武器裝備可靠性設計保證系數取值方法

胡聽春， 孫宇鋒， 趙廣燕

(北京航空航天大學 可靠性與系統工程學院, 北京 100191)

0 引言

武器裝備建設中，開展配套產品的可靠性設計、分析和試驗是其研發工作中的基本要求。可靠性預計是預先評價產品可靠性水平，并確保產品可靠性設計方案滿足其規定可靠性合同要求的一個專項工作。為保證項目研制中的產品可靠性與控制風險，國家軍用標準規定產品可靠性預計值應高于合同的規定值[1-2]，型號規范提出預計值應大于規定值1.1～1.2倍[3]，動力和液壓系統提出預計值應滿足規定值1～1.2倍[4]，航空機載設備一般則要求可靠性預計值不低于規定值1.25倍[5-7]甚至1.5倍[8]。上述規定明確了裝備可靠性預計值應至少滿足合同規定值1～1.5倍(以下簡稱設計保證系數)的要求，研制過程中的產品可靠性設計評審也都嚴格按照這一要求執行，并作為產品技術方案通過可靠性設計的一項評判準則。然而在工程實踐中，如何準確量化與選擇設計保證系數則缺少理論指導，給工程應用帶來了較大困擾且多年一直存在。

本文針對設計保證系數取值難以精確量化的難題，在廣泛調研國家軍用標準、規范及相關文獻基礎上論述了相關指標的內涵與相互關系，包括可靠性預計值、規定值、最低可接受值及鑒定試驗檢驗上下限。在產品詳細預計階段預計值能反映真實可靠性水平的條件下，采用威布爾分布和指數分布描述產品的壽命；利用更新過程和泊松分布理論研究設計保證系數與可靠性鑒定試驗預期接收概率的關系。考慮到可靠性提升成本對設計保證系數取值的上限約束，以及規定值、檢驗上限對設計保證系數的下限約束，本文給出了設計保證系數取值規則。進而針對可靠性設計評審需求，給出了工程適用的驗收保證系數取值表，以期更好地推進工程應用。

1 可靠性預計值、合同指標及鑒定試驗指標的內涵及關系

可靠性預計是設計階段根據產品組成零部件、元件的可靠性歷史數據，考慮結構及工作環境等因素，估計產品可靠性水平的過程[1]。可靠性預計分為可行性預計、初步預計和詳細預計三類。

可靠性預計值θp用于檢驗產品可靠性是否達到其研制合同規定的指標要求，并為后續開展產品可靠性鑒定試驗提供依據[9]。盡管預計值θp與真實值θ之間存在一定誤差[10]，但對比各類常用標準發現軍用標準預計結果更為嚴格[11]。在詳細預計階段已包括產品工作環境和應力的信息，其預計值可較真實地反映產品可靠性水平。隨著可靠性預計的反復迭代、模型的細化和數據準確性的提升，可靠性預計精度不斷提升[12]。因此，在研制任務后期的詳細預計階段，可認為預計值θp能夠反映產品的真實壽命水平θ.

可靠性合同指標從實際作戰需求引出，由使用指標轉換而確定，通常包括規定值θs與最低可接受值θm. 國家軍用標準GJB 1909A—2009裝備可靠性維修性保障性維修論證指出：規定值θs為合同和研制任務書中規定的期望設備達到的合同指標，取值依據應為目標值；最低可接受值θm為合同和研制任務書中規定、設備必須達到的合同指標，取值依據為門限值，是進行驗證的依據[13]。可靠性合同指標一般在制訂合同或研制任務書中提出，是承制方在研制中必須通過設計滿足的可靠性指標。

可靠性鑒定的檢驗指標是指在規定生產方風險α和使用方風險β條件下，對應產品試驗考核指標(通常是平均故障間隔時間(MTBF))的檢驗下限θ1和檢驗上限θ0. 國家軍用標準GJB899A—2009可靠性鑒定和驗收試驗明確要求可靠性預計值θp應高于θ0，以保證產品在可靠性試驗期間能以高概率接收[2]。可靠性合同指標與可靠性檢驗指標是通過最低可接受值聯系的，美國軍用標準MIL-STD-785B系統、設備的研制與生產可靠性大綱明確規定了產品的MTBF檢驗下限應等于其最低可接受MTBF值。我國早期可靠性軍用標準由美國軍用標準轉化而來，通過論證也明確將最低可接受值作為驗證受試產品的考核指標[14]，即將可靠性鑒定試驗的檢驗下限θ1的取值等于θm，且不隨檢驗方案的變化而改變[10]。

