使求解軌跡變得簡(jiǎn)單易行，為在線軌跡規(guī)劃提供了新思想，但是這種方法需要一段特定的模擬飛行軌跡作為初值，限制性強(qiáng)。文獻(xiàn)[14]針對(duì)可重復(fù)使用運(yùn)載器再入應(yīng)急軌跡生成問(wèn)題，提出了動(dòng)態(tài)偽譜法，通過(guò)采用時(shí)間分區(qū)的模式處理，實(shí)現(xiàn)了軌跡動(dòng)態(tài)在線規(guī)劃。文獻(xiàn)[15]運(yùn)用間接Gauss偽譜法，設(shè)計(jì)了考慮導(dǎo)彈速度時(shí)變的最優(yōu)中制導(dǎo)律，通過(guò)將微分方程簡(jiǎn)化處理為代數(shù)方程，使得計(jì)算量減少，具有較好的實(shí)時(shí)性。然而偽譜法求解時(shí)間不能確定，難以直接應(yīng)用到工程實(shí)際中。文獻(xiàn)[16]提出虛擬域動(dòng)態(tài)逆(IDVD)方法，通過(guò)引入虛擬因子將軌跡規(guī)劃問(wèn)題從時(shí)域轉(zhuǎn)化到虛擬域，再用動(dòng)態(tài)逆方法優(yōu)化軌跡。文獻(xiàn)[17-19]分別對(duì)文獻(xiàn)[16]的方法進(jìn)行了改進(jìn)，并應(yīng)用到攔截助推段彈道導(dǎo)彈和衛(wèi)星逼近與跟蹤翻滾目標(biāo)的軌跡優(yōu)化背景中。雖然IDVD方法相比偽譜法等方法優(yōu)化精度較差，但是其對(duì)參數(shù)初值設(shè)置不敏感，收斂性和魯棒性較強(qiáng)，且計(jì)算量大幅度降低，能夠有效提高軌跡規(guī)劃效率。

為解決滿足多約束條件的中制導(dǎo)彈道在線快速規(guī)劃問(wèn)題，本文基于IDVD方法，在虛擬域中構(gòu)建過(guò)程約束的懲罰函數(shù)(PF)，并將其寫(xiě)入性能指標(biāo)中，以保證彈道在時(shí)間域中滿足多約束條件；同時(shí)結(jié)合IDVD方法提出目標(biāo)信息更新后的在線重新規(guī)劃策略。仿真校驗(yàn)結(jié)果表明，本文改進(jìn)的IDVD方法具有很好的實(shí)時(shí)性和魯棒性，所提策略能夠解決滿足多約束條件的中制導(dǎo)彈道在線快速規(guī)劃問(wèn)題。

1 中制導(dǎo)段運(yùn)動(dòng)模型建立

本文設(shè)定背景為地基反臨近空間高超聲速目標(biāo)攔截，其示意圖如圖1所示。

圖1 地基反臨近空間攔截彈全程彈道示意圖Fig.1 Schematic diagram of whole trajectory of ground-based interceptor

助推級(jí)在主動(dòng)段脫離，攔截彈在中制導(dǎo)段時(shí)，僅在氣動(dòng)力和重力影響下進(jìn)行無(wú)動(dòng)力滑翔運(yùn)動(dòng)，忽略地球自轉(zhuǎn)及地球扁率的影響，則簡(jiǎn)化后的中制導(dǎo)段運(yùn)動(dòng)模型為

(1)

nx=-0.5CDρv2S/(mg)，

(2)

CD為阻力系數(shù)，ρ為大氣密度，S為攔截彈受力面積，m為攔截彈質(zhì)量。其中：阻力系數(shù)CD可以簡(jiǎn)化為攻角α的表達(dá)式[20]，

CD=0.012-0.01α+0.6α2；

(3)

大氣密度ρ的表達(dá)式為

ρ=ρ0e-y/h，

(4)

ρ0為海平面大氣密度(ρ0=1.226 kg/m3)，h為參考高度(h=7 254.24 m)；重力加速度表達(dá)式為

g=g0(re/r)2，

(5)

g0為海平面重力加速度(g0=9.81 m/s2)，re為地球半徑(re=6 371.2 km)，r=re+y.

