Riks弧長法在壓桿非線性屈曲分析中的應(yīng)用

趙佳音

（中國人民解放軍92785部隊，遼寧綏中 125200）

0 引言

在船體鋼結(jié)構(gòu)中，受壓構(gòu)件一般在其達(dá)到極限承載能力前就會喪失穩(wěn)定性，所以失穩(wěn)是船體鋼結(jié)構(gòu)最為突出的問題之一。受壓構(gòu)件整體失穩(wěn)形式可以是彎曲、扭轉(zhuǎn)或彎扭。鋼構(gòu)件在軸心壓力作用下，彎曲失穩(wěn)是常見的失穩(wěn)形式。影響軸心受壓構(gòu)件整體穩(wěn)定性的主要因素為焊接殘余應(yīng)力、初始彎曲、載荷初偏心及端部約束條件等。實際的軸心受壓構(gòu)件往往會存在上述的一種或多種缺陷，導(dǎo)致構(gòu)件的極限承載能力降低。

工字鋼是工程中常見的鋼構(gòu)件，水面船的龍骨、縱桁與外板連接的位置、潛艇肋骨與外板連接的位置都可認(rèn)為是工字鋼結(jié)構(gòu)。本文利用 ABAQUS對一定截面不同細(xì)長比的工字鋼構(gòu)件進(jìn)行屈曲分析，通過考慮材料非線性、幾何非線性并引入初始撓度，得出構(gòu)件發(fā)生彎曲失穩(wěn)的極限載荷，通過比較不同長細(xì)比下的彎曲失穩(wěn)的臨界載荷得出構(gòu)件載荷位移曲線。

1 模型分析

鋼構(gòu)件的截面尺寸如圖1所示。

圖1 壓桿截面尺寸（單位：mm）

構(gòu)件的材料特性：密度

ρ

=7.85×10t/mm；彈性模量

E

為2.1×10MPa；泊松比

μ

為0.3。其塑性 應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖2所示。

圖2 屈服應(yīng)力與塑性應(yīng)變的關(guān)系

通過計算截面幾何特性，截面繞

y

軸的回轉(zhuǎn)半徑

i

為3.84×10mm。

長細(xì)比取值及桿件長度見表1。

表1 長細(xì)比取值及桿件長度

2 非線性屈曲Riks弧長法理論

線性屈曲分析被定義為特征值屈曲預(yù)測（eigenvalue buckling prediction），其通常用于評估剛性結(jié)構(gòu)的臨界屈曲載荷，也可用于對結(jié)構(gòu)的缺陷敏感性進(jìn)行前期準(zhǔn)備。特征值屈曲分析時所有彈性效應(yīng)均被忽略，且所有接觸均由基礎(chǔ)狀況確定。如果進(jìn)一步研究屈曲前材料、幾何非線性以及不穩(wěn)定后屈曲相應(yīng)，必須進(jìn)行載荷-位移分析。若要評估結(jié)構(gòu)的最大臨界載荷以及屈曲之后的后屈曲狀態(tài)，需使用Riks弧長法。

對

N

個非線性方程組：

式中：{

u

}為未知位移矢量；

λ

為載荷參數(shù)。

該問題通常離散為增量非線性問題：

因此問題變?yōu)榍蠼猓?/p>

式中：

M

為載荷步。式（2）通常用Newton-Raphson法求解。但是，該解法在跨越極限點(diǎn)時無效，這時應(yīng)用修正的弧長法，約束關(guān)系是結(jié)構(gòu)的廣義增量位移的“弧長”。也就是說，對當(dāng)前的廣義增量位移矢量{?

u

}有弧長?

L

，如圖3所示，其中弧長的定義為

圖3 修正的Riks弧長法

在該解法里，仍然應(yīng)用Newton-Raphson法求解。但在每個增量步里，載荷步的大小隨著?

L

的大小而改變，其中?

L

由式（1）求得。假設(shè)已求得

t

～

t

時刻的位移解，在

t

到

t

+?

t

增量步中，結(jié)構(gòu)將從穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)向不穩(wěn)定平衡狀態(tài)，為使有限元解收斂，在采用修正Newton-Raphson法的同時，增加約束方程的弧長。定義{

u

}為時間間隔

t

+?

t

內(nèi)第

i

步迭代后的總增量位移，以

λ

表示載荷增量?

P

的比例因子，{

u

}隨

λ

變化，即{

u

}={

u

(

λ

)}。

3 建模計算過程

建模計算過程以長細(xì)比50的構(gòu)件為例，其余構(gòu)件建模計算結(jié)果與之類似。

3.1 buckle 分析

在buckle分析中創(chuàng)建part模塊，創(chuàng)建的模型為三維可變形shell單元，截面參數(shù)見圖1，構(gòu)件長度為1 920 mm，定義材料特性及截面屬性并將其賦予單元。材料定義為彈塑性，泊松比0.3，屈服強(qiáng)度為300 MPa，彈性模量為210 000 MPa，腹板和自由翼板為shell單元，厚度分別為8和10，如圖4所示。

圖4 有限元模型

定義邊界條件及載荷，邊界條件為一端絞支、一端滑動，載荷為1 N/mm的殼邊緣載荷（shell edge load），劃分網(wǎng)格，創(chuàng)建、提交并運(yùn)行作業(yè)分析，輸出前4階屈曲模態(tài)及其特征值，屈曲載荷按

Q

=

λF

計算，如表2所示。

表2 工字鋼的4階屈曲模態(tài)

從表2可以看出，3、4階特征值間隔較小，暗示屈曲臨界應(yīng)力對初始缺陷較為敏感，需進(jìn)行缺陷敏感性分析。

3.2 Riks 分析

復(fù)制模型，替換step，編輯關(guān)鍵字：

從臨界荷載比例系數(shù)-弧長曲線（圖5）可知，載荷在3 500 N/mm時發(fā)生了第一次轉(zhuǎn)折，即第一階屈曲，遠(yuǎn)小于線性屈曲分析結(jié)果7 025.8 N/mm，說明在初始缺陷存在時，缺陷壓桿比完整壓桿更容易喪失穩(wěn)定性。

圖5 荷載比例系數(shù)-弧長曲線

將缺陷因子分別修改為0.15、0.20、0.25、0.30，重復(fù)求解得到圖6所示的不同缺陷因子時LPF曲線。由圖可知，缺陷越大，LPF越小。

圖6 缺陷敏感性

4 結(jié)論

本文介紹了Riks弧長法的基本理論，并以工字鋼為例，說明了其在壓桿非線性后屈曲分析中的應(yīng)用，根據(jù)計算結(jié)果，在考慮材料幾何非線性時，臨界載荷小于線性屈曲載荷，改變?nèi)毕菀蜃?，可知缺陷越大，臨界載荷比例系數(shù)越小。該研究可為薄壁結(jié)構(gòu)單軸壓縮下的非線性后屈曲計算提供參考。