設計保證系數s是可靠性預計值與合同規定值的比值，即

s=θp/θs，

(1)

各項可靠性指標的關系如圖1所示。圖1中，預計值θp反映真實值θ，最低可接受值θm與檢驗下限θ1相等，是可靠性驗收試驗的確定指標，設計保證系數的選取將影響試驗的接收概率。

圖1 可靠性指標關系示意圖Fig.1 Reliability index relationship diagram

2 威布爾定時截尾試驗中保證系數取值分析

在詳細預計階段產品可靠性預計值θp能反映產品真實可靠性水平的基礎上，針對壽命服從威布爾分布的產品，研究設計保證系數與可靠性鑒定試驗接收概率的關系，并給出設計保證系數的計算方法。

2.1 威布爾分布模型

威布爾分布是可靠性工程中廣泛使用的連續型壽命分布，其累計失效分布函數一般形式為

(2)

式中：t為產品使用時間；γ為位置參數；η為尺度參數；m為形狀參數。

由于產品從t=0 h時刻開始就有失效發生的概率，本文取位置參數γ=0.形狀參數m取決于產品本身失效機理與載荷條件，因此可認為設計定型階段產品壽命取決于尺度參數η，考慮對產品壽命進行提升時改變的值為尺度參數。

服從兩參數威布爾分布時，產品平均壽命θ為

(3)

其方差為

(4)

威布爾分布具有良好的兼容性，適用于各類電子、機械、機電產品，隨著參數的變化可模擬浴盆曲線的各階段[15]。

2.2 定時截尾試驗的保證系數接收概率模型

考慮到時間費用等約束條件，可靠性鑒定通常采用定時截尾抽驗方案[16]。工程中常用的及國家軍用標準規定的試驗方案均基于產品服從指數分布的假設，具有一定局限性。近幾年對于威布爾分布受試產品的定時截尾試驗方法已經有了相關的論述[15，17-20]，提出了試驗參數選取方法。

對于同批次產品，可認為各試驗樣品獨立同分布，為確定定時截尾試驗參數，首先需要根據歷史數據或查表獲取形狀參數m.受試產品檢驗下限θ1和檢驗上限θ0以及生產方風險α和使用方風險β在試驗前由雙方協商確定。確定試驗方案后，從產品中隨機抽取n個試驗樣品，試驗到規定的試驗截止時間t停止，若故障數不高于接收判決數C則通過檢驗。

標準及工程實踐中的試驗方案多為有替換或可修情況，替換或維修時間不計入試驗時間。本文針對維修或有替換定時截尾方案進行論述，即對于每個試驗樣品，一旦發生失效則等效為立刻替換為一個新部件，該過程可稱為更新過程。用Ni(t)表示在試驗時間(0 h，t]內第i個試驗樣品的更新次數，則在試驗截止時刻t試驗通過的概率為

(5)

用N(t)表示試驗時間(0 h，t]內產品發生的失效總次數，其期望為E(N(t))。忽略更新時間，則在試驗時間t內產品失效次數N(t)服從參數為E(N(t))的非齊次泊松分布[20]，試驗通過概率為

(6)

式中：r為試驗中樣品失效的次數。

對于累計失效分布函數為F(t)的產品，在試驗時間t內失效總次數的數學期望為

(7)

式中：q為N(t)可能的取值；F(k)(t)表示F(t)的q重卷積。

(7)式并沒有精確解法，目前的研究多采用在t足夠大假設下的近似解。引用文獻[21]結論，對于服從威布爾分布的產品，其失效總次數的數學期望可近似為

(8)

考慮型號規范和工程可靠性設計慣例，一般要求可靠性預計值θp需達到合同規定值θs的1～1.5倍。則利用(6)式可以得到在設計保證系數下通過可靠性鑒定的概率Ps為

(9)

也可寫作如下積分形式：

(10)

式中：f(r，2C+2)表示自由度為2C+2的卡方分布密度函數；x為隨機變量的取值。

(9)式和(10)式給出了設計保證系數與可靠性鑒定試驗通過概率的關系，定量說明了要求驗收期產品預計水平高于規定水平對可靠性驗收風險的控制作用。

2.3 考慮接收概率的保證系數計算模型

得到設計保證系數接收概率模型后，可建立考慮接收概率的保證系數計算模型。

已知受試產品θ1(θm)、θ0、α、β，選定試驗方案后，t、C亦已知。當使用方期望在研產品在其可靠性鑒定中以不低于Ps概率通過時，研制方依據已確定的試驗方案，由(10)式推導獲得設計保證系數的計算公式為