2 中制導(dǎo)彈道在線快速規(guī)劃問(wèn)題描述

由第1節(jié)模型分析可知，攔截彈的狀態(tài)方程可以表示為

(6)

(7)

x0、y0、z0、v0、θ0、ψ0分別為各狀態(tài)量的初值，ny0、nz0分別為各控制量的初值，xf、yf、zf、vf、θf(wàn)、ψf分別為各狀態(tài)量的末值，nyf、nzf分別為各控制量的末值。

在攔截彈中制導(dǎo)段，過(guò)程約束主要包括動(dòng)壓q、熱流密度Q、攻角約束條件，同時(shí)控制量也要約束在一定范圍內(nèi)，即

(8)

式中：αmax、nymax、nzmax、qmax、Qmax分別為各約束量的最大值；C為熱流密度常數(shù)，C=1.181 3×10-4，通常與飛行器材料和外形尺寸有關(guān)。

同時(shí)，為保證攔截彈在末制導(dǎo)段具有足夠的殺傷能力，本文性能指標(biāo)選取為末速最大，即

J=max (vf).

(9)

一般離線彈道規(guī)劃是在滿足約束的情況下盡量使性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)，與之不同的是，在線快速規(guī)劃更著重實(shí)時(shí)性要求，即采取“犧牲精度，獲取效率”的策略。因此中制導(dǎo)彈道在線快速規(guī)劃問(wèn)題可以表述為：攔截彈在滿足(6)式、(7)式和(8)式的情況下，快速求解出符合要求的規(guī)劃彈道，同時(shí)在此基礎(chǔ)上盡量保證(9)式的值最優(yōu)。

3 中制導(dǎo)彈道在線快速規(guī)劃方法研究

3.1 虛擬域轉(zhuǎn)換

首先引入虛擬量τ的概念[16]，將攔截彈彈道坐標(biāo)pi(i=x,y,z)看作是τ的高次(5次)擬合，即

(10)

式中：系數(shù)aik(i=x,y,z;k=0，1,2,…,5)可由初始條件和終端條件組成的代數(shù)方程式確定，即

(11)

τf為攔截彈的虛擬弧長(zhǎng)，是虛擬域中的優(yōu)化變量，pi0、pif分別為攔截彈初始坐標(biāo)和終端坐標(biāo)。

虛擬域與時(shí)間域的聯(lián)系可通過(guò)構(gòu)建虛擬速度λ來(lái)建立，具體公式如下：

(12)

(13)

式中：v′(τ)為虛擬域中速度對(duì)τ的導(dǎo)數(shù)。

令攔截彈坐標(biāo)為p=(x,y,z)，得到如下初始條件和終端條件：

1)初始條件：

(14)

(15)

2)終端條件：

(16)

(17)

由(15)式和(17)式可知，彈道傾角的初值θ0、末值θf(wàn)和彈道偏角的初值ψ0、末值ψf都是虛擬域中的優(yōu)化變量。而在本文問(wèn)題中，θ0、ψ0是已知的，設(shè)定θf(wàn)=0°、ψf=0°，不僅使攔截彈平穩(wěn)進(jìn)入中末制導(dǎo)交接班，而且也在一定程度上提高了彈道規(guī)劃效率。

利用轉(zhuǎn)換關(guān)系(13)式，將邊界條件由時(shí)間域轉(zhuǎn)換到虛擬域，具體公式如下：

(18)

由(18)式變化，得

(19)

從而得到虛擬域中的邊界點(diǎn)：

(20)

由(10)式～(20)式已經(jīng)先驗(yàn)地滿足了邊界條件，因此在變化虛擬變量τf不會(huì)影響邊界條件，只會(huì)改變狀態(tài)量X(t)、控制量u(t)以及tf.因此，可以在不影響邊界條件的情況下，通過(guò)調(diào)整τf來(lái)優(yōu)化性能指標(biāo)。

3.2 IDVD方法求解

IDVD方法依據(jù)直接法的思想，需要對(duì)虛擬域[0,τf]進(jìn)行如下離散化處理：

Δτ=τf/(N-1)，

(21)

式中：Δτ為節(jié)點(diǎn)間隔；N為節(jié)點(diǎn)數(shù)。

根據(jù)(21)式，可以得出虛擬弧長(zhǎng)的迭代公式

τj+1=τj+Δτ，j=1,2,…,N-1.

(22)

根據(jù)離散化計(jì)算出的pi，j(τ)、p′i，j(τ)、p″i，j(τ)，i=x,y,z，j=1,2,…,N-1，求解彈道傾角和彈道偏角如下：

(23)

(23)式求導(dǎo)，得到其微分形式為

(24)

實(shí)際速度的迭代公式為

vj+1=vj+v′jΔτ；

(25)

時(shí)間間隔Δt及其迭代公式為

(26)

tj+1=tj+Δtj；

(27)

虛擬速度計(jì)算公式為

λj+1=Δτ/Δtj.

(28)

利用(19)式的轉(zhuǎn)換關(guān)系，通過(guò)(1)式可求出控制量如下：

(29)

3.3 多約束條件的彈道在線優(yōu)化

通過(guò)3.2節(jié)的IDVD方法僅能得到滿足邊界條件的彈道，但此時(shí)過(guò)程約束(8)式不一定符合要求。為控制過(guò)程約束不超過(guò)限制，采取如下構(gòu)建虛擬域中的PF方法：

(30)

結(jié)合(9)式與PF，性能指標(biāo)就可以改寫(xiě)為

Jmin=-vf+Γ.

(31)

過(guò)程約束條件(8)式變?yōu)樘摂M域中的PF(30)式，適當(dāng)調(diào)整權(quán)重因子，與(9)式組成新的性能指標(biāo)一起尋優(yōu)，以滿足彈道的多約束條件。

3.4 目標(biāo)信息更新后的在線重新規(guī)劃

目標(biāo)機(jī)動(dòng)會(huì)改變攔截彈的終端約束條件，之前生成的基準(zhǔn)彈道將不再滿足要求，因此需要在線重新規(guī)劃滿足新終端約束條件的重生成彈道。結(jié)合IDVD方法制定在線重新規(guī)劃策略如下：

1)彈載計(jì)算機(jī)在目標(biāo)信息更新后，從之前生成的彈道狀態(tài)量序列中，找到當(dāng)時(shí)時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量，以Xd表示(d表示當(dāng)時(shí)時(shí)刻)。

2)以狀態(tài)變量Xd后計(jì)算間隔Λ的狀態(tài)變量Xd+Λ為初始條件，以新的預(yù)測(cè)命中點(diǎn)為終端條件。

3)利用改進(jìn)的IDVD方法結(jié)合新的邊界條件在線快速規(guī)劃出新的彈道。

其中，計(jì)算間隔Λ需要根據(jù)彈載計(jì)算機(jī)的計(jì)算速度以及算法的效率合理選取，如圖2所示。

圖2 計(jì)算間隔示意圖Fig.2 Schematic diagram of calculation interval

4 仿真驗(yàn)證

4.1 仿真1

假設(shè)攔截彈中制導(dǎo)段邊界條件如表1所示。過(guò)程約束條件如表2所示。

表1 邊界參數(shù)Tab.1 Boundary parameters

表2 過(guò)程約束參數(shù)Tab.2 Process constraint parameters

初始速度v0=3 km/s，初始攻角α0=10°，在相同背景下，分別用本文IDVD方法與Gauss偽譜方法、模型預(yù)測(cè)靜態(tài)規(guī)劃(MPSP)方法求解優(yōu)化彈道并比較分析。圖3所示為仿真1三維彈道圖，圖4所示為仿真1角度變化圖。

圖3 仿真1三維彈道Fig.3 Three-dimensional trajectory in Situation 1

圖4 仿真1角度變化Fig.4 Angle change in Situation 1

由圖3和圖4可知，IDVD方法與Gauss偽譜法、MPSP方法規(guī)劃的彈道都較為平滑，且都達(dá)到了邊界條件約束要求，其中IDVD方法彈道呈現(xiàn)一種跳躍式特點(diǎn)，即下探到一定高度后再拉起，因此IDVD方法彈道傾角在彈道末段出現(xiàn)由負(fù)變正的現(xiàn)象。圖5所示為仿真1控制量變化圖，圖6所示為仿真1過(guò)程約束變化圖。

圖5 仿真1控制量變化Fig.5 Control quantity change in Situation 1

圖6 仿真1過(guò)程約束變化Fig.6 Process constraint change in Situation 1

由圖5和圖6可知，IDVD方法與Gauss偽譜法、MPSP方法規(guī)劃的彈道都能滿足過(guò)程條件約束，由于IDVD方法彈道具有跳躍式特點(diǎn)，在彈道末段需下探到一定高度，大氣密度隨高度降低而增大，因此IDVD方法彈道的動(dòng)壓和熱流密度會(huì)在末段出現(xiàn)凸增現(xiàn)象。跳躍式彈道使得速度方向變化較大，因此IDVD方法彈道的攻角變化相對(duì)較大。由此得出，在彈道性能方面IDVD方法雖然相對(duì)弱于Gauss偽譜法和MPSP方法，但仍能滿足彈道的約束條件。圖7所示為仿真1速度變化圖。

圖7 仿真1速度變化Fig.7 Speed change in Situation 1

由圖7可知，在最優(yōu)性方面，Gauss偽譜法要優(yōu)于IDVD方法和MPSP方法，但I(xiàn)DVD方法的消耗時(shí)間將近是Gauss偽譜法的1/10，MPSP方法的1/5(見(jiàn)表3)，實(shí)時(shí)性明顯強(qiáng)于Gauss偽譜法和MPSP方法。在滿足過(guò)程約束條件和邊界約束條件的基礎(chǔ)上，彈道在線規(guī)劃更突出對(duì)實(shí)時(shí)性的要求。通過(guò)對(duì)3種方法的最優(yōu)性與實(shí)時(shí)性的綜合比較可知，IDVD方法明顯更加適用于求解彈道在線快速規(guī)劃問(wèn)題。