(11)

由使用方研制合同給出的指標要求，可以確認合同規定值θs與最低可接受值θm之間的比例關系k，并將θm作為可靠性鑒定的檢驗下限θ1，因此設θs=kθm=kθ1.則有

(12)

在實際工程應用中，使用方給出的θm一般不低于θs的50%，即k取值范圍一般在1～2之間。

當需要考察產品可靠性預計值與最低可接受值θm之間的比例ν(稱為驗收保證系數)與可靠性鑒定的預期通過概率Ps之間的關系時，可以變換(12)式，得到驗收保證系數ν的表達式為

(13)

(12)式與(13)式分別給出了預期可靠性鑒定試驗通過概率下設計保證系數與驗收保證系數的取值公式，由此可知為控制驗收風險，需要將可靠性預計值提升至規定值或最低可接受值的多少倍。

2.4 案例1分析

以文獻[18]中的威布爾分布無替換定時截尾試驗方案示例為例，對本文計算模型進行說明。該案例中受試產品的形狀參數m=1.2，給定檢驗下限θ1=500 h，檢驗上限θ0=750 h，風險值α=20%，β=20%，樣本數量n=8.經確定，試驗時長t=979 h，接收判決數C=11.依據航空行業慣例，取設計保證系數s=1.25，并假設該產品可靠性規定值θs=1.5θ1=750 h.

當設計保證系數s=1.25時，產品通過可靠性鑒定的概率Ps為

(14)

(14)式所示結果比該產品MTBF剛好達到θs時的通過概率77.88%有顯著提升，因此航空工程中常見的預計值高于規定值1.25倍的經驗要求對產品驗收風險有控制作用。

為對本文提出的保證系數取值方法進行驗證，利用蒙特卡洛法對試驗進行仿真模擬，對不同設計保證系數對應的產品壽命進行抽樣，統計試驗成功率以獲得接收概率仿真值，并與(9)式、(10)式計算的結果相對比。分別取設計保證系數s分別為1、1.1、1.2、1.25、1.5、1.75、2，得到結果如表1所示。

表1 通過概率計算與仿真結果Tab.1 Calculated and simulated results of passing probability

表1結果顯示，利用本文提出的設計保證系數接收概率公式計算得到的試驗通過概率，與仿真結果誤差控制在1%左右，并且當設計保證系數變大時，計算誤差會逐漸縮減到0.01%左右。

對計算誤差來源進行分析，MTBF服從威布爾分布的更新過程屬于非齊次泊松過程，在規定的試驗時間(0 h，t]內產品失效次數N(t)小于C的概率缺乏精確解法，其數學期望E(N(t))也采用近似解法。現有對威布爾產品的定時截尾試驗制定方法也是基于該近似算法，具有一定局限性。但當產品形狀參數取值接近1時，該方法的精度可以得到保障。

3 標準定時截尾試驗下保證系數取值分析

指數分布為威布爾分布特殊情況，基于第2節提出的威布爾定時截尾試驗保證系數模型，可建立產品服從指數分布時的標準定時截尾試驗保證系數簡化模型。

在工程中常對產品壽命分布進行簡化處理，通常都假設產品可靠性服從指數分布[2]。取形狀參數m=1，產品即服從指數分布，可直接使用國家軍用標準GJB 899A—2009提供或根據抽樣特性(OC)曲線制定的檢驗方案。指數分布適用于描述電子元器件壽命，在許多情況下，對機械機電復雜系統等非電子產品也是適用的[22]。

3.1 指數分布假設下的接收概率及保證系數模型

在受試產品θ1(θm)、θ0、α、β已知情況下，選定試驗方案后T、C已知，T為產品總試驗時間。

在受試產品獨立同指數分布的假設下，將m=1代入(8)式，得到受試產品失效次數的數學期望為

(15)

國家軍用標準GJB 899A—2009中的定時截尾試驗方案提供總試驗時間參數T=nt，故本節用總試驗時長進行表述。則當m=1時以預計值θp通過可靠性鑒定的概率Ps公式簡化為

(16)

期望受試產品以不低于Ps概率通過鑒定試驗時，設計保證系數的簡化公式為

(17)

驗收保證系數ν的簡化表達式為

(18)