表3 仿真結(jié)果對(duì)比Tab.3 Comparison of simulated results

4.2 仿真2

在攔截彈飛行了30 s后，由于目標(biāo)機(jī)動(dòng)影響，中制導(dǎo)終端位置變化為(339 km，31 km，0.9 km)，選取計(jì)算間隔Λ=10 s，則通過(guò)查找初次規(guī)劃序列得到新的初始條件，如表4所示。

表4 初始條件Tab.4 Initial conditions

基于本文IDVD方法，進(jìn)行目標(biāo)信息更新后的彈道在線重新規(guī)劃仿真。圖8所示為仿真2三維彈道圖，圖9所示為仿真2角度變化圖。

圖8 仿真2三維彈道Fig.8 Three-dimensional trajectory in Situation 2

圖9 仿真2角度變化Fig.9 Angle change in Situation 2

由圖8和圖9可知，初始規(guī)劃彈道和在線更新彈道之間彈道銜接平穩(wěn)，且在線更新彈道的彈道傾角和彈道偏角依然滿足彈道需求，表明在線更新彈道與初始規(guī)劃彈道相同，都能夠?yàn)橹心┲茖?dǎo)交接班提供良好的初始狀態(tài)。圖10所示為仿真2控制量變化圖，圖11所示為仿真2過(guò)程約束變化圖。

圖10 仿真2控制量變化Fig.10 Control quantity change in Situation 2

圖11 仿真2過(guò)程約束變化Fig.11 Process constraint change in Situation 2

由圖10和圖11可知，在線更新彈道的過(guò)載，動(dòng)壓和熱流密度相較初始規(guī)劃彈道變化不大，滿足過(guò)程約束條件的限制。綜上說(shuō)明，在目標(biāo)信息更新后，本文IDVD方法能夠在計(jì)算間隔內(nèi)重新規(guī)劃出滿足過(guò)程約束條件和新終端約束條件的彈道，彈道銜接平穩(wěn)，具備彈道在線快速規(guī)劃的能力。

4.3 仿真3

中制導(dǎo)過(guò)程中存在諸多干擾，主要有大氣隨機(jī)干擾，測(cè)量噪聲等。在仿真1的基礎(chǔ)上，加入實(shí)際大氣中的隨機(jī)風(fēng)干擾，進(jìn)行仿真分析，隨機(jī)風(fēng)干擾模型參考文獻(xiàn)[21]。圖12所示為仿真3角度變化圖。

圖12 仿真3角度變化Fig.12 Angle change in Situation 3

由圖12可知，在加入隨機(jī)風(fēng)干擾后，攻角出現(xiàn)明顯變化，彈道傾角和彈道偏角所受的影響不大。由于隨機(jī)風(fēng)干擾影響的主要是攻角偏差，而彈道傾角和彈道偏角由(23)式求出，可大大降低隨風(fēng)干擾的誤差影響。圖13所示為仿真3控制量變化圖。圖14所示為仿真3三維彈道圖。

圖13 仿真3控制量變化Fig.13 Control quantity change in Situation 3

圖14 仿真3三維彈道Fig.14 Three-dimensional trajectory in Situation 3

由圖13和圖14可知，隨風(fēng)干擾對(duì)控制量ny與nz影響很小，干擾后的彈道與原彈道誤差不超過(guò)100 m，幾乎與原彈道重疊，表明本文方法能夠有效抑制隨機(jī)干擾、減小誤差，具有良好的魯棒性。

5 結(jié)論

本文針對(duì)多約束條件下的中制導(dǎo)彈道在線快速規(guī)劃問(wèn)題，提出一種基于IDVD的彈道在線快速規(guī)劃方法。該方法通過(guò)改進(jìn)虛擬域中的PF，使規(guī)劃彈道能夠滿足時(shí)間域中的多約束條件。結(jié)合本文方法提出目標(biāo)信息更新后的彈道在線重新規(guī)劃策略。仿真1結(jié)果表明，本文方法與Gauss偽譜法、MPSP方法相比，雖然在最優(yōu)性上有所不足，但實(shí)時(shí)性比Gauss偽譜法提高將近10倍，比MPSP方法提高將近5倍，更適用于彈道在線快速規(guī)劃；仿真2結(jié)果表明，在目標(biāo)信息更新后，本文在線重新規(guī)劃策略能夠在初始彈道基礎(chǔ)上快速規(guī)劃出滿足新終端約束的重生成彈道；仿真3結(jié)果表明，本文方法能夠有效地抑制隨風(fēng)干擾影響，具有良好的魯棒性。