(17)式與(18)式分別給出了國家軍用標準GJB 899A—2009定時截尾試驗下設計保證系數與驗收保證系數的取值公式。

3.2 案例2分析

以國家軍用標準GJB 899A—2009中某機載產品定時截尾方案[2]為例，假設該產品可靠性規定值θs=1 000 h，且α=20%，β=20%.取試驗樣品數θ0=2θ1=1 000 h，n=8，則t=487.5 h，C=5.設計保證系數分別取1、1.1、1.2、1.25、1.5、1.75、2，得到蒙特卡洛仿真結果以及(16)式計算結果如表2所示。

表2 通過概率計算與仿真結果Tab.2 Calculated and simulated results of passing probability

表2結果顯示，利用本文提出的國家軍用標準GJB 899A—2009定時截尾試驗方案設計保證系數關系式計算得到的試驗通過概率，與仿真結果誤差控制在0.1%左右。對誤差進行分析，當產品形狀參數m=1即等效于服從指數分布時，受試產品的更新過程為時齊的馬爾可夫過程，發生故障的次數r服從泊松分布，本文采用的針對威布爾分布的近似解法轉換為精確解法，經驗證該方法具有極高的精度。

4 設計保證系數的主要取值約束

4.1 可靠性提升成本對設計保證系數取值的約束

在產品設計階段，工程師往往期望產品固有可靠性水平能夠達到一個理想狀態，以便較大把握(即具有很大的Ps)通過鑒定。承制方期望設計保證系數取較大值，但這會導致設計成本增加。

以案例1和案例2為例，計算出Ps對s的影響曲線，如圖2所示。

圖2 案例1、案例2通過概率對設計保證系數的影響曲線Fig.2 Curves of the influence of passing probability on the design guarantee coefficients of Cases 1 and 2

圖2顯示設計保證系數s的取值并非越高越好，Ps超過95%后，s取值的增加對Ps的提升效果開始不顯著。因此，設計保證系數的選取必須綜合考慮鑒定風險與設計成本。

隨著可靠性指標提升，設計成本呈現非線性增長現象。對比現有可靠性- 成本模型[23]，指數型成本模型的參數易于量化，因此易于被工程人員獲取和應用。在產品服從威布爾分布的情況下，本文采用文獻[24-25]提出的該模型改進形式，則產品的提升成本Cd為

(19)

式中：A1表示在θmin下的基本設計成本；B1表示隨可靠性提升的設計成本；φ為提高可靠性水平的難度系數，取值范圍為0～1之間；θmin為產品最低可接收的壽命；θmax為產品最大可達壽命；Cf表示拒收成本。以案例1為例，θmax取10 000，θmin=500 h，θs=750 h，φ=0.2，A1=12 000元，B1=10 000元，Cf=7 500元。計算出提升成本Cd隨s的變化，繪制曲線如圖3所示。

圖3 提升成本隨設計保證系數的變化曲線Fig.3 Improvement cost versus design guarantee coefficient

由圖3可見，若生產方和使用方可承受的提升成本不超過25 000元，則令sd表示最大提升成本對應的設計保證系數，由(19)式反推可得sd=1.404 0.則在提升成本的約束下，產品的壽命最大可提升到規定值的1.404 0倍，對應最大可達的接收概率Ps=0.974 0.生產方在期望以高概率通過可靠性鑒定試驗的同時，需要提升產品自身的可靠性水平，除了考慮設計難度以外，還存在著成本的上限約束。即設計保證系數s應滿足s≤sd.

當拒收成本與總提升成本相比可忽略時，sd的近似計算公式如下：

(20)

此外，(19)式中：前兩項為設計成本，隨s的增加而遞增；后一項為拒收風險成本，隨s增加而遞減；提升成本Cd為兩部分相加，可能呈現先減后增趨勢。本節案例中當s=1/1.341 9時對應初始成本24 801元，s在(1，1.341 9)區間內成本均低于初始成本。因此若存在低成本區間，則在區間內提升s可降低總成本。

4.2 鑒別比對設計保證系數取值的約束

鑒別比是受試產品MTBF的檢驗上限θ0與檢驗下限θ1的比值，即d=θ0/θ1.選擇不同鑒別比的試驗方案，對設計保證系數的取值也有顯著影響。為便于分析，取產品形狀參數m=1，結合國家軍用標準GJB 899A—2009給出的定時截尾試驗方案進行說明。

假設受試產品可靠性規定值θs=2θm=2θ1.對應不同設計保證系數s的取值(s分別取1、1.1、1.2、1.25)，依據(16)式分別計算產品采用不同標準定時截尾試驗方案(方案9～方案17、方案19～方案21)[2]的試驗通過概率Ps，結果如表3所示。

由表3可知：如果選擇方案9～方案11及方案19，d=1.5

表3 不同標準定時試驗方案的通過概率Tab.3 Passing probabilities of different standard timingtest schemes

若選擇方案21，則即使產品可靠性預計值達到

了規定值的1.25倍，其預期接收概率僅為64.4%，拒收風險很大。事實上，由于θp=sθs=skθ1=θ0sk/d，對方案15～方案17及方案21而言，d=3>k=2，因此僅當s≥1.5時能保證θp≥θ0，才能滿足可靠性預計值θp應高于檢驗上限θ0實施可靠性鑒定試驗的要求[2]。

綜上分析，在同時滿足標準規定的可靠性預計值不應低于合同規定值，并且可靠性預計值高于檢驗上限才能開展可靠性鑒定試驗的要求下，設計保證系數s的取值范圍為

(21)

5 設計保證系數的定量選擇方法

5.1 設計保證系數的選擇取值規則

工程師在進行設計保證系數選取時，首先以期望的接收概率Ps、規定值θs以及試驗參數為輸入，計算出對應的初始設計保證系數，記為s0.再依據(22)式進行結果判定并修正，即有

(22)

依據規定值θs與檢驗上限θ0的關系以及初始設計保證系數s0的取值，(22)式共包含如下4種情況。

情況1和情況2：當檢驗上限θ0不高于規定值θs時，需要滿足保證系數不低于1，即預計值θp不低于合同規定值θs，體現了驗收期產品可靠性水平需達到合同規定值的要求。

情況3和情況4：當檢驗上限θ0高于規定值θs時，需要滿足保證系數不低于d/k，即預計值θp不低于檢驗上限θ0，體現了開展可靠性驗收試驗時產品可靠性水平需達到檢驗上限的要求。

依據(22)式對設計保證系數進行修正后，還需要考慮可靠性提升成本的約束，對設計保證系數進行修正，即

s≤sd.

(23)

綜上所述，檢驗上限θ0和合同規定值θs約束了設計保證系數s的下限，提升成本Cd約束了設計保證系數s的上限。工程師基于期望的試驗接收概率，利用(11)式計算出設計保證系數后，還需要考慮依據(22)式和(23)式的約束。此外，若提升成本曲線存在低成本區間，則在達到s取值下限后，可在設計難度允許的情況下在區間內提升s的取值。

5.2 標準定時截尾試驗保證系數的工程用表

為更好地推進工程應用，針對國家軍用標準提供的標準定時截尾試驗方案，從確保產品可靠性設計水平使其能以預期高概率通過可靠性鑒定的角度出發，進一步計算了相關保證系數的推薦值。

給定期望的接收概率，依據(17)式計算，考慮(22)式的下限約束，給出對應不同標準定時試驗方案的驗收保證系數ν的推薦值，如表4所示。

表4 對應標準定時試驗方案的驗收保證系數ν值Tab.4 Acceptance guarantee coefficient ν values correspondingto standard timing test schemes

以表4中的方案14為例。產品研發工程師若希望在后期鑒定試驗中預期以至少80%的概率通過，則在設計階段，產品可靠性預計值應至少達到合同要求最低可接受值的2.0倍；若希望以95%的概率通過鑒定，則預計值應至少達到最低可接受值的2.99倍以上。

6 結論

本文結合國家軍用標準規定、型號規范和工程實際需求，分析論述了設計保證系數以及可靠性預計值、規定值、最低可接受值及鑒定試驗檢驗上下限等相關指標的內涵與相互關系。在基于產品詳細預計階段預計值能反映真實可靠性水平的條件下，分別采用威布爾分布與指數分布描述產品的壽命，建立了可靠性設計保證系數的計算方法。討論了可靠性提升成本對設計保證系數取值的上限約束，以及規定值、檢驗上限對設計保證系數的下限約束，并給出設計保證系數取值規則。針對可靠性設計評審需求，給出了工程適用的驗收保證系數取值表。得到以下主要結論：

1)產品可靠性設計保證系數的取值，應從控制產品拒收風險的角度，基于預期的可靠性鑒定試驗通過概率確定。

2)在產品服從指數分布的情況下，試驗方案可直接采用國家軍用標準給出的標準定時截尾試驗方案，其設計保證系數的計算采用簡化的威布爾公式。

3)隨產品可靠性水平增加，產品提升成本急劇增加，限制了設計保證系數的上限。

對于產品服從威布爾分布的情況，本文提出的方法為近似算法，可在未來工作中進一步研究其精確解法。此外，產品壽命服從正態、瑞利等其他分布時的試驗通過概率可做進一步研